Скалярний добуток

Скалярний добуток визначається для двох векторів і відображає зв'язок між довжинами векторів та кутом між ними.

Скалярний добуток

Скалярний добуток визначаємо для двох векторів. Позначаємо його як звичайний добуток, крапкою посередині: $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Результат скалярного добутку — дійсне число, а не вектор. Якщо маємо два вектори $\vec{u}=(u_1; u_2)$ і $\vec{v}=(v_1; v_2)$, то їхній скалярний добуток дорівнює:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=u_1v_1+u_2v_2$$

Якщо хоча б один із векторів $\vec{u}$ і $\vec{v}$ нульовий, визначаємо їхній добуток так:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$$

Який геометричний зміст скалярного добутку? Для скалярного добутку двох векторів також виконується

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha,$$

де α — величина кута між цими векторами. Ця формула дає простий спосіб знайти кут між двома векторами. Якщо з неї виразити косинус, отримаємо формулу:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Ця формула справедлива на площині. У просторі треба додати ще один вимір. Тепер уже можемо зобразити геометричний зміст скалярного добутку.

Якщо скалярно множимо вектори $\vec{u}$ і $\vec{v}$, а результат ділимо на довжину вектора $\vec{u}$, отримуємо довжину відрізка AD, тобто довжину проєкції вектора $\vec{v}$ на напрям вектора $\vec{u}$.

Перевірка прямого кута

Скалярний добуток можна використати, щоб перевірити, чи кут між векторами дорівнює $90^{\circ}$. Коли скалярний добуток дорівнює нулю? Подивися на формулу…

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$$

… і побачиш, що добуток $|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|$ завжди відмінний від нуля (кут між нульовими векторами не визначаємо, тож зараз розглядаємо лише ненульові вектори). Довжини векторів завжди додатні, отже й їхній добуток теж. Єдиний множник, що може звести весь вираз до нуля, — косинус. Коли косинус дорівнює нулю? Коли кут дорівнює $90^{\circ}$ (або $270^{\circ}$ — але прямий кут тоді буде з іншого боку). Отже, вектори утворюють прямий кут тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Приклад: маємо три вектори $\vec{u}_1=(-2; 4), \vec{u}_2=(2; 1), \vec{u}_3=(1; 4)$. Які з них перпендикулярні один до одного? Обчислимо по черзі скалярні добутки всіх пар:

$$\begin{eqnarray} \vec{u}_1\cdot \vec{u}_2=-2\cdot2+4\cdot1&=&0\\ \vec{u}_1\cdot \vec{u}_3=-2\cdot1+4\cdot4&=&14\\ \vec{u}_2\cdot \vec{u}_3=2\cdot1+1\cdot4&=&6 \end{eqnarray}$$

Як показують скалярні добутки, прямий кут є лише між векторами $\vec{u}_1$ і $\vec{u}_2$. Можеш подивитися на рисунок із цими векторами:

Спробуймо ще обчислити кут між векторами $\vec{u}_1$ і $\vec{u}_3$. Просто підставимо у формулу:

$$\begin{eqnarray} \cos\alpha&=&\frac{-2\cdot1+4\cdot4}{\sqrt{(-2)^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2+4^2}}\\ &=&\frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{17}}\\ &=&\frac{14}{\sqrt{340}}\\ &\approx&\frac{14}{18{,}439} \end{eqnarray}$$

Якщо обчислити арккосинус, отримаємо величину кута. Результат — кут величиною приблизно $40^{\circ}$.