Множини

Множину можна розуміти як сукупність елементів. Кожна множина містить певну кількість елементів, яка може бути скінченною або нескінченною. Вона може також не містити жодного елемента — тоді говоримо про порожню множину. Множину зазвичай позначають великою друкованою літерою, наприклад M, а елементи множини — малою літерою m.

Що таке множина

Множина — одне з основних понять математики, через яке визначається безліч інших речей, тож варто одразу з'ясувати, що таке множина, щоб далі в навчанні не губитися.

Отже, множина — це якась сукупність довільних елементів. У математиці ми найчастіше працюємо з числовими множинами, тобто з множинами, елементами яких є числа. Класичний запис множини в математиці такий:

$$M=\left\{1{,}2,3\right\}$$

Так ми описали множину з назвою «M», що містить три елементи: одиницю, двійку і трійку. Множини завжди записують у фігурних дужках; майже завжди, коли ти бачиш фігурні дужки, йдеться про якусь множину.

Для чого можна використовувати множини? Множини часто визначають, які елементи ми можемо вибирати. Наприклад, у повсякденному житті ти можеш сказати щось на кшталт: «Оленко, давай пограємо в гру, добре? Загадай число від одного до п'яти». Так Оленці задано якийсь набір чисел, з яких вона може вибирати. У математиці для цього використали б множину:

$$L=\left\{1{,}2,3{,}4,5\right\}$$

А потім можна було б сказати: «Оленко, давай пограємо в гру, добре? Загадай якесь число, яке належить множині L». Така гра, безперечно, була б одразу цікавішою. Для запису того, що елемент належить множині, в математиці використовують знак ∈, а якщо не належить — знак $ \notin$. Щоб сказати, що одиниця належить множині L, а сімка — ні, запишемо так: 1 ∈ L і $7 \notin L$.

Множина, звісно, може бути порожньою. Для цього є запис P = {} або простіше $P=\varnothing$. Зверни увагу, що обидва записи означають «порожня множина», а ось якщо записати $P=\left\{\varnothing\right\}$, то це буде множина, яка містить у собі порожню множину. Це не те саме, що порожня множина.

Невпорядкованість і повтори

Про множину ми не кажемо, що її елементи якось упорядковані. Множина — це невпорядкована сукупність елементів. Якби ми мали дві множини A = {1, 2, 3} і B = {3, 2, 1}, то сказали б, що вони однакові. Порядок елементів у множині просто не має значення.

Так само нас не цікавлять повтори елементів. Якщо множина містить кілька однакових елементів (кілька однакових чисел), ми беремо до уваги лише одне входження цього елемента. Знову ж таки, якби ми мали ці дві множини A = {1, 1, 2, 2, 2} і B = {2, 1}, то вважали б їх однаковими. Те, що множина A містить «більше» елементів, бо в ній є подвоєні чи потроєні елементи, не має значення. Під час обчислень із множинами такі повтори ми просто відкидаємо.

Кількість елементів і рівність

Можемо означити поняття кількості елементів множини. З попереднього прикладу A = {1, 1, 2, 2, 2} і B = {2, 1} випливало б, що кількість елементів множини A дорівнює двом, але й множина B має два елементи, бо навіть коли ми рахуємо елементи множини, повтори нас не цікавлять. Кількість елементів множини позначаємо вертикальними рисками: |A| = |B| = 2.

Як, мабуть, уже зрозуміло, дві множини рівні, якщо вони складаються з тих самих елементів. Кілька прикладів:

$$\begin{eqnarray} \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3, 2, 3, 1\right\}\\ \left\{a, h, o, j\right\}&=&\left\{o, o, h, j, a, o\right\}\\ \left\{1, 3, 5, 9\right\}&\ne&\left\{1, 3, 9\right\}\\ \varnothing&\ne&\left\{x\right\} \end{eqnarray}$$

Важлива властивість: елементом множини знову може бути множина. Приклад: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Важливо усвідомити, що множина C містить три елементи, а не шість. Множина C містить три елементи: одиницю, двійку і множину. Елементи 3, 4, 5 і 6 містить внутрішня множина, а не множина C. Отже, |C| = 3. Складніший приклад:

$$D=\left\{0, \left\{1, \left\{2, 3\right\}\right\}, \left\{4\right\}\right\}$$

Скільки елементів містить множина D? Вона містить три елементи, ось вони:

$$D_1=0,\qquad D_2=\left\{1, \left\{2{,}3\right\}\right\},\qquad D_3=\left\{4\right\}$$

Множина може бути скінченною або нескінченною. Усі множини, які ми досі згадували, скінченні. Нескінченною є, наприклад, множина всіх чисел.

Підмножина

Нехай маємо дві множини A = {1, 2} і B = {1, 2, 3}. Ці множини різні, бо складаються з різних елементів, множина B більша. Проте легко помітити, що множина B містить точнісінько ті самі елементи, що й множина A, лише має ще елемент 3. У такому разі можемо сказати, що A є підмножиною B.

