Детерминанти

В линейната алгебра детерминантата е изображение, което на всяка квадратна матрица A съпоставя скалар, който означаваме с |A|. При числовите матрици детерминантата е равна на някакво реално число.

Пермутация на n-торка

За да определим детерминантата, ще трябва да знаем как да пресметнем пермутация на n-торка, по-точно знака на пермутацията. Най-добре ще го обясня с пример. Нека имаме наредената тройка ⟨1, 2, 3⟩, която се изобразява в тройката ⟨2, 3, 1⟩. Обикновено при пермутациите това записваме така:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})$

Сега трябва да установим колко различни размени на числа са ни били нужни, за да получим от първото множество второто. При това е разрешено да разменяме само числа, които са едно до друго. И така, имаме тройката ⟨1, 2, 3⟩. Сега разменяме единицата с двойката: ⟨2, 1, 3⟩. Сега разменяме единицата с тройката: ⟨2, 3, 1⟩, с което вече получаваме търсената пермутация. За да получим образа, ни бяха нужни две размени. Знакът на пермутацията определяме просто – ако броят на размените е четен, знакът е положителен. Ако броят е нечетен, знакът е отрицателен. В нашия случай следователно става дума за положителен знак на пермутацията. Ще опитаме да определим знака на пермутацията и в този пример:

$(\begin{matrix} 4 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix})$

Ще действаме по следния начин:

$⟨ 4, 2, 3, 1 ⟩ \to ⟨ 4, 2, 1, 3 ⟩ \to ⟨ 4, 1, 2, 3 ⟩ \to ⟨ 1, 4, 2, 3 ⟩ \to ⟨ 1, 4, 3, 2 ⟩ \to ⟨ 1, 3, 4, 2 ⟩$

Преобразуването е готово. Бяха ни нужни общо пет размени, така че този път получихме пермутация с нечетен знак.

Знака на пермутацията означаваме със символа на Леви-Чивита:

$ϵ_{i_{1}, \dots, i_{n}} = {\begin{cases} + 1 & ако (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) е четна пермутация (1, 2, 3, 4, \dots, n) \\ - 1 & ако (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) е нечетна пермутация (1, 2, 3, 4, \dots, n) \\ 0 & иначе \end{cases}$

Определение на детерминанта

Детерминантата е число; определена е само за квадратни матрици и се записва или като det A, или като |A|. Това число се определя така:

$| A | = \sum_{i_{1}, \dots, i_{n}}^{n} ϵ_{i_{1}, \dots, i_{n}} a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$

Ще опитаме да пресметнем детерминантата на квадратна матрица от ред 2 × 2:

$A = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})$

Ако заместим в определението конкретната стойност n = 2, получаваме тази формула:

$| A | = \sum_{i_{1}, i_{2}}^{2} ϵ_{i_{1}, i_{2}} \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}}$

За стойностите i₁ и i₂ последователно заместваме стойностите 1 и 2. Получаваме общо четири възможности: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

При възможностите a) и d) получаваме нулева пермутация, защото ϵ_1,1 = 0 и ϵ_2,2 = 0. В сбора във формулата на тази стъпка получаваме нула, защото 0 · a_1i₁ · a_2i₂ = 0.

Остават възможностите b) и c). При b) i₁ = 1, i₂ = 2 имаме: ϵ_1,2 = 1, защото ⟨1, 2⟩ е четна пермутация на ⟨1, 2⟩. Получаваме първото събираемо:

$1 \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} = 1 \cdot a_{11} \cdot a_{22} = 4 \cdot 3 = 12$

В останалия случай имаме i₁ = 2, i₂ = 1. Стойността на ϵ_2,1 е равна на −1. Получаваме второто събираемо:

$- 1 \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} = - 1 \cdot a_{12} \cdot a_{21} = - 1 \cdot 2 \cdot 1 = - 2$

Сега събираме всичките четири случая a) + b) + c) + d) и получаваме

$| A | = 0 + 12 - 2 + 0 = 10.$

Детерминантата на матрицата A е равна на десет.

Можем да забележим, че накрая пресметнахме детерминантата на матрицата като разлика

$| A | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Тази формула е в сила за всяка матрица от ред 2 × 2.

