Determinantes

En álgebra lineal, el determinante es una aplicación que asigna a cada matriz cuadrada A un escalar que designamos |A|. En el caso de las matrices numéricas, el determinante es igual a un número real.

Permutación de una n-upla

Para poder definir el determinante, tendremos que saber calcular la permutación de una n-upla o, más exactamente, el signo de una permutación. Lo explicaré mejor con un ejemplo. Tenemos la terna ordenada (1, 2, 3), que se transforma en la terna (2, 3, 1). En el caso de las permutaciones, esto suele escribirse así:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})$

Ahora tenemos que averiguar cuántos intercambios de números hemos tenido que usar para pasar del primer conjunto al segundo, teniendo en cuenta que solo podemos intercambiar números contiguos. Tenemos, pues, la terna (1, 2, 3). Intercambiamos el uno con el dos: (2, 1, 3). Ahora intercambiamos el uno con el tres: (2, 3, 1), con lo que ya obtenemos la permutación buscada. Para llegar a la imagen hemos necesitado dos intercambios. El signo de la permutación se averigua fácilmente: si el número de intercambios es par, el signo es positivo; si es impar, el signo es negativo. En nuestro caso, por tanto, el signo de la permutación es positivo. Intentemos determinar también el signo de la permutación en este ejemplo:

$(\begin{matrix} 4 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix})$

Procederemos de la siguiente manera:

$(4, 2, 3, 1) \to (4, 2, 1, 3) \to (4, 1, 2, 3) \to (1, 4, 2, 3) \to (1, 4, 3, 2) \to (1, 3, 4, 2)$

La transformación está terminada. Hemos necesitado cinco intercambios en total, así que esta vez hemos obtenido una permutación impar.

El signo de una permutación se designa mediante el símbolo de Levi-Civita:

$ϵ_{i_{1}, \dots, i_{n}} = {\begin{cases} + 1 & si (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) es una permutación par de (1, 2, 3, 4, \dots, n) \\ - 1 & si (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) es una permutación impar de (1, 2, 3, 4, \dots, n) \\ 0 & en otro caso \end{cases}$

Definición del determinante

El determinante es un número; está definido solo para matrices cuadradas y se escribe det A o |A|. Este número se define así:

$| A | = \sum_{i_{1}, \dots, i_{n}}^{n} ϵ_{i_{1}, \dots, i_{n}} a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$

Intentemos calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 2 × 2:

$A = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})$

Si sustituimos en la definición el valor concreto n = 2, obtenemos esta fórmula:

$| A | = \sum_{i_{1}, i_{2}}^{2} ϵ_{i_{1}, i_{2}} \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}}$

Como valores de i₁ e i₂ sustituimos sucesivamente los valores 1 y 2. Obtenemos así cuatro posibilidades en total: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

En los casos a) y d) obtenemos una permutación nula, porque ϵ_1,1 = 0 y ϵ_2,2 = 0. En la suma de la fórmula obtenemos entonces cero en este paso, porque 0 · a_1i₁ · a_2i₂ = 0.

Quedan las posibilidades b) y c). En el caso b) i₁ = 1, i₂ = 2 tenemos: ϵ_1,2 = 1, porque (1, 2) es una permutación par de (1, 2). Obtenemos el primer sumando:

$1 \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} = 1 \cdot a_{11} \cdot a_{22} = 4 \cdot 3 = 12$

En el caso restante tenemos i₁ = 2, i₂ = 1. El valor de ϵ_2,1 es igual a −1. Obtenemos el segundo sumando:

$- 1 \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} = - 1 \cdot a_{12} \cdot a_{21} = - 1 \cdot 2 \cdot 1 = - 2$

Ahora sumamos los cuatro casos a) + b) + c) + d) y obtenemos

$| A | = 0 + 12 - 2 + 0 = 10.$

El determinante de la matriz A es igual a diez.

Podemos fijarnos en que, al final, hemos calculado el determinante de la matriz como la diferencia

$| A | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Esta fórmula es válida en general para cualquier matriz de orden 2 × 2.

