Квадратична функція

Квадратична функція — це функція, яку можна задати формулою f(x) = ax² + bx + c, де a, b, c — дійсні числа, причому a ≠ 0. Так само як графіком лінійної функції завжди є пряма, графіком квадратичної функції завжди є парабола.

Приклад квадратичної функції

Прикладом простої квадратичної функції може бути f(x) = x² + 3x − 7. Її графік виглядав би так:

Квадратичну функцію можна схематично записати як ax² + bx + c. Доданок ax² називається квадратичним, і він має бути в кожній квадратичній функції. Наступний доданок bx називається лінійним, і в квадратичній функції його може й не бути — коефіцієнт b може дорівнювати нулю. Наприклад, функція f(x) = 5x² + 7 усе одно квадратична. Останній доданок c називається вільним членом, і він теж не обов'язковий. Отже, для функції f(x) = x² + 3x − 7 маємо

$$ a = 1, b = 3, c = -7 $$

Чому a дорівнює одиниці? Бо запис x² насправді означає 1 · x², тому a = 1.

Властивості квадратичної функції

Почнімо з області визначення: область визначення D(f) квадратичної функції — це ℝ, множина дійсних чисел. Область значень E(f) залежить від конкретної функції, але завжди простягається до (плюс або мінус) нескінченності. Крім того, квадратична функція по один бік від вершини зростає, а по другий — спадає. Якщо лінійний доданок дорівнює нулю (b = 0), квадратична функція парна. Квадратична функція ніколи не є оборотною.

Обмеженість зверху або знизу

Квадратична функція завжди обмежена або зверху, або знизу. Це залежить лише від коефіцієнта a. Якщо коефіцієнт a додатний, то графік функції «росте вгору», нагадує літеру «U», а тому обмежений знизу. Прикладом є функція f(x) = 2x² з таким графіком:

Бачимо, що всі значення функції (усі червоні точки) лежать вище за число −1, тож функція обмежена знизу. А якби ми мали функцію f(x) = −2x²:

то всі значення функції лежали б нижче за число 1, тож функція була б обмежена зверху.

Опуклість та увігнутість

Опуклість і увігнутість знову залежать від коефіцієнта a. Квадратична функція опукла (вниз), якщо має форму літери «U», і увігнута (опукла вгору), якщо має форму перевернутої літери «U». Отже, якщо a > 0, графік опуклий (вниз), а якщо a < 0, графік увігнутий (опуклий вгору).

Коефіцієнт a також визначає, буде графік вузьким чи широким. Чим ближче значення a до нуля, тим ширший графік, і навпаки.

Точки перетину з віссю Ox та віссю Oy

Щоб обчислити точки перетину графіка функції з віссю Ox або Oy, достатньо скласти просте рівняння та розв'язати його. Треба лише пам'ятати, що функцію можна записати у вигляді y = ax² + bx + c, а це означає, що ординату в точці x = 2 ми знайдемо, якщо замість кожного x підставимо двійку.

Наприклад, для функції y = x² − 4x + 3 у точці x = 2 отримаємо ординату 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Отже, графік функції проходить через точку (2; −1). Якщо ми хочемо обчислити точки перетину з віссю Ox, то нас, власне, цікавить значення x тоді, коли y = 0. Точка перетину з віссю Ox завжди має ординату 0 — подивися на наступний графік, і все стане зрозуміло.

Тому в записі y = x² − 4x + 3 ми просто підставляємо замість y нуль і розв'язуємо рівняння. Знайдені корені — це абсциси точок перетину.

$$ x^2-4x+3 = 0 $$

Це квадратне рівняння, яке можна розв'язати стандартними способами. Наприклад, можна розкласти його на лінійні множники: (x − 1) · (x − 3), звідки видно, що корені дорівнюють x₁ = 1 і x₂ = 3.

Якщо ми хочемо знайти точку перетину з віссю Oy, діємо так само. Беремо запис y = x² − 4x + 3 і цього разу підставляємо нуль замість x. По суті, ми запитуємо, яке значення має функція в точці x = 0:

$$ 0^2-4\cdot0+3=3 $$

Отже, точки перетину з віссю Ox — це (1; 0) і (3; 0), а з віссю Oy — точка (0; 3).

Як обчислити координати вершини

Для квадратичної функції дуже важливо вміти визначати її вершину. Щоб тобі не доводилося запам'ятовувати доволі складну формулу, покажемо інший спосіб, який використовує виділення повного квадрата. Вершина квадратичної функції — це точка, у якій функція має мінімум або максимум. Функція f(x) = x² − 4x + 3, графік якої виглядає так:

має вершину в точці (2; −1).

Загальний вигляд квадратичної функції такий: f(x) = ax² + bx + c. Ми перетворимо цю функцію до вигляду g(x) = (x + m)² + n, де (−m; n) — вершина квадратичної функції. Для нашої функції хочемо отримати вигляд (x − 2)² − 1. Як його дістати?

Спочатку запишемо лише дужку: (x + m), а замість m підставимо половину коефіцієнта b квадратичної функції. Коефіцієнт b дорівнює мінус чотирьом, половина — мінус двом, тож отримуємо такий запис: (x − 2)².

Тепер другий крок: треба відняти зайве. Якби ми розкрили цю дужку, то не вийшов би правильний результат — ми б не отримали початкову функцію. Від дужки ще треба відняти квадрат m і додати коефіцієнт c початкової функції.

Тобто від дужки віднімаємо (−2)² і додаємо три (коефіцієнт c):

$$ (x - 2)^2 − 4 + 3 $$

Після спрощення отримаємо

$$ (x - 2)^2 − 1, $$

і це остаточний результат. Оскільки функція має вигляд (x + m)² + n, де m = −2, n = −1, то знаємо, що вершина має координати (−m; n), тобто (2; −1).

Залишилося перевірити, чи ми обчислили все правильно. Ми лише перетворили квадратичну функцію x² − 4x + 3 до вигляду (x − 2)² − 1. Проте цей новий вигляд має описувати ту саму функцію, тож якщо розкрити дужку, ми повинні отримати початковий вигляд функції. Спробуймо розкрити дужки в (x − 2)² − 1.

$$\begin{eqnarray} (x - 2)^2 − 1 &=& (x-2) \cdot (x-2)-1\\ &=& x^2-4x+4-1\\ &=& x^2-4x+3 \end{eqnarray}$$

Бачимо, що ми отримали ту саму функцію, отже, перетворення виконано правильно.