Ορίζουσες

Στη γραμμική άλγεβρα η ορίζουσα είναι μια απεικόνιση που αντιστοιχίζει σε κάθε τετραγωνικό πίνακα A ένα βαθμωτό μέγεθος, το οποίο συμβολίζουμε |A|. Στην περίπτωση αριθμητικών πινάκων η ορίζουσα ισούται με κάποιον πραγματικό αριθμό.

Μεταθέσεις ν-άδας

Για να ορίσουμε την ορίζουσα, πρέπει να ξέρουμε πώς υπολογίζεται η μετάθεση μιας ν-άδας, δηλαδή το πρόσημο της μετάθεσης. Θα το εξηγήσω καλύτερα με ένα παράδειγμα. Έστω η διατεταγμένη τριάδα ⟨1, 2, 3⟩, η οποία απεικονίζεται στην τριάδα ⟨2, 3, 1⟩. Στις μεταθέσεις αυτό συνήθως το γράφουμε ως εξής:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Τώρα πρέπει να βρούμε πόσες αντιμεταθέσεις αριθμών χρειάστηκε να κάνουμε, για να πάρουμε από το πρώτο σύνολο το δεύτερο. Επιτρέπεται να αντιμεταθέτουμε μόνο γειτονικούς αριθμούς. Έχουμε λοιπόν την τριάδα ⟨1, 2, 3⟩. Αντιμεταθέτουμε το ένα με το δύο: ⟨2, 1, 3⟩. Μετά αντιμεταθέτουμε το ένα με το τρία: ⟨2, 3, 1⟩, και έτσι παίρνουμε τη ζητούμενη μετάθεση. Για να φτάσουμε στην εικόνα χρειαστήκαμε δύο αντιμεταθέσεις. Το πρόσημο της μετάθεσης βρίσκεται απλά – αν το πλήθος των αντιμεταθέσεων είναι άρτιο, το πρόσημο είναι θετικό. Αν το πλήθος είναι περιττό, το πρόσημο είναι αρνητικό. Στην περίπτωσή μας το πρόσημο της μετάθεσης είναι επομένως θετικό. Ας προσπαθήσουμε να βρούμε το πρόσημο της μετάθεσης και σε αυτό το παράδειγμα:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Θα προχωρήσουμε ως εξής:

$$⟨4,2,3,1⟩\to ⟨4,2,1,3⟩\to ⟨4,1,2,3⟩\to ⟨1,4,2,3⟩\to ⟨1,4,3,2⟩\to ⟨1,3,4,2⟩$$

Η διαδικασία ολοκληρώθηκε. Χρειαστήκαμε συνολικά πέντε αντιμεταθέσεις, οπότε αυτή τη φορά πήραμε μετάθεση με περιττό πρόσημο.

Το πρόσημο της μετάθεσης το συμβολίζουμε με το σύμβολο Levi-Civita:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{αν η }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ είναι άρτια μετάθεση της }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{αν η }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ είναι περιττή μετάθεση της }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{σε κάθε άλλη περίπτωση}\end{array}$$

Ορισμός της ορίζουσας

Η ορίζουσα είναι ένας αριθμός· ορίζεται μόνο για τετραγωνικούς πίνακες και γράφεται είτε det A είτε |A|. Ο αριθμός αυτός ορίζεται ως εξής:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Ας δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τύπου 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Αν αντικαταστήσουμε στον ορισμό την συγκεκριμένη τιμή n = 2, παίρνουμε τον τύπο:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Στη θέση των i₁ και i₂ βάζουμε διαδοχικά τις τιμές 1 και 2. Έτσι προκύπτουν συνολικά τέσσερις δυνατότητες: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Στις περιπτώσεις a) και d) παίρνουμε μηδενική μετάθεση, επειδή ϵ_1,1 = 0 και ϵ_2,2 = 0. Στο άθροισμα του τύπου παίρνουμε επομένως σε αυτό το βήμα μηδέν, αφού 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Μένουν οι περιπτώσεις b) και c). Στην περίπτωση b) i₁ = 1, i₂ = 2 έχουμε: ϵ_1,2 = 1, επειδή η ⟨1, 2⟩ είναι άρτια μετάθεση της ⟨1, 2⟩. Παίρνουμε τον πρώτο προσθετέο:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

Στην υπόλοιπη περίπτωση έχουμε i₁ = 2, i₂ = 1. Η τιμή του ϵ_2,1 ισούται με −1. Παίρνουμε τον δεύτερο προσθετέο:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Τώρα προσθέτουμε και τις τέσσερις περιπτώσεις a) + b) + c) + d) και παίρνουμε

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Η ορίζουσα του πίνακα A ισούται με δέκα.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι τελικά υπολογίσαμε την ορίζουσα του πίνακα ως διαφορά

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Ο τύπος αυτός ισχύει γενικά για οποιονδήποτε πίνακα τύπου 2 × 2.

