Операції з відношеннями

Оскільки відношення насправді є множинами, ми можемо виконувати з ними класичні операції над множинами.

Операції над множинами

У попередній статті ми означили відношення як множину. З множинами можна виконувати такі операції, як об'єднання, перетин або різниця. Подивімося, який сенс це має для відношень.

Передусім потрібно запровадити умову, адже ці операції не можна виконувати між довільними відношеннями. Якщо маємо відношення «менше ніж» і «бути парним числом», ці операції не матимуть сенсу, бо перше відношення бінарне, а друге унарне. Щоб після застосування операції над множинами знову отримати відношення, усі задіяні відношення повинні мати однакову арність, тобто всі вони мають бути n-арними для якогось n.

Об'єднання

Маємо відношення «менше ніж» і «рівність». Що станеться, якщо їх об'єднати? У відношенні «менше ніж» маємо всі пари (a; b), для яких a < b. У відношенні рівності маємо всі пари (a; b), для яких a = b. У відношенні < ∪ = тому будуть усі пари (a; b), для яких a < b або a = b. Число a або менше за число b, або дорівнює йому. Таке відношення ми знаємо й називаємо «менше або дорівнює», позначаємо його ≤.

Якщо маємо відношення R₁ і R₂, то об'єднанням утвориться відношення R = R₁ ∪ R₂, для якого виконується: елемент r належить відношенню R, якщо він належить відношенню R₁ або відношенню R₂. Інакше кажучи, в результуючому відношенні він буде тоді, коли був принаймні в одному з відношень, що об'єднуються.

Перетин

Під час об'єднання ми отримали нове відношення, елементами якого були елементи принаймні одного з відношень, що об'єднуються. З перетином усе подібно, лише елементи мають належати обом відношенням.

Якщо знову візьмемо відношення «менше ніж» і рівність (на множині дійсних чисел) і зробимо їх перетин — що отримаємо? Ми мали б отримати елементи, які перебувають у відношенні «менше ніж» і водночас рівні. Але такого не може бути, адже якщо a < b, то ніколи не виконується a = b. Ми отримали б порожнє відношення.

Маємо такі два відношення: «ділиться націло» і бінарне відношення, що містить пари елементів (a; b), де a — непарне число, а b — парне. Працюємо на множині натуральних чисел. У першому відношенні були б пари чисел на кшталт (5; 15), (6; 30), (3; 123) — друге число завжди має ділитися на перше. У другому відношенні будуть такі пари чисел, де перше число непарне, а друге парне: (1; 4), (5; 14), (3; 24) тощо. Перетином цих відношень утвориться нове відношення R, і воно міститиме такі пари (a; b), для яких b ділиться на a і водночас a непарне, а b парне. Наприклад: (5; 30) або (3; 24).

Різниця

Якщо маємо два відношення R₁ і R₂, то різницею R₁ − R₂ утвориться нове відношення, до якого належать елементи, що є в R₁, але яких немає в R₂. Можемо знову повернутися до відношень «менше або дорівнює» та рівності. Якщо відношення R₁ — «менше або дорівнює», а відношення R₂ — рівність, то різницею R₁ − R₂ отримаємо елементи, які перебувають у відношенні «менше або дорівнює», але не перебувають у відношенні рівності. Тобто отримаємо пари (a; b), для яких виконується a ≤ b і водночас не виконується a = b. Інакше кажучи, отримаємо відношення «менше ніж»: <.

Доповнення відношення

До кожного відношення можна знайти доповнення. Елементи доповнення відношення R — це всі елементи, що не належать початковому відношенню R. Наприклад, доповнення до відношення рівності (тобто = ) — це відношення нерівності. У першому відношенні маємо всі пари елементів, які рівні (наприклад, 5 = 5), у доповненні відношення маємо всі пари чисел, які не рівні (наприклад, 5≠6).

Єдине, на що слід звернути увагу під час знаходження доповнення відношення, — це носій, тобто множина, до якої належить відношення. Відношення рівності можна означити на натуральних, цілих, дійсних числах, але й на множині всіх людей на Землі.

Якщо маємо бінарне відношення R таке, що воно задане на множинах M₁ і M₂: R ⊆ M₁ × M₂, то доповнення відношення, позначимо його S, дорівнює S = (M₁ × M₂) ∖ R: це ті елементи, що є в декартовому добутку носіїв, але яких немає у відношенні R. Подібно й для відношень інших арностей.