Лінійна комбінація векторів

Лінійна комбінація — це спосіб скласти з певної множини векторів новий вектор лише за допомогою додавання та множення.

Що таке лінійна комбінація

Нехай дано якийсь векторний простір V. Ми знаємо, що простір замкнений відносно додавання векторів, тож для двох векторів $\vec{x}, \vec{y} \in V$ завжди виконується $\vec{x}+\vec{y}\in V$. Якщо додати два вектори, знову отримаємо вектор із того самого простору. Те саме стосується множення на скаляр. Якщо маємо якесь k∈ ℝ, то й $k\cdot \vec{x} \in V$.

Обидві операції можна поєднати — візьмемо k, l ∈ ℝ, і вираз $k\cdot \vec{x} + l\cdot \vec{y}$ знову дасть новий вектор, позначимо його $\vec{v}$, і цей вектор $\vec{v}$ знову лежатиме в просторі V. Чому? $k\cdot \vec{x} \in V$, і водночас, звісно, $l\cdot \vec{y}\in V$. Ми додаємо два вектори простору V, а за означенням маємо отримати вектор із простору V.

Тож можемо сказати, що вектор $\vec{v}$ є лінійною комбінацією векторів $\vec{x}$ і $\vec{y}$. У загальному випадку: якщо маємо вектори $\vec{x}_1, \vec{x}_2, …, \vec{x}_n$ та дійсні числа k₁, k₂, …, k_n, які називаємо коефіцієнтами, то лінійною комбінацією цих векторів є вектор $\vec{v}$, який отримуємо так:

$$\vec{v}=k_1\cdot \vec{x}_1+k_2\cdot \vec{x}_2 + \ldots + k_n\cdot \vec{x}_n.$$

Приклад: візьмемо простір ℝ² і два його вектори: (2; 3) та (0; 8). Тепер оберемо коефіцієнти: k₁ = 2, k₂ = 5. Лінійна комбінація цих векторів із коефіцієнтами k₁, k₂ дає вектор

$$2\cdot(2; 3)+5\cdot(0; 8)=(4; 6)+(0; 40)=(4; 46)$$

Бачимо, що ми отримали вектор (4; 46), який належить простору ℝ². Якби ми обрали інші коефіцієнти, отримали б інший вектор. Для k₁ = 0, k₂ = −1 маємо:

$$0\cdot(2; 3)-1\cdot(0; 8)=(0; 0)+(0; -8)=(0; -8)$$

Лінійно залежні вектори

З лінійними комбінаціями пов'язані лінійно залежні та лінійно незалежні вектори. Покажемо це на прикладі: нехай дано векторний простір ℝ² і множину векторів Q із цього простору:

$$Q=\left\{(1; 1), (2; 4), (3; 5), (10; 18)\right\}$$

Нас цікавить питання, чи можна якийсь із цих чотирьох векторів виразити як лінійну комбінацію решти трьох. Придивившись до векторів, бачимо, що вектор (3; 5) дорівнює простій сумі перших двох векторів.

$$(1; 1)+(2; 4)=(3; 5)$$

Отже, вектор (3; 5) є лінійною комбінацією векторів (1; 1) і (2; 4). Для цікавості приберемо цей вектор із множини Q. Отримаємо нову множину Q₁ такого вигляду:

$$Q_1=\left\{(1; 1), (2; 4), (10; 18)\right\}$$

Чи знайдемо там ще якийсь вектор, що є лінійною комбінацією решти? Так, вектор (10; 18) є лінійною комбінацією перших двох векторів для k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot(1; 1)+4\cdot(2; 4)=(2; 2)+(8; 16)=(10; 18)$$

Знову приберемо цей вектор і отримаємо:

$$Q_2=\left\{(1; 1), (2; 4)\right\}$$

Питаємо ще раз — чи можна отримати один із векторів як комбінацію іншого? Не можна: жоден добуток вектора (1; 1) на число не дорівнюватиме вектору (2; 4).

Ми отримали множину векторів, де жоден вектор не можна виразити як лінійну комбінацію решти. Таку множину називаємо лінійно незалежною множиною векторів. Якщо один вектор можна виразити як комбінацію решти, говоримо про нього як про лінійно залежний вектор. Якщо його виразити не можна, говоримо про лінійно незалежний вектор.

Нульовий вектор

Нульовий вектор $\vec{0}$ відіграє в лінійній залежності важливу роль. Повернімося до множини векторів Q₁ і простору ℝ². Множина Q₁ виглядає так:

$$Q_1=\left\{(1; 1), (2; 4), (10; 18)\right\}$$

і ми вже знаємо, що вектор (10; 18) залежний, адже 2 · (1; 1)+4 · (2; 4) = (10; 18). Що ж станеться, якщо від виразу 2 · (1; 1)+4 · (2; 4) відняти вектор (10; 18)? Або, точніше, додати його добуток на число −1? Це виглядало б так:

$$2\cdot(1; 1)+4\cdot(2; 4)-(10; 18)$$

Цей вираз, звісно, дорівнює нульовому вектору:

$$2\cdot(1; 1)+4\cdot(2; 4)-(10; 18)=(0; 0)$$

Звідси можна зробити цікавий висновок. Якщо множина векторів $\vec{x}_1, \vec{x}_2, …, \vec{x}_n$ лінійно залежна, то існують дійсні коефіцієнти a₁, a₂, …, a_n такі, що

$$a_1\cdot \vec{x}_1+a_2\cdot \vec{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \vec{x}_n = \vec{0}$$