Regla de Sarrus

Con la regla de Sarrus calculamos el determinante de una matriz de tercer orden. Este determinante ya es algo más complicado. Vamos a calcular, por ejemplo, esta matriz:

$A = (\begin{matrix} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \\ 0 & - 2 & 7 \end{matrix})$

Ahora procederemos de forma parecida a la matriz de segundo orden, pero, para mayor claridad, ampliamos esta matriz con otras dos filas: debajo de la matriz copiamos sus dos primeras filas:

$A^{'} = (\begin{matrix} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \\ 0 & - 2 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \end{matrix})$

La primera y la cuarta fila de la matriz son, pues, iguales, y lo mismo ocurre con la segunda y la quinta. Ahora sumamos los productos de los elementos de las diagonales principales y les restamos la suma de los productos de los elementos de las diagonales secundarias. Al sustituir obtenemos:

$| A | = [5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (- 2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (- 8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (- 8) \cdot (- 2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1] = 140$

Propiedades del determinante

Si multiplicamos una fila o columna de la matriz A por un número c ≠ 0, obtenemos una matriz A' y para sus determinantes se cumple: c|A| = |A'|. Es decir, si multiplicas una fila de la matriz por tres y calculas el determinante, el determinante de la matriz original lo obtienes dividiendo el resultado actual entre tres.
Al multiplicar la fila i por un número y sumarla a la fila j, el determinante de la matriz no cambia. De nuevo lo mismo para las columnas.
Si al menos una fila de la matriz es nula, el determinante de la matriz es cero.
Una matriz regular siempre tendrá un determinante distinto de cero y una matriz singular siempre tendrá un determinante igual a cero.
El determinante de una matriz en forma escalonada es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Si intercambiamos dos filas de la matriz, el determinante cambia de signo.
|A| = |A^t|
|A · B| = |A| · |B|
|A⁻¹| = 1/|A|

De las propiedades anteriores se deduce un procedimiento bastante sencillo para calcular el determinante. Basta transformar la matriz en una matriz escalonada y después multiplicar los elementos de la diagonal principal. Vamos allá:

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix})$

Con las transformaciones habituales de matrices transformamos ahora la matriz a forma escalonada:

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 0 & - 1 & - 16 \\ 0 & 8 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 0 & - 1 & - 16 \\ 0 & 0 & - 107 \end{matrix})$

Ahora hacemos el producto de los elementos de la diagonal: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Calcula el determinante de esta matriz:

$A = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix})$

Lo primero que conviene es intercambiar la primera y la segunda fila, para poner arriba el número más pequeño. Eso sí, no debemos olvidar cambiar el signo:

$| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} |$

Además, resultará bastante práctico multiplicar la segunda fila por dos para poder sumar cómodamente. No debemos olvidar multiplicar todo el determinante por un medio:

$- | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = - \frac{1}{2} | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 10 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} |$

Y ahora ya procedemos de la manera habitual:

$\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 10 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{array} | & = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & - 17 & - 14 & - 18 \\ 0 & - 17 & - 9 & - 11 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 4 & - 3 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 0 & - 43 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 17) \cdot (- 1) \cdot (- 43) = 731 \end{array}$

Desarrollo por adjuntos

Laplace fue un señor muy amable que nos inventó otro algoritmo para calcular determinantes de matrices. Para entender esta receta tendremos que saber calcular una submatriz especial de la matriz original. Dada una matriz A, necesitamos crear una submatriz que se obtiene suprimiendo de la matriz A una fila y una columna. Designamos esta nueva matriz $S_{i j}^{A}$ , lo que nos dice que hemos suprimido de la matriz A la fila i y la columna j. Ejemplo:

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix})$

La submatriz $S_{12}^{A}$ tendría esta forma:

$S_{12}^{A} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 2 & 5 \end{matrix})$

A continuación definimos el concepto de menor, que no es más que el determinante de la submatriz $S_{i j}^{A}$ que acabamos de definir. El menor lo designamos igual, pero con la letra M, es decir, $M_{i j}^{A} = | S_{i j}^{A} |$ . También podemos hablar del menor de un elemento a_ij, que es precisamente $M_{i j}^{A}$ .