Якщо A є підмножиною B, то всі елементи множини A мають належати й множині B. Бути підмножиною — це відношення, і його записують символом ⊆. Формальне означення:

$$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A:\quad x \in B$$

Зазвичай припускають, що множини A і B можуть бути однаковими, і тоді все одно A ⊆ B. Щоб висловити строгий варіант підмножини, використовуємо інший символ: ⊂. Тоді, якщо A ⊂ B, множина B має бути більшою (якщо вона скінченна), тобто містити елемент, якого немає в множині A. Таку множину називаємо «власною підмножиною». Отже, якщо A ⊂ B, то A — власна підмножина B. Означення власної підмножини:

$$A \subset B \Leftrightarrow (A\subseteq B \quad\wedge\quad A \ne B)$$

Означення таке саме, як і для звичайної підмножини, тільки обидві множини не повинні збігатися. Кілька прикладів:

$$\begin{eqnarray} \left\{a, h, o\right\}&\subseteq&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{a, h, o\right\}&\subset&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subseteq&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subset&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subseteq&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subset&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\subseteq&\left\{0, 1\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\not\subset&\left\{0, 1\right\}\\ \varnothing&\subseteq&\left\{\pi\right\}\\ \varnothing&\subset&\left\{\pi\right\}\\ \varnothing&\subseteq&\left\{\varnothing\right\}\\ \varnothing&\subset&\left\{\varnothing\right\}\\ \left\{0\right\}&\not\subseteq&\varnothing\\ \left\{0\right\}&\not\subset&\varnothing\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subseteq&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\}\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subset&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\} \end{eqnarray}$$

Властивості підмножини:

• A ⊆ A: множина завжди є своєю підмножиною.
• A ⊄ A: множина ніколи не є своєю власною підмножиною.
• $\varnothing \subseteq A$: порожня множина є підмножиною будь-якої множини.
• $A \not\subset \varnothing$: порожня множина не має жодної власної підмножини.

За допомогою підмножин можна записати рівність множин:

$$A = B \quad\Leftrightarrow\quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A$$

Якщо обидві множини однакові, то кожна з них є підмножиною іншої.

Підмножину можна також назвати словом «включення».

Булеан

Булеан — це множина всіх підмножин даної множини. Його зазвичай позначають або P(M), або 2^M.

Приклад: M = {1, 2, 3}. Які всі підмножини? Безперечно, це порожня підмножина і сама множина M. Далі: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Усі ці множини разом утворюють булеан множини M. Запишемо: $P(M) = \left\{\varnothing, M, \left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}, \left\{1, 2\right\}, \left\{1, 3\right\}, \left\{2, 3\right\}\right\}$.

Оскільки порожня множина є підмножиною кожної множини, а M завжди є підмножиною M, завжди виконується $\varnothing \in P(M)$ і M ∈ P(M).

Як записати множину

Один спосіб ми вже згадували — простим переліком елементів. Для цього використовуємо фігурні дужки: M = {1, 2, 3} або N = {a, b, c, d} тощо. Якщо записуємо нескінченну множину, можна поставити три крапки, коли очевидно, як продовжується послідовність елементів: M = {1, 2, 3, …}

Головний спосіб записати множину — характеристична властивість множини. Загалом запис виглядав би так: {x ∈ X | P(x)}, де X — множина, з якої ми вибираємо елементи, а P(x) — якась формула, що задає елементи множини. Формулу можна записати суто математично або словами. Замість «|» також використовують двокрапку «:» або крапку з комою «;».

Наприклад, «нехай множина M містить усі числа, які позначають якийсь день місяця». У місяці щонайбільше 31 день, тож така множина мала б 31 елемент — від 1 до 31. Ми могли б записати її за допомогою трьох крапок так: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Інший запис тієї самої множини міг би виглядати так: $\left\{x \in \mathbb{Z} | \mbox{x означає день місяця}\right\}$, де ℤ позначає множину цілих чисел.

Математичніший приклад міг би звучати так: «нехай множина P містить усі додатні числа, які діляться на п'ять». Тоді ця множина виглядала б так: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Спробуймо математично записати множину T натуральних чисел, менших за десять: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Цей запис говорить нам: множина T складається з елементів x, які ми беремо з множини натуральних чисел і які задовольняють умову, що вони менші за 10. Дивимося на натуральні числа й залишаємо лише ті, що менші за десять: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ось і все.

Ще один приклад: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Ми означили множину Y, яка містить елементи x, що їх беремо з цілих чисел, а єдина умова, яку має задовольняти x, — він не може бути нулем. Отже, множина Y містить усі цілі числа, крім нуля.

Ще один приклад: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Множина G містить елементи x, які ми беремо з дійсних чисел, і для всіх елементів x має виконуватися, що коли їх помножити самих на себе, то знову отримаємо число x. Наприклад, можемо спробувати число 5. За означенням має виконуватися така рівність: 5 · 5 = 5. Вона явно не виконується, тож число 5 елементом множини G не буде. Спробуємо одиницю: 1 · 1 = 1. Для неї це, очевидно, виконується, тож одиниця буде елементом множини G. Другим і водночас останнім елементом буде число нуль. Для жодного іншого числа це вже не виконується. Можемо записати: G = {0, 1}.

І останній приклад. Напишу щось складніше, щоб було видно, що характеристична властивість може бути й складною:

$$X=\left\{x \in \mathbb{R} | (x^2=2x)\vee(\sin x=\pi\wedge \cos x=\pi)\right\}$$

На практиці множину найчастіше задають характеристичною властивістю, і можна сказати, що чимала частина понять у математиці означена за допомогою множин. Візьмімо, наприклад, проміжок: можемо сказати, що інтервал (a; b) — це множина I, для якої виконується:

$$I=\left\{x\in\mathbb{R} | (x > a) \wedge (x < b)\right\}$$

Це всі елементи з множини дійсних чисел, які більші за a і менші за b, а це саме те, що виражає інтервал.