Determinante di una matrice

Nell’algebra lineare il determinante è una funzione che associa a ogni matrice quadrata A uno scalare, che indichiamo con |A|. Nel caso di matrici numeriche il determinante è uguale a un numero reale.

Permutazioni di n-uple

Per poter definire il determinante dobbiamo saper calcolare la permutazione di una n-upla, o meglio il segno di una permutazione. Il modo migliore per spiegarlo è un esempio. Prendiamo la terna ordinata (1; 2; 3), che viene trasformata nella terna (2; 3; 1). Di solito le permutazioni si scrivono così:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Ora dobbiamo scoprire quanti scambi di numeri abbiamo dovuto fare per ottenere dal primo insieme il secondo, con la regola che possiamo scambiare solo numeri vicini. Partiamo dalla terna (1; 2; 3). Ora scambiamo 1 e 2: (2; 1; 3). Poi scambiamo 1 e 3: (2; 3; 1), e abbiamo così la permutazione cercata. Per ottenere l’immagine ci sono serviti due scambi. Il segno della permutazione si trova facilmente: se il numero di scambi è pari, il segno è positivo; se è dispari, il segno è negativo. Nel nostro caso il segno della permutazione è quindi positivo. Proviamo a determinare il segno della permutazione anche in quest’altro esempio:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Procediamo così:

$$(4;2;3;1)\to (4;2;1;3)\to (4;1;2;3)\to (1;4;2;3)\to (1;4;3;2)\to (1;3;4;2)$$

Il procedimento è finito. Ci sono serviti in tutto cinque scambi, quindi stavolta abbiamo ottenuto una permutazione dispari.

Il segno di una permutazione si indica con il simbolo di Levi-Civita:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{se }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ è una permutazione pari di }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{se }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ è una permutazione dispari di }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Definizione di determinante

Il determinante è un numero; è definito solo per le matrici quadrate e si scrive come det A oppure |A|. Questo numero è definito così:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Proviamo a calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Sostituendo nella definizione il valore concreto n = 2, otteniamo questa formula:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Al posto di i₁ e i₂ sostituiamo a turno i valori 1 e 2. Otteniamo così in tutto quattro possibilità: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Nei casi a) e d) otteniamo una permutazione nulla, perché ϵ_1,1 = 0 e ϵ_2,2 = 0. Nella somma della formula otteniamo quindi in questo passaggio zero, perché 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Restano i casi b) e c). Nel caso b) i₁ = 1, i₂ = 2 abbiamo: ϵ_1,2 = 1, perché (1; 2) è una permutazione pari di (1; 2). Otteniamo il primo addendo:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

Nel caso rimanente abbiamo i₁ = 2, i₂ = 1. Il valore di ϵ_2,1 è uguale a −1. Otteniamo il secondo addendo:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Ora sommiamo tutti e quattro i casi a) + b) + c) + d) e otteniamo

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Il determinante della matrice A è uguale a dieci.

Possiamo notare che alla fine abbiamo calcolato il determinante della matrice come differenza

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Questa formula vale in generale per qualsiasi matrice di ordine 2 × 2.

Regola di Sarrus

Con la regola di Sarrus calcoliamo il determinante di una matrice del terzo ordine. Questo determinante è già un po’ più complicato. Calcoliamo, per esempio, il determinante di questa matrice:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Procediamo in modo simile alla matrice del secondo ordine, ma per chiarezza ampliamo la matrice con altre due righe, ricopiando sotto di essa le sue prime due righe:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

La prima e la quarta riga della matrice sono quindi uguali, e così pure la seconda e la quinta. Ora sommiamo i prodotti degli elementi sulle diagonali principali e da essi sottraiamo la somma dei prodotti degli elementi sulle diagonali secondarie. Sostituendo otteniamo:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Proprietà del determinante

• Se moltiplichiamo una riga o una colonna della matrice A per un numero c ≠ 0, otteniamo una matrice A' e per i loro determinanti vale: c|A| = |A'|. Quindi, se moltiplichi una riga della matrice per tre e calcoli il determinante, il determinante della matrice originale lo ottieni dividendo per tre il risultato attuale.

• Moltiplicando la i-esima riga per un numero e sommandola alla j-esima riga, il determinante della matrice non cambia. Lo stesso vale per le colonne.

• Se almeno una riga della matrice è nulla, il determinante della matrice è zero.

• Una matrice invertibile ha sempre determinante diverso da zero e una matrice singolare ha sempre determinante uguale a zero.

