Операції з векторами

З векторами можна виконувати основні операції, такі як додавання та множення.

Додавання векторів

Щоб додати два вектори, відкладаємо їх від початку координат, добудовуємо до паралелограма, і діагональ, що виходить із початку координат, буде вектором-сумою. Звісно, є ілюстративний рисунок:

Аналітично сума векторів — це сума відповідних координат. Отже, якщо маємо два вектори $\vec{u}=(u_1; u_2)$ і $\vec{v}=(v_1; v_2)$, то сума $\vec{u}+\vec{v}$ дорівнює

$$\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1; u_2+v_2)$$

Для векторів на рисунку виконується: $\vec{u}=(2; 4)$ і $\vec{v}=(4; 1)$. Сума має такий вигляд: $\vec{u}+\vec{v}=(2+4; 4+1)=(6; 5)$. Ці координати відповідають точці D.

Віднімання векторів — це те саме, що додавання протилежного вектора. Аналітично:

$$\vec{u}-\vec{v}=(u_1-v_1; u_2-v_2)$$

Якщо додаємо вектори, що лежать на одній прямій і напрямлені однаково, то вектор-сума просто виходить довшим. Якщо їхні напрями протилежні, то від більшої довжини віднімаємо меншу. З рисунка це буде краще видно:

Додавання векторів комутативне та асоціативне. Існує вектор $\vec{0}$, який називаємо нульовим вектором і для якого виконується $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$, так само як для чисел. Для кожного вектора $\vec{u}$ існує протилежний вектор $-\vec{u}$, для якого виконується $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$.

Множення вектора на число

Якщо множимо вектор на дійсне число k, то просто множимо на k обидві його координати. У геометричній інтерпретації це виглядає як «розтягування» або «стискання» вектора, а також зміною його напряму на протилежний, якщо k від'ємне.

З рисунка видно, що коли множимо вектор u на число k, то:

• Якщо модуль k менший за одиницю, вектор коротшає.
• Якщо модуль k більший за одиницю, вектор довшає.
• Якщо k від'ємне, вектор має протилежний напрям.

Лінійна комбінація векторів

У лінійній алгебрі часто використовуємо лінійні комбінації векторів. Якщо маємо вектори $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3, \ldots$, то лінійна комбінація цих векторів — це

• добуток одного з векторів $\vec{u}_n$ на число k,
• сума будь-яких двох чи більше векторів,
• поєднання попередніх випадків — можемо додавати вектори $\vec{u}_n$, помножені на числа k_n.

Якщо маємо вектори $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_n$, то вектор $\vec{v}$ є лінійною комбінацією векторів $\vec{u}_n$, якщо виконується:

$$\vec{v}=c_1\cdot \vec{u}_1+c_2\cdot \vec{u}_2+\ldots+c_n\cdot \vec{u}_n;\quad c_i\in\mathbb{R}$$

Зверни увагу: коефіцієнти c_i — дійсні числа, тому можемо взяти нуль, і один із векторів повністю випаде. Приклад: маємо вектори $\vec{u}_1=(1; 3), \vec{u}_2=(0; 4), \vec{u}_3=(7; 2)$. Ось деякі можливі лінійні комбінації:

$$\begin{eqnarray} (8; 9)&=&1\cdot(1; 3)+1\cdot(0; 4)+1\cdot(7; 2)\\ (22; 17)&=&1\cdot(1; 3)+2(0; 4)+3(7; 2)\\ (68; 38)&=&-2(1; 3)+6(0; 4)+10(7; 2)\\ (-\frac12; -\frac{43}{2})&=&-\frac12(1; 3)-5(0; 4)+0(7; 2)\\ \end{eqnarray}$$