Правило на Сарюс

С правилото на Сарюс пресмятаме детерминанта на матрица от трети ред. Тази детерминанта е вече малко по-сложна. И така, да пресметнем например детерминантата на тази матрица:

$A = (\begin{matrix} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \\ 0 & - 2 & 7 \end{matrix})$

Сега ще действаме както при матрицата от втори ред, но за прегледност ще разширим тази матрица с още два реда – под тази матрица преписваме първите два реда на матрицата:

$A^{'} = (\begin{matrix} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \\ 0 & - 2 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \end{matrix})$

Първият и четвъртият ред на матрицата са еднакви, както и вторият и петият. Сега ще действаме така: събираме произведенията на елементите по главните диагонали и от тях изваждаме сбора на произведенията на елементите по вторичните диагонали. След заместване получаваме:

$| A | = [5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (- 2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (- 8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (- 8) \cdot (- 2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1] = 140$

Свойства на детерминантата

Ако умножим ред или стълб на матрицата A по числото c ≠ 0, получаваме матрицата A' и за техните детерминанти е изпълнено: c|A| = |A'|. Тоест ако умножиш ред на матрицата по три и пресметнеш детерминантата, детерминантата на първоначалната матрица получаваш, като сегашния резултат разделиш на три.
Умножаването на i-тия ред и прибавянето му към j-тия ред не променя детерминантата на матрицата. Същото важи и за стълбовете.
Ако поне един ред на матрицата е нулев, детерминантата на матрицата е нула.
Неособената матрица винаги има детерминанта, различна от нула, а особената матрица винаги има детерминанта, равна на нула.
Детерминантата на матрица в стъпаловиден вид е равна на произведението на елементите на главния диагонал.
Ако разменим два реда на матрицата, знакът на детерминантата се променя.
|A| = |A^T|
|A · B| = |A| · |B|
|A⁻¹| = 1/|A|

От предишните свойства следва сравнително прост начин за пресмятане на детерминанта. Достатъчно е да преобразуваме матрицата в стъпаловиден вид и след това да умножим елементите на главния диагонал. Да започваме:

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix})$

Със стандартните матрични преобразувания преобразуваме матрицата в стъпаловиден вид:

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 0 & - 1 & - 16 \\ 0 & 8 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 0 & - 1 & - 16 \\ 0 & 0 & - 107 \end{matrix})$

Сега умножаваме елементите на диагонала: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Пресметни детерминантата на тази матрица:

$A = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix})$

Първо ще е удобно да разменим първия и втория ред, за да получим най-малкото число отгоре. Не бива обаче да забравим да сменим знака:

$| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} |$

След това ще е доста удобно да умножим втория ред по две, за да можем да събираме лесно. Не бива да забравим да умножим цялата детерминанта по една втора:

$- | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = - \frac{1}{2} | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 10 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} |$

И сега вече ще действаме по обичайния начин:

$\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 10 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{array} | & = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & - 17 & - 14 & - 18 \\ 0 & - 17 & - 9 & - 11 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 4 & - 3 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 0 & - 43 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 17) \cdot (- 1) \cdot (- 43) = 731 \end{array}$

Развитие на Лаплас

Лаплас беше един добър господин, който измисли за нас още един алгоритъм за пресмятане на детерминанти на матрица. За да разберем тази рецепта, ще трябва да можем да пресмятаме специална подматрица на първоначалната матрица. Дадена е матрицата A и трябва да образуваме подматрица, която се получава, като от матрицата A премахнем един ред и един стълб. Тази нова матрица ще означим с $S_{i j}^{A}$ , което ни казва, че от матрицата A сме премахнали i-тия ред и j-тия стълб. Пример:

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix})$

Подматрицата $S_{12}^{A}$ би имала този вид:

$S_{12}^{A} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 2 & 5 \end{matrix})$

След това определяме понятието минор, което не е нищо друго освен детерминантата на определената от нас подматрица $S_{i j}^{A}$ . Минора означаваме по същия начин, само с буквата M, тоест $M_{i j}^{A} = | S_{i j}^{A} |$ . Можем да говорим и за минор на елемента a_ij, който е именно $M_{i j}^{A}$ .