• Il determinante di una matrice a scala è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.

• Se scambiamo due righe della matrice, il determinante cambia segno.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Dalle proprietà precedenti ricaviamo un procedimento piuttosto semplice per calcolare il determinante. Basta ridurre la matrice a scala e poi moltiplicare gli elementi sulla diagonale principale. Vediamolo:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Con le consuete operazioni sulle matrici riduciamo la matrice a scala:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Ora facciamo il prodotto degli elementi sulla diagonale: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Calcola il determinante di questa matrice:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Come prima cosa conviene scambiare la prima e la seconda riga, per portare in alto il numero più piccolo. Non dobbiamo però dimenticare di cambiare il segno:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Poi sarà piuttosto comodo moltiplicare la seconda riga per due, per poter sommare con facilità. Non dobbiamo dimenticare di moltiplicare l’intero determinante per un mezzo:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

E ora procediamo in modo classico:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Sviluppo di Laplace

Laplace è stato un brav’uomo, un matematico che ci ha lasciato un altro algoritmo per calcolare i determinanti delle matrici. Per capire questa «ricetta» dobbiamo saper calcolare una particolare sottomatrice della matrice originale. Data una matrice A, dobbiamo costruire la sottomatrice che si ottiene eliminando da A una riga e una colonna. Indichiamo questa nuova matrice con $S_{ij}^A$, che ci dice che dalla matrice A abbiamo eliminato la i-esima riga e la j-esima colonna. Esempio:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

La sottomatrice $S_{12}^A$ ha questa forma:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Definiamo poi il concetto di minore, che non è altro che il determinante della sottomatrice $S_{ij}^A$ appena definita. Il minore si indica allo stesso modo, ma con la lettera M, cioè $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Possiamo parlare anche del minore dell’elemento a_ij, che è proprio $M_{ij}^A$.

Con questi minori possiamo calcolare il determinante della matrice originale. Nel primo passo scegliamo una riga (o una colonna) della matrice. Poi, per ogni elemento di questa riga, calcoliamo il suo minore. Otteniamo così tanti minori quanti sono gli elementi della riga. Ora possiamo esprimere il determinante della matrice originale A di tipo n × n come somma pesata di questi minori:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

dove i è la riga che abbiamo scelto. Se scegliamo di far variare l’indice i, fisseremo invece l’indice j della colonna.

In pratica funziona così: hai una matrice e vuoi conoscere il determinante. Prendi quindi una colonna della matrice (o una riga) e per ogni elemento di questa colonna determini il minore, gli assegni il segno (−1)^{i + j} e sommi il tutto, moltiplicando ogni determinante per l’elemento di cui la matrice è il minore. Poiché il minore $M_{ij}^A$ viene moltiplicato per l’elemento a_ij, conviene che questo elemento sia zero. In tal caso non servono altri calcoli e risparmi lavoro. Proviamo a calcolare il determinante di questa matrice:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Nella matrice c’è un solo zero, quindi lo sviluppo conviene farlo lungo la seconda riga o lungo la terza colonna. Scegliamo, per esempio, la riga. Nel primo passo estraiamo le sottomatrici:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Ora calcoliamo i determinanti, ottenendo così i minori. Per una matrice del secondo ordine è banale.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Ora possiamo sostituire nella formula, con i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Osserva che, poiché l’elemento alla fine della seconda riga è nullo, anche il terzo addendo è uguale a zero. Un altro esempio:

Calcola il determinante di questa matrice con il metodo di Laplace:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

Nella terza colonna abbiamo solo multipli di tre; possiamo sfruttarlo per azzerare questa colonna e preparare il terreno per l’applicazione successiva del metodo di Laplace. Alla seconda riga sommiamo quindi la prima moltiplicata per −2, alla terza la prima moltiplicata per −3 e alla quarta la prima moltiplicata per −1.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

In questo modo non abbiamo cambiato il valore del determinante, ma i calcoli saranno più semplici. Sviluppiamo lungo la terza colonna, dove c’è un solo elemento diverso da zero, quindi nello sviluppo resta solo il minore del terzo elemento della prima riga:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

Nella terza colonna della nuova matrice vediamo un 1 proprio in fondo, e possiamo sfruttarlo facilmente per azzerare questa colonna:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Ora sviluppiamo lungo la terza colonna. Di nuovo c’è un solo elemento diverso da zero:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

E questo lo possiamo calcolare in modo classico: 3 · (32 − 65) = −99.