Κανόνας του Sarrus

Με τον κανόνα του Sarrus υπολογίζουμε την ορίζουσα πίνακα τρίτης τάξης. Αυτή η ορίζουσα είναι λίγο πιο σύνθετη. Ας υπολογίσουμε, για παράδειγμα, την ορίζουσα του εξής πίνακα:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Θα προχωρήσουμε παρόμοια όπως στον πίνακα δεύτερης τάξης, αλλά για να είναι πιο ευανάγνωστο θα επεκτείνουμε τον πίνακα κατά δύο ακόμη γραμμές – κάτω από τον πίνακα αντιγράφουμε τις δύο πρώτες γραμμές του:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Η πρώτη και η τέταρτη γραμμή του πίνακα είναι λοιπόν ίδιες, και το ίδιο ισχύει για τη δεύτερη και την πέμπτη. Τώρα προσθέτουμε τα γινόμενα των στοιχείων πάνω στις κύριες διαγωνίους και αφαιρούμε από αυτά το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων πάνω στις δευτερεύουσες διαγωνίους. Μετά την αντικατάσταση παίρνουμε:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Ιδιότητες της ορίζουσας

• Αν πολλαπλασιάσουμε μια γραμμή ή μια στήλη του πίνακα A με έναν αριθμό c ≠ 0, παίρνουμε πίνακα A' και για τις ορίζουσές τους ισχύει: c|A| = |A'|. Δηλαδή, αν πολλαπλασιάσεις μια γραμμή του πίνακα με το τρία και υπολογίσεις την ορίζουσα, τότε την ορίζουσα του αρχικού πίνακα την παίρνεις διαιρώντας το τωρινό αποτέλεσμα με το τρία.

• Αν πολλαπλασιάσουμε την i-οστή γραμμή και την προσθέσουμε στην j-οστή γραμμή, η ορίζουσα του πίνακα δεν αλλάζει. Το ίδιο ισχύει και για τις στήλες.

• Αν τουλάχιστον μία γραμμή του πίνακα είναι μηδενική, η ορίζουσα του πίνακα είναι μηδέν.

• Ένας αντιστρέψιμος πίνακας έχει πάντα ορίζουσα διάφορη του μηδενός και ένας μη αντιστρέψιμος πίνακας έχει πάντα ορίζουσα ίση με μηδέν.

• Η ορίζουσα ενός πίνακα σε κλιμακωτή μορφή ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου.

• Αν αντιμεταθέσουμε δύο γραμμές του πίνακα, η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Από τις προηγούμενες ιδιότητες προκύπτει μια σχετικά απλή διαδικασία υπολογισμού της ορίζουσας. Αρκεί να φέρουμε τον πίνακα σε κλιμακωτή μορφή και μετά να πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου. Πάμε:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Με τους συνήθεις μετασχηματισμούς πινάκων φέρνουμε τώρα τον πίνακα σε κλιμακωτή μορφή:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Τώρα κάνουμε το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Υπολόγισε την ορίζουσα αυτού του πίνακα:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Αρχικά θα είναι βολικό να αντιμεταθέσουμε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή, ώστε να φέρουμε τον μικρότερο αριθμό πάνω. Δεν πρέπει όμως να ξεχάσουμε να αλλάξουμε το πρόσημο:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Στη συνέχεια θα ήταν αρκετά έξυπνο να πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη γραμμή με το δύο, ώστε να μπορούμε να προσθέτουμε άνετα. Δεν πρέπει να ξεχάσουμε να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την ορίζουσα με το ένα δεύτερο:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Και τώρα θα προχωρήσουμε κλασικά:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Ανάπτυγμα Laplace

Ο Laplace ήταν ένας καλός κύριος, που επινόησε έναν ακόμη αλγόριθμο για τον υπολογισμό των οριζουσών πινάκων. Για να καταλάβουμε αυτή τη «συνταγή», πρέπει να ξέρουμε να υπολογίζουμε έναν ειδικό υποπίνακα του αρχικού πίνακα. Έχουμε έναν πίνακα A και θέλουμε να φτιάξουμε έναν υποπίνακα, ο οποίος προκύπτει αν από τον πίνακα A αφαιρέσουμε μία γραμμή και μία στήλη. Τον νέο αυτόν πίνακα τον συμβολίζουμε $S_{ij}^A$, που μας λέει ότι από τον πίνακα A αφαιρέσαμε την i-οστή γραμμή και την j-οστή στήλη. Παράδειγμα:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Ο υποπίνακας $S_{12}^A$ έχει τη μορφή:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Στη συνέχεια ορίζουμε την έννοια της ελάσσονος ορίζουσας, που δεν είναι τίποτε άλλο από την ορίζουσα του υποπίνακα $S_{ij}^A$ που ορίσαμε. Την ελάσσονα ορίζουσα τη συμβολίζουμε με τον ίδιο τρόπο, αλλά με το γράμμα M, δηλαδή $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Μπορούμε να μιλάμε και για την ελάσσονα ορίζουσα του στοιχείου a_ij, η οποία είναι ακριβώς η $M_{ij}^A$.

