Дійсні числа
Дійсні числа — це всі числа, які можна записати за допомогою скінченного або нескінченного десяткового розкладу. Можна сказати, що дійсні числа отримуємо об'єднанням множини раціональних та ірраціональних чисел.
Позначення та зміст
Дійсні числа позначають літерою R, зазвичай з подвоєним вертикальним штрихом: ℝ.
Якщо уявити нескінченну числову вісь, то дійсні числа відповідають усім можливим відстаням між двома точками, які можна знайти на осі.
Дійсні числа містять усі натуральні числа, цілі числа, раціональні числа та ірраціональні числа.
Більшість функцій, з якими зазвичай працюють у математиці, мають областю визначення саме множину дійсних чисел (наприклад, синус і косинус, лінійна функція) або якийсь її проміжок (наприклад, логарифм).
Приклади дійсних чисел: 1, −3, 0{,}126, −42{,}47, e, 0, −2π.
Властивості
- Дійсні числа утворюють нескінченну незліченну множину.
- Дійсні числа замкнені відносно додавання, віднімання, множення та ділення. Якщо взяти два дійсні числа й помножити їх, знову отримаємо дійсне число.
- Дійсне число є або алгебраїчним, тобто є коренем якогось многочлена з цілими коефіцієнтами, або трансцендентним, тобто не є коренем жодного такого многочлена.
- Для кожного дійсного числа існує його модуль, який дорівнює відстані від початку відліку на числовій осі.
- Кожне невід'ємне дійсне число має квадратний корінь, який також є дійсним числом. Натомість жодне від'ємне дійсне число не має дійсного квадратного кореня.