При цьому принаймні один коефіцієнт a_i має бути ненульовим. Якби ми підставили замість усіх коефіцієнтів нуль, то завжди отримували б правильну рівність, а отже, виходило б, що кожна множина векторів лінійно залежна, що, звісно, абсурд. Обґрунтувати попередню рівність нескладно. Якщо, наприклад, вектор $\vec{x}_1$ лінійно залежний, то це означає, що

$$a_2\cdot \vec{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \vec{x}_n=\vec{x}_1$$

До цієї рівності досить додати $-\vec{x}_1$, і отримаємо

$$-1\cdot\vec{x}_1 + a_2\cdot \vec{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \vec{x}_n=\vec{0}$$

Як дізнатися, чи залежні вектори

Якщо маємо вектори $\vec{x}_1, \vec{x}_2, …, \vec{x}_n$ і хочемо з'ясувати, чи вони лінійно (не)залежні, досить розв'язати згадану рівність

$$a_1\cdot \vec{x}_1+a_2\cdot \vec{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \vec{x}_n = \vec{0}$$

тобто знайти коефіцієнти a_i. Якщо працюємо в просторі ℝ³, можемо мати, наприклад, такі вектори: (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5). Оскільки хочемо з'ясувати, чи вони залежні, розв'язуємо таку рівність:

$$a_1\cdot(1; 2; 3) + a_2\cdot(2; 1; 7) + a_3\cdot(1; -4; 5)=(0; 0; 0)$$

Цю рівність просто розпишемо за означеннями додавання векторів і множення вектора на число. Маємо a₁ · (1; 2; 3) = (a₁; 2a₁; 3a₁) тощо. Розпишемо так:

$$(a_1; 2a_1; 3a_1)+(2a_2; a_2; 7a_2)+(a_3; -4a_3; 5a_3)=(0; 0; 0)$$

Тепер розпишемо додавання. Додаємо завжди відповідні координати, тож додаємо першу координату першого вектора a₁, першу координату другого вектора 2a₂ і першу координату третього вектора a₃, і все це має дорівнювати першій координаті нульового вектора, тобто нулю. Так само для другої та третьої координати. Отримаємо систему лінійних рівнянь:

$$ \begin{array}{} a_1&+&2a_2&+&a_3&=&0\\ 2a_1&+&a_2&+&-4a_3&=&0\\ 3a_1&+&7a_2&+&5a_3&=&0\\ \end{array} $$

Цю систему можна записати у вигляді стандартної матриці:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} $$

Зверніть увагу: у стовпцях цієї матриці насправді стоять початкові вектори. У першому стовпці матриці — початковий вектор (1; 2; 3), у третьому — вектор (1; −4; 5) тощо. Під час обчислень не обов'язково щоразу виконувати всі ці складні перетворення: матрицю можна одразу скласти, записавши в стовпці вектори, залежність яких потрібно перевірити, і додавши нульовий стовпець.

Систему можна розв'язати методом Гаусса. Зведемо матрицю до ступінчастого вигляду. Спочатку додамо до другого рядка перший, помножений на −2, а до третього рядка — перший, помножений на −3:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$

Тепер можемо додати до другого рядка третій, помножений на 3:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$

Далі можна вже не рахувати: нам вдалося отримати нульовий рядок, а це означає, що вектори лінійно залежні. Проте розв'язання системи можна довести до кінця. Виберемо параметр a₃ = t. Тоді з рівняння

$$a_2+2a_3=0$$

яке відповідає останньому рядку матриці, підстановкою a₃ = t отримаємо:

$$\begin{eqnarray} a_2+2t&=&0\\ a_2&=&-2t \end{eqnarray}$$

Тепер підставимо ці значення в перше рівняння, тобто в перший рядок матриці:

$$\begin{eqnarray} a_1+2a_2+a_3&=&0\\ a_1-4t+t&=&0\\ a_1&=&3t \end{eqnarray}$$

Отже, a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Якщо замість t підставити, скажімо, t = 3, отримаємо один конкретний розв'язок a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Ці коефіцієнти можна підставити в початкову рівність

$$a_1\cdot(1; 2; 3) + a_2\cdot(2; 1; 7) + a_3\cdot(1; -4; 5)=(0; 0; 0)$$

і отримаємо:

$$9\cdot(1; 2; 3) + (-6)\cdot(2; 1; 7) + 3\cdot(1; -4; 5)=(0; 0; 0)$$

Перетворимо ліву частину:

$$\begin{eqnarray} 9\cdot(1; 2; 3) + (-6)\cdot(2; 1; 7) + 3\cdot(1; -4; 5)&=&(0; 0; 0)\\ (9; 18; 27) + (-12; -6; -42) + (3; -12; 15)&=&(0; 0; 0)\\ (9-12+3; 18-6-12; 27-42+15) &=& (0; 0; 0)\\ (0; 0; 0) &=& (0; 0; 0)\\ \end{eqnarray}$$

Бачимо, що якщо як коефіцієнти обрати, наприклад, a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, то з векторів (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5) отримаємо нульовий вектор. Якби система мала лише один, нульовий, розв'язок, то вектори були б лінійно незалежними.