Με τη βοήθεια αυτών των ελασσόνων οριζουσών μπορούμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Στο πρώτο βήμα διαλέγουμε μια γραμμή (ή στήλη) του πίνακα. Μετά για κάθε στοιχείο αυτής της γραμμής υπολογίζουμε την ελάσσονα ορίζουσά του. Παίρνουμε έτσι τόσες ελάσσονες ορίζουσες, όσα στοιχεία έχει η γραμμή. Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε την ορίζουσα του αρχικού πίνακα A τύπου n × n ως σταθμισμένο άθροισμα αυτών των ελασσόνων οριζουσών:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

όπου i είναι η γραμμή που διαλέξαμε. Αν θέλαμε να διατρέξουμε τη μεταβλητή i, θα έπρεπε να κρατήσουμε σταθερή τη μεταβλητή j – τον δείκτη της στήλης.

Στην πράξη, έχεις έναν πίνακα και θέλεις να βρεις την ορίζουσά του. Παίρνεις λοιπόν μία στήλη του πίνακα (ή γραμμή), για κάθε στοιχείο αυτής της στήλης προσδιορίζεις την ελάσσονα ορίζουσα, της βάζεις το πρόσημο (−1)^{i + j} και τα προσθέτεις όλα, πολλαπλασιάζοντας κάθε ορίζουσα με το στοιχείο του οποίου είναι ελάσσονα ορίζουσα. Επειδή την ελάσσονα ορίζουσα $M_{ij}^A$ την πολλαπλασιάζουμε επιπλέον με το στοιχείο a_ij, βολεύει όταν αυτό το στοιχείο είναι μηδέν. Τότε εξαφανίζεται ο υπόλοιπος υπολογισμός και γλιτώνεις δουλειά. Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα αυτού του πίνακα:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Στον πίνακα υπάρχει μόνο ένα μηδενικό, οπότε ιδανικά το ανάπτυγμα θα το κάνουμε είτε ως προς τη δεύτερη γραμμή είτε ως προς την τρίτη στήλη. Διαλέγουμε, για παράδειγμα, τη γραμμή. Στο πρώτο βήμα εξάγουμε τους υποπίνακες:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Τώρα υπολογίζουμε τις ορίζουσες, και έτσι παίρνουμε τις ελάσσονες ορίζουσες. Για πίνακα δεύτερης τάξης αυτό είναι τετριμμένο.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Τώρα μπορούμε να το αντικαταστήσουμε στον τύπο, i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Πρόσεξε ότι, επειδή το στοιχείο στο τέλος της δεύτερης γραμμής είναι μηδέν, και ο τρίτος προσθετέος έγινε μηδέν. Ένα ακόμη παράδειγμα:

Υπολόγισε την ορίζουσα αυτού του πίνακα με τη μέθοδο Laplace:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

Στην τρίτη στήλη έχουμε μόνο πολλαπλάσια του τρία, και αυτό μπορούμε να το εκμεταλλευτούμε για να μηδενίσουμε τη στήλη και να προετοιμάσουμε το έδαφος για την εφαρμογή της μεθόδου Laplace. Στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε λοιπόν −2 φορές την πρώτη γραμμή, στην τρίτη προσθέτουμε −3 φορές την πρώτη γραμμή και στην τέταρτη −1 φορά την πρώτη.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Έτσι δεν αλλάξαμε την τιμή της ορίζουσας, αλλά θα υπολογίζεται πιο εύκολα. Κάνουμε ανάπτυγμα ως προς την τρίτη στήλη, όπου έχουμε μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο, οπότε στο ανάπτυγμα μένει μόνο η ελάσσονα ορίζουσα του τρίτου στοιχείου της πρώτης γραμμής:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

Στην τρίτη στήλη του νέου πίνακα βλέπουμε στο τέλος τη μονάδα, και μπορούμε εύκολα να την αξιοποιήσουμε, μηδενίζοντας αυτή τη στήλη:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Τώρα κάνουμε ανάπτυγμα ως προς την τρίτη στήλη. Και πάλι υπάρχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Και αυτό μπορούμε πια να το υπολογίσουμε κλασικά: 3 · (32 − 65) = −99.