Основні поняття статистики
Статистика — це наука, яка досліджує, обробляє й оцінює дані.
Генеральна сукупність
Мета статистики — провести експеримент, щоб дізнатися щось цікаве про певну генеральну сукупність. Генеральною сукупністю загалом називають будь-яку множину елементів, які ми хочемо дослідити. Якщо ми хочемо дізнатися, який середній вік жителів України, то нашою генеральною сукупністю будуть усі жителі України.
Але якщо ми захочемо дізнатися середню витрату бензину легковими автомобілями на сто кілометрів, наша генеральна сукупність дорівнюватиме множині всіх легкових автомобілів (на певній території).
Вибірка
Часто неможливо працювати з усіма елементами генеральної сукупності. Уявімо, що ми хочемо дізнатися, що думають люди в Україні про обов'язковий випускний іспит з математики. Щоб справді з'ясувати, що люди думають про обов'язковий іспит, довелося б ходити від будинку до будинку, від мосту до мосту й питати кожного громадянина, що він думає про обов'язковий іспит з математики. Практично це неможливо. Ось деякі причини:
- Це надто дорого. Опитати всіх мешканців країни, а це мільйони людей, — недешева справа. Наприклад, у Чехії (близько десяти з половиною мільйона жителів) перші прямі вибори президента коштували 625 мільйонів чеських крон.
- Це триває надто довго. Ті вибори, без сумніву, готували кілька місяців — а якщо потрібен результат статистики за тиждень, то це надто довго.
- Не всі захочуть відповідати. Дехто принципово не захоче відповідати на ваші запитання. Якщо ж наша генеральна сукупність складається з машин, то вони можуть зламатися. Якби ви стежили за пробігом автомобілів, може статися, що одометр зламається або хтось його навмисно підкрутить.
- Експеримент може бути надто небезпечним. Від запитання про обов'язковий іспит навряд чи хтось отримає інфаркт, але візьмемо інший приклад — випробування нових ліків «Вселік». Що було б, якби ми випробували «Вселік» на всьому населенні країни, а під час випробування виявилося б, що 20 % випробовуваних миттєво отримують жахливу діарею? Мабуть, краще спершу випробувати ліки на меншій групі людей, правда?
Щоб уникнути цих недоліків, із генеральної сукупності обирають лише якусь частину — вибірку. Якщо маємо генеральну сукупність P, то вибіркою V є будь-яка підмножина P, тобто V ⊆ P. Експеримент ми проводимо лише на цій вибірці V, а результати поширюємо на всю генеральну сукупність. Ці результати, звісно, будуть неточними — наскільки неточними, залежить насамперед від того, наскільки велика вибірка V і який метод ми обрали для відбору елементів до V.
Типові помилки можуть бути такі:
- Надто мала кількість елементів у V. Якщо запитати про обов'язковий іспит перших семи людей, яких ви побачите, змістовних результатів не отримаєте.
- Нерепрезентативна вибірка. Якщо запитати про обов'язковий іспит з математики тисячу випускників математичного факультету університету, то ви отримаєте інші відповіді, ніж якби опитали тисячу старшокласників.
Ознаки
Під час експерименту ми досліджуємо елементи вибірки. Дані, які ми спостерігаємо, називаємо ознаками, а значення ознак — варіантами. Існують такі основні типи ознак:
- Якісна ознака: її зазвичай немає сенсу вимірювати, це якась словесна характеристика. Типовий приклад — запитання про національність. Варіантами такої ознаки будуть, наприклад, значення «українська національність», «польська національність» тощо. Вимірювати чи порівнювати українську й польську національності при цьому немає сенсу. Можна порівнювати кількість українців і поляків, але саму національність порівнювати не можна.
До цієї категорії належить і запитання про обов'язковий іспит, де очікують відповіді «так, я хочу обов'язковий іспит з математики» або «ні, я не хочу обов'язкового іспиту з математики», і це варіанти цієї ознаки. Знову ж таки, можна порівнювати кількість відповідей, але порівнювати самі «так» і «ні» немає сенсу.
