Рівномірний та нормальний розподіл частот

Існують два типові розподіли частот, із якими ми можемо зустрітися й на практиці. Це рівномірний розподіл частот і нормальний розподіл частот.

Рівномірний розподіл частот

Рівномірний розподіл означає, що в нашій сукупності всі значення трапляються однаково часто. Можемо, наприклад, підрахувати, скільки місяців мали роки 2000, 2001, …, 2009:

Якщо кинути класичний ідеалізований кубик, то ймовірність, що випаде 1, дорівнює $\frac16$, ймовірність, що випаде 2, теж $\frac16$ і так далі. Тому говоримо про рівномірний розподіл ймовірностей, адже кожен результат має однакову ймовірність.

Нерівномірний розподіл був би, якби ми мали несиметричний кубик, на якому з ймовірністю $\frac13$ завжди випадала б шістка. Інші грані теж не можуть мати ймовірність $\frac13$. Так само можна було б підрахувати кількість днів в окремих місяцях — не всі місяці мають однакову кількість днів, тож це не був би рівномірний розподіл частот.

Нормальний розподіл ймовірностей

Нормальний розподіл іноді ще називають розподілом Гаусса. Його використовують лише для неперервних випадкових величин. Стандартизований нормальний розподіл має такий вигляд:

Ця крива описується так званою функцією Гаусса, яка має вигляд:

$$ \Large f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}} $$

Функція доволі складна, запам'ятовувати її не потрібно. Але бачимо, що нормальний розподіл можна задати за допомогою середнього та середнього квадратичного відхилення/дисперсії. Для різних значень середнього й відхилення можемо отримати різні графіки:

Нормальний розподіл важливий тим, що досить точно моделює різні розподіли, з якими ми можемо реально зустрітися. Бачимо, що крива завжди має один глобальний максимум, і саме в точці середнього значення. Наприклад, червона крива має максимум у точці X = 0, тож середнє значення цієї величини — нуль. Крива симетрична: вона має вісь симетрії — пряму, перпендикулярну до осі X, що проходить через середнє, тобто точку X = 0. Інакше кажучи, крива ліворуч від нуля виглядає так само, як праворуч від нуля. Зелена крива має такі самі властивості, лише не з нулем, а з точкою X = −2.

Нормальний розподіл може досить точно описувати розподіл інтелекту, або IQ, серед людей. Середнє значення IQ за означенням дорівнює 100. Водночас людей, які мають IQ понад 100, і тих, у кого він нижчий за 100, приблизно порівну. Трохи нижчий за середній рівень інтелекту мають приблизно стільки ж людей, скільки й трохи вищий за середній, а дурнів — стільки ж, скільки геніїв. Хоч іноді здається, що це не так :-). Графік, що показує приблизний розподіл IQ:

У нормальному розподілі велику роль відіграє середнє квадратичне відхилення. Якщо маємо розподіл, який є нормальним і має відхилення $\sigma$, то приблизно 68 % значень лежить на проміжку $[\mu-\sigma; \mu+\sigma]$. Тобто приблизно 68 % значень відрізняються від середнього щонайбільше на одне середнє квадратичне відхилення. Приблизно 95 % значень лежить на проміжку $[\mu-2\sigma; \mu+2\sigma]$, а 99,7 % значень — на проміжку $[\mu-3\sigma; \mu+3\sigma]$. Наочно це показує рисунок нижче:

Посилання та джерела

• Деякі зображення взято з Вікіпедії, зі статей «Нормальний розподіл» (чеською) та Intelligence.
• Розподіл Гаусса на Wikiskripta.eu (чеською)