Розподіл ймовірностей

Розподіл ймовірностей випадкової величини показує, яка ймовірність того, що випадкова величина набуде саме заданого значення.

Розподіл дискретної величини

Нехай маємо якусь дискретну випадкову величину, наприклад, можна стежити, скільки кухлів пива за день випиває місцевий п'яниця Гнат. Спостерігаючи за Гнатом цілий місяць, ми склали таку таблицю:

Бачимо, що на початку місяця Гнат ще трохи стримувався, а потім вливав у себе кухоль за кухлем. І той тиждень з 11-го дня, мабуть, був шалений. Позначимо цю дискретну випадкову величину X. Тепер нас цікавитиме ймовірність того, що Гнат за якийсь один день місяця вип'є рівно x кухлів пива.

Перш ніж обчислювати саму ймовірність, побудуємо звичайний графік частот. Знайдемо всі кількості кухлів, які Гнат випивав у якийсь день, і нанесемо їх на графік частот. Наприклад, десять кухлів Гнат випив усього дев'ять разів, тож для значення «десять кухлів» матимемо стовпчик зі значенням дев'ять:

Графік читаємо так: шість кухлів Гнат випив три дні за місяць.

Яка ймовірність того, що Гнат за день випив десять кухлів? Формально це записали б так: функцію ймовірності позначимо P, а запитання про десять кухлів записали б так: P(X = 10). Цим ми запитуємо, яка ймовірність того, що випадкова величина X набуває значення десять?

Ймовірність дорівнюватиме відносній частоті цього значення. Тож побудуємо ще графік відносної частоти:

Тепер можна сказати, що P(X = 10) дорівнює 0{,}3, тобто 30 %.

Статистична й математична ймовірність

Візьмімо для прикладу звичайний ігровий кубик. Спробуймо кинути його 600 разів. З погляду класичної математичної ймовірності маємо однакові шанси, що випаде одиниця, двійка, …, шістка. Кожна грань кубика має ймовірність випасти $\frac16$. Суто теоретично кожна сторона мала б випасти рівно сто разів, якщо ми кидали кубик шістсот разів.

Звісно, найімовірніше, так не станеться. У нашому експерименті можемо отримати такі результати:

Бачимо, що відносна частота, а отже, і ймовірність, появи однієї крапки на кубику дорівнює 0,175, тобто 17,5 %. Це хоч і близько до ймовірності $\frac16$, яка дорівнює 0{,}16666…, але не зовсім точно.

Це не означає, що одна чи друга ймовірність хибна. Виготовити абсолютно ідеально збалансований кубик зовсім не просто, так само може бути важко провести й сам тест, коли кубик кидають 600 разів.

Математична ймовірність, отже, працює в ідеальних умовах, коли б ми кидали кубик до нескінченності. Що довше ми кидали б ідеально збалансований кубик, то більше відносні частоти окремих випадінь наближалися б до теоретичної математичної ймовірності.

Тому розрізняємо дві ймовірності — математичну, яка виходить із ідеалізованих умов, і статистичну (її ще називають емпіричною), яку обчислюємо з відносних частот у наших даних.

Щоб обчислити статистичну ймовірність, нам потрібна достатньо велика сукупність даних. Наприклад, за нашим п'яницею Гнатом ми стежили лише один місяць, а набагато краще було б стежити принаймні рік.

Розподіл неперервної величини

Для неперервної величини ми визначаємо ймовірність не в окремій точці, а завжди лише на проміжку. Ймовірність дорівнюватиме площі під кривою, тож для обчислення нам знадобиться інтеграл. Можемо мати такий графік неперервної величини, це може бути, наприклад, вимірювання якогось відхилення в см:

На осі Ox маємо значення в см, на осі Oy — відносні частоти. Нехай ми виміряли лише значення на проміжку [−4; 4]. Емпірична ймовірність того, що виміряне відхилення потрапить у цей проміжок, дорівнює 1, тобто 100 %.

Як із цим пов'язана площа? Скажімо, що площа $\int_{-4}^4 p(x)$, де p — функція ймовірності, дає саме ті 100 %. Якби ми запитали, яка емпірична ймовірність того, що значення лежатиме на проміжку [0; 4], ми отримали б такий рисунок:

Попередня виділена частина відповідала 100 %, ця відповідає 50 %, бо площа, очевидно, вдвічі менша. Точно статистичну ймовірність виразили б як відношення

$$ \frac{\int_{0}^4 p(x)}{\int_{-4}^4 p(x)}. $$

Закон великих чисел

З попереднім розділом пов'язаний відомий закон великих чисел. Він неформально стверджує, що за великої кількості незалежних випробувань відносна частота (статистична ймовірність) наближатиметься до математичної ймовірності.

Знову уявімо це на підкиданні монети. Може випасти герб або решка, кожна сторона має ймовірність $\frac12$, тобто 50 %. Якщо підкинути монету чотири рази, може випасти три рази герб і один раз решка. Відносна частота тоді $\frac34$ і $\frac14$. Це досить далеко від $\frac12$.

Якщо підкинемо загалом десять разів, може випасти сім разів герб і три рази решка. Це частоти $\frac{7}{10}$ і $\frac{3}{10}$. Вони все ще далекі від $\frac12$, але все ж ці числа ближчі до однієї другої, ніж попередні частоти.

Так можна продовжувати далі. Якби ми підкинули монету тисячу разів, могло б випасти 520 разів герб і 480 разів решка. Це вже частоти $\frac{13}{25}$ і $\frac{12}{25}$, які вже дуже близькі до однієї другої (для наочності: $\frac{13}{25} = 0{,}52$).

Зверни увагу: хоча відносні частоти значно ближчі до однієї другої, абсолютні частоти від «ідеальної» частоти набагато далі. Коли ми підкинули монету десять разів, ідеальна абсолютна частота для кожної сторони була 5. Тобто п'ять разів герб і п'ять разів решка. Оскільки герб випав сім разів, це дає різницю у два кидки: 7 − 5 = 2. Ми підкинули «на два кидки інакше», ніж було б в ідеальній ситуації.

А коли ми підкинули монету тисячу разів, герб випав 520 разів, що дає різницю 20 кидків від ідеалу, бо в ідеальному випадку кожна сторона мала випасти 500 разів. Здавалося б, що чим більше разів підкидаємо, тим віддаленіші результати отримуємо.

Але в цьому немає нічого поганого: закон великих чисел не стверджує, що до ідеалу наближатимуться абсолютні частоти, він говорить про відносні. А вони наближаються. Тобто в абсолютних частотах ми, можливо, віддалятимемося, а у відносних — наближатимемося.

Посилання та джерела

• Martina Litschmannová: Úvod do statistiky (чеською)
• Статистика без попередніх знань (чеською)