Векторний добуток

Векторний добуток — це операція над двома векторами в просторі, результатом якої є новий вектор, перпендикулярний до цих двох.

Що таке векторний добуток

Векторний добуток визначено для двох векторів і лише в просторі. Результат векторного добутку, на відміну від скалярного добутку, — знову вектор. Результатом векторного добутку векторів $\vec{u}$ і $\vec{v}$ є вектор $\vec{w}$, який має такі властивості:

$$|\vec{w}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin\alpha,$$

де α — кут між векторами $\vec{u}$ і $\vec{v}$. Крім того, вектор $\vec{w}$ перпендикулярний до обох векторів $\vec{u}$ і $\vec{v}$. Його напрям визначає правило правої руки. Щоб відрізнити векторний добуток від скалярного, у векторному використовуємо знак ×: $\vec{u} \times \vec{v}$.

На рисунку зображено один із можливих векторних добутків $\vec{u} \times \vec{v}$. Результат — вектор $\vec{w}$, перпендикулярний до обох векторів. Ми у просторі, тож вектори $\vec{u}$ і $\vec{v}$ лежать в одній площині, а вектор $\vec{w}$ перпендикулярний до цієї площини.

Якщо один вектор є лінійною комбінацією іншого, то їхній векторний добуток дорівнює нульовому вектору. Це охоплює випадки, коли обидва вектори лежать на одній прямій. Якщо хоча б один вектор нульовий, то й добуток нульовий.

Як знайти координати отриманого вектора

Поки що ми вміємо обчислити довжину отриманого вектора та його напрям. Практичніше, однак, знати безпосередньо його координати. Сама формула виглядає так:

$$u\times v=(u_2v_3-v_2u_3; u_3v_1-v_3u_1; u_1v_2-v_1u_2)$$

Цю формулу досить важко запам'ятати, тому є підказка:

За цією таблицею вже можна легко множити вектори. Приклад: нехай $\vec{u}=(4; 0; 0)$ і $\vec{v}=(0; 5; 0)$. Це вектори, що повністю лежать на осі Ox та осі Oy відповідно. Їхній векторний добуток дорівнює:

$$\begin{matrix} \vec{u}&0&&0&&4&&0\\\hline \vec{v}&5&&0&&0&&5\\ \vec{u}\times \vec{v}&&0&&0&&20 \end{matrix}$$

Отриманий вектор $\vec{w}$ має координати (0; 0; 20). Що результат правильний, можна перевірити за першим означенням. Воно стверджує, що

$$|w|=|u|\cdot|v|\cdot\sin\alpha,$$

Наш вектор $\vec{w}$ має довжину 20. За формулою має виконуватися:

$$20=|u|\cdot|v|\cdot\sin\alpha$$

Підставимо:

$$20=4\cdot5\cdot\sin90^\circ=20\cdot1=20.$$

Для чого це потрібно

Очевидно, за допомогою векторного добутку можна знайти вектор, перпендикулярний до двох інших векторів. Що це справді так, можна знову перевірити скалярним добутком. Результат має бути нуль. Перевірка для попереднього прикладу:

$$\begin{eqnarray} \vec{u}\cdot \vec{w}&=&4\cdot0+0+0\cdot20=0\\ \vec{v}\cdot \vec{w}&=&0+5\cdot0+0\cdot20=0 \end{eqnarray}$$

Інше застосування — обчислення площі паралелограма в просторі. Якщо маємо паралелограм ABCD у просторі та вектори $\vec{u}$ і $\vec{v}$, утворені сторонами AB і AD, то площа паралелограма дорівнює $S=|\vec{u} \times \vec{v}|$. Якщо маємо в просторі трикутник ABC і вектори $\vec{u}$ та $\vec{v}$, утворені сторонами AB і AC, то його площа дорівнює $S=\frac12|\vec{u} \times \vec{v}|$.

Приклад: обчисли площу трикутника в просторі з вершинами A(1; 0; 3), B(5; 6; 8) і C(3; 5; 4).

Спочатку треба визначити вектори $\vec{u}$ і $\vec{v}$.

$$\begin{eqnarray} u&=&B-A=(4; 6; 5)\\ v&=&C-A=(2; 5; 1) \end{eqnarray}$$

Тепер обчислимо їхній добуток:

$$\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}=(-19; 6; 8)$$

А потім довжину:

$$|\vec{w}|=\sqrt{(-19)^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx21{,}47$$

І нарешті ділимо результат на два:

$$S(\triangle ABC)=\frac{21{,}47}{2}=10{,}735$$