С помощта на тези минори можем да пресметнем детерминантата на първоначалната матрица. В първата стъпка избираме ред (или стълб) на матрицата. После за всеки елемент на този ред пресмятаме неговия минор. Получаваме толкова минора, колкото елемента има редът. Сега можем да изразим детерминантата на първоначалната матрица A от тип n × n като претеглен сбор на тези минори:

$| A | = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} \cdot a_{i j} \cdot M_{i j}^{A}$

където i е избраният от нас ред. Ако обхождаме променливата i, фиксираме променливата j – индекса на стълба.

На практика изглежда така: имаш матрица и искаш да знаеш детерминантата ѝ. Взимаш един стълб на матрицата (или ред) и за всеки елемент в този стълб определяш минора и му приписваш знака (−1)^{i + j} и всичко събираш, като всяка детерминанта умножаваш по елемента, чийто минор е матрицата. Тъй като минорът $M_{i j}^{A}$ умножаваме и по елемента a_ij, удобно е, когато този елемент е нула. Тогава по-нататъшното пресмятане отпада и си спестяваш работа. Ще опитаме да пресметнем детерминантата на тази матрица:

$A = (\begin{matrix} 5 & 4 & 8 \\ 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 9 \end{matrix})$

В матрицата има една-единствена нула, така че най-добре е да направим развитието или по втория ред, или по третия стълб. Избираме например реда. В първата стъпка извличаме подматриците:

$\begin{array}{rcl} S_{21}^{A} & = & (\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array}) \\ S_{22}^{A} & = & (\begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array}) \\ S_{23}^{A} & = & (\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}) \end{array}$

Сега пресмятаме детерминантите и така получаваме минорите. За матрица от втори ред това е тривиално.

$\begin{array}{rcl} M_{21}^{A} & = & | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array} | = 12 \\ M_{22}^{A} & = & | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array} | = 29 \\ M_{23}^{A} & = & | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | = 7 \end{array}$

Сега вече можем да го заместим във формулата, i = 2:

$\begin{array}{rcl} | A | & = & (- 1)^{2 + 1} \cdot 6 \cdot | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array} | + (- 1)^{2 + 2} \cdot 1 \cdot | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array} | + (- 1)^{2 + 3} \cdot | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | \cdot 0 \\ = & (- 1)^{2 + 1} \cdot 6 \cdot 12 + (- 1)^{2 + 2} \cdot 1 \cdot 29 + (- 1)^{2 + 3} \cdot 7 \cdot 0 = - 43 \end{array}$

Обърни внимание, че тъй като елементът в края на втория ред е нулев, и третото събираемо е равно на нула. Още един пример:

Пресметни детерминантата на тази матрица по метода на Лаплас:

$A = (\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix})$

В третия стълб имаме само кратни на три, можем да се възползваме от това и да анулираме този стълб, за да подготвим почвата за по-нататъшното прилагане на метода на Лаплас. Към втория ред прибавяме −2-кратното на първия ред, към третия прибавяме −3-кратното на първия ред, а към четвъртия −1-кратното.

$(\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ - 8 & 2 & 0 & 3 \\ - 13 & 4 & 0 & 4 \\ - 2 & 5 & 0 & 1 \end{matrix})$

Така не променихме стойността на детерминантата, но ще ни е по-лесно да пресмятаме. Правим развитие по третия стълб, където имаме само един ненулев елемент, така че в развитието ще остане само минорът на третия елемент на първия ред:

$| \begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix} | = (- 1)^{1 + 3} \cdot 3 | \begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} | = 3 | \begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} |$

В третия стълб на новата матрица виждаме в самия край единица, което лесно можем да използваме и да анулираме този стълб:

$(\begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} - 2 & - 13 & 0 \\ - 5 & - 16 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix})$

Сега правим развитие по третия стълб. Отново има само един ненулев елемент:

$3 | \begin{matrix} - 2 & - 13 & 0 \\ - 5 & - 16 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} | = 3 \cdot ((- 1)^{3 + 3} \cdot 1 \cdot | \begin{matrix} - 2 & - 13 \\ - 5 & - 16 \end{matrix} |) = 3 \cdot | \begin{matrix} - 2 & - 13 \\ - 5 & - 16 \end{matrix} |$

А това вече можем да пресметнем по обичайния начин: 3 · (32 − 65) = −99.

« Предишна: Обратна матрица

Следваща: Системи линейни уравнения »