- Кількісна ознака: її вимірюють. Це довжини, маси, час, кількості тощо. Кількісні ознаки далі поділяють на дискретні та неперервні:
Дискретна ознака
Дискретна ознака має скінченну кількість варіант або зліченну кількість варіант (див. далі). Доволі часто це цілі числа. Наприклад, кількість учнів у класі — у звичайному класі це буде, скажімо, від п'ятнадцяти до сорока дітей.
Дискретну ознаку характеризує те, що ми завжди можемо назвати наступну й попередню варіанти. Якщо в 3-Б класі 28 дітей, то попередня варіанта — 27 дітей, а наступна — 29 дітей. У якісної ознаки це здебільшого зробити не вдається — яка варіанта йде за українською національністю?
Дискретна ознака може бути й нескінченною, але вона мусить бути зліченною — тобто ми все одно маємо вміти визначити попередню й наступну варіанти. Наприклад, можна ввести ознаку «відстань між двома об'єктами з точністю до одного кілометра». Якщо ми виміряємо, що відстань між двома об'єктами, наприклад автомобілем і стодолою, дорівнює 12 кілометрам, то знову ж таки наступна й попередня варіанти — відповідно 13 і 11 кілометрів. При цьому відстань, імовірно, ніяк не обмежена. Якщо є два об'єкти на відстані 1 500 000 кілометрів один від одного, то неодмінно знайдуться й об'єкти на відстані 1 500 001 кілометр.
Ознака залишилася б дискретною, навіть якби ми змінили точність на десяті частки кілометра (тобто на сотні метрів). Тоді ми могли б виміряти відстань 15,7 км, а наступне й попереднє значення були б 15,8 і 15,6.
Якщо попередньої чи наступної варіанти не існує, це не суперечить тому, що ознака дискретна. Наприклад, для відстані нуль кілометрів попередньої варіанти немає — відстань мінус один кілометр ми не визначаємо. І все ж відстань з точністю до одного кілометра — дискретна ознака.
Неперервна ознака
Неперервна ознака завжди має нескінченну кількість варіант. Значеннями зазвичай є дійсні числа, тож це, наприклад, відстань (без уточнення точності). У неперервних ознак ми не можемо визначити ні попередню, ні наступну варіанту. Якщо ми виміряємо, що відстань до чогось дорівнює 3,58745 метра, то не зможемо знайти число, яке стоїть точно за цим числом.
У множині дійсних чисел є й ірраціональні числа з нескінченним десятковим розкладом. Ми, звісно, не маємо приладів, які могли б виміряти відстань із такою точністю, тож насправді кожна така ознака все одно дискретна — саме тому, що кожен прилад має якусь точність. Якщо ви щось вимірюєте лінійкою, то маєте точність до одного міліметра. Тож можна виміряти, що книжка має ширину 167 мм або 168 мм, але нічого між ними; звісно, якщо якось не прикинути на око тощо.
Якщо ви маєте більш науковий прилад, точність може бути до одного мікрометра. Але й цього, мабуть, не вистачить, щоб виміряти об'єкт цілком точно.
Попри все це, про відстань чи масу зазвичай говорять як про неперервні ознаки. На практиці таке спрощення необхідне й зазвичай нічому не шкодить.
Випадкова величина
Випадкова величина — це дискретна або неперервна ознака, значення якої ми не можемо визначити до проведення експерименту. Випадковою величиною може бути результат кидання шестигранного кубика. Доки ми не кинемо кубик, ми не можемо знати, яке число на ньому випаде.
Ми можемо передбачити, що одні значення ймовірніші за інші, це нам не заважає, лише не можна бути цілком певними, що отримаємо якесь конкретне значення. Наприклад, якби ми навмання вибрали одного жителя України й запитали його, у якому місті він живе, то ймовірніше, що він живе в Києві, ніж у якомусь невеликому містечку. У Києві просто живе більше людей.
Якби в нас був кубик, у якого на п'яти гранях по шість крапок, а на шостій, що залишилася, дві крапки, то набагато ймовірніше, що під час кидання випаде шість крапок. Але це все одно випадкова величина, бо не можна бути певним, що випаде шість крапок.
Якби ми змінили цей кубик так, щоб на всіх шести гранях було по шість крапок, кидання кубика не було б випадковою величиною, бо завжди випадало б шість крапок.