Con ayuda de estos menores podemos calcular el determinante de la matriz original. En el primer paso elegimos una fila (o columna) de la matriz. Después, para cada elemento de esa fila calculamos su menor. Obtenemos así tantos menores como elementos tiene la fila. Ahora podemos expresar el determinante de la matriz original A de dimensión n × n como una suma ponderada de estos menores:

$| A | = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} \cdot a_{i j} \cdot M_{i j}^{A}$

donde i es la fila que hemos elegido. Si iteramos sobre la variable i, fijaremos la variable j, el índice de la columna.

En la práctica ocurre así: tienes una matriz y quieres conocer su determinante. Coges, pues, una columna de la matriz (o una fila), a cada elemento de esa columna le calculas el menor, le asignas el signo (−1)^{i + j} y lo sumas todo, multiplicando cada determinante por el elemento cuyo menor es esa matriz. Como el menor $M_{i j}^{A}$ lo multiplicamos además por el elemento a_ij, conviene que ese elemento sea cero. Entonces desaparece el resto del cálculo y te ahorras trabajo. Intentemos calcular el determinante de esta matriz:

$A = (\begin{matrix} 5 & 4 & 8 \\ 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 9 \end{matrix})$

En la matriz hay un único cero, así que lo ideal es hacer el desarrollo por la segunda fila o por la tercera columna. Elegimos, por ejemplo, la fila. En el primer paso extraemos las submatrices:

$\begin{array}{rcl} S_{21}^{A} & = & (\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array}) \\ S_{22}^{A} & = & (\begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array}) \\ S_{23}^{A} & = & (\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}) \end{array}$

Ahora calculamos los determinantes y así obtenemos los menores. Para una matriz de segundo orden es trivial.

$\begin{array}{rcl} M_{21}^{A} & = & | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array} | = 12 \\ M_{22}^{A} & = & | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array} | = 29 \\ M_{23}^{A} & = & | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | = 7 \end{array}$

Ahora ya podemos sustituir en la fórmula, i = 2:

$\begin{array}{rcl} | A | & = & (- 1)^{2 + 1} \cdot 6 \cdot | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array} | + (- 1)^{2 + 2} \cdot 1 \cdot | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array} | + (- 1)^{2 + 3} \cdot | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | \cdot 0 \\ = & (- 1)^{2 + 1} \cdot 6 \cdot 12 + (- 1)^{2 + 2} \cdot 1 \cdot 29 + (- 1)^{2 + 3} \cdot 7 \cdot 0 = - 43 \end{array}$

Fíjate en que, como el elemento del final de la segunda fila es nulo, el tercer sumando también ha sido igual a cero. Otro ejemplo:

Calcula el determinante de esta matriz mediante el desarrollo de Laplace:

$A = (\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix})$

En la tercera columna tenemos solo múltiplos de tres. Podemos aprovecharlo y hacer ceros en esta columna para preparar el terreno para aplicar después el desarrollo de Laplace. A la segunda fila le sumamos, pues, −2 veces la primera fila, a la tercera le sumamos −3 veces la primera y a la cuarta, −1 vez la primera.

$(\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ - 8 & 2 & 0 & 3 \\ - 13 & 4 & 0 & 4 \\ - 2 & 5 & 0 & 1 \end{matrix})$

Con esto no hemos cambiado el valor del determinante, pero será más cómodo calcular. Hacemos el desarrollo por la tercera columna, en la que solo hay un elemento distinto de cero, así que en el desarrollo nos quedará únicamente el menor del tercer elemento de la primera fila:

$| \begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix} | = (- 1)^{1 + 3} \cdot 3 | \begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} | = 3 | \begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} |$

En la tercera columna de la nueva matriz vemos un uno justo al final, algo que podemos aprovechar fácilmente para hacer ceros en esta columna:

$(\begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} - 2 & - 13 & 0 \\ - 5 & - 16 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix})$

Ahora hacemos el desarrollo por la tercera columna. De nuevo solo hay un elemento distinto de cero:

$3 | \begin{matrix} - 2 & - 13 & 0 \\ - 5 & - 16 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} | = 3 \cdot ((- 1)^{3 + 3} \cdot 1 \cdot | \begin{matrix} - 2 & - 13 \\ - 5 & - 16 \end{matrix} |) = 3 \cdot | \begin{matrix} - 2 & - 13 \\ - 5 & - 16 \end{matrix} |$

Y esto ya podemos calcularlo de la manera habitual: 3 · (32 − 65) = −99.

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