Determinanten

In der linearen Algebra ist die Determinante eine Abbildung, die jeder quadratischen Matrix A einen Skalar zuordnet, den wir mit |A| bezeichnen. Bei Zahlenmatrizen ist die Determinante gleich einer reellen Zahl.

Permutation eines n-Tupels

Um die Determinante definieren zu können, müssen wir wissen, wie man die Permutation eines n-Tupels berechnet, genauer gesagt das Signum (Vorzeichen) einer Permutation. Am besten erkläre ich es an einem Beispiel. Nehmen wir das geordnete Tripel ⟨1, 2, 3⟩, das auf das Tripel ⟨2, 3, 1⟩ abgebildet wird. Bei Permutationen schreiben wir das üblicherweise so:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Nun müssen wir herausfinden, wie viele Vertauschungen von Zahlen nötig waren, um aus der ersten Menge die zweite zu erhalten. Dabei dürfen wir nur Zahlen vertauschen, die nebeneinander stehen. Wir haben also das Tripel ⟨1, 2, 3⟩. Nun vertauschen wir die Eins mit der Zwei: ⟨2, 1, 3⟩. Jetzt vertauschen wir die Eins mit der Drei: ⟨2, 3, 1⟩, womit wir bereits die gesuchte Permutation erhalten. Um das Bild zu erhalten, brauchten wir zwei Vertauschungen. Das Vorzeichen der Permutation bestimmen wir ganz einfach – ist die Anzahl der Vertauschungen gerade, ist das Vorzeichen positiv. Ist die Anzahl ungerade, ist das Vorzeichen negativ. In unserem Fall handelt es sich also um ein positives Vorzeichen der Permutation. Bestimmen wir das Vorzeichen noch bei diesem Beispiel:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Wir gehen folgendermaßen vor:

$$⟨4,2,3,1⟩\to ⟨4,2,1,3⟩\to ⟨4,1,2,3⟩\to ⟨1,4,2,3⟩\to ⟨1,4,3,2⟩\to ⟨1,3,4,2⟩$$

Die Umformung ist fertig. Wir brauchten insgesamt fünf Schritte, also haben wir diesmal eine ungerade Permutation erhalten.

Das Vorzeichen der Permutation bezeichnen wir mit dem Levi-Civita-Symbol:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{falls }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ eine gerade Permutation von }(1,2,3,4,\dots ,n)\text{ ist}\\ -1& \text{falls }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ eine ungerade Permutation von }(1,2,3,4,\dots ,n)\text{ ist}\\ 0& \text{sonst}\end{array}$$

Definition der Determinante

Die Determinante ist eine Zahl; sie ist nur für quadratische Matrizen definiert und wird entweder als det A oder |A| geschrieben. Diese Zahl ist so definiert:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Berechnen wir die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Setzen wir in die Definition den konkreten Wert n = 2 ein, erhalten wir diese Formel:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Für i₁ und i₂ setzen wir nacheinander die Werte 1 und 2 ein. So erhalten wir insgesamt vier Möglichkeiten: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

In den Fällen a) und d) erhalten wir die Nullpermutation, denn ϵ_1,1 = 0 und ϵ_2,2 = 0. In der Summe in der Formel erhalten wir in diesem Schritt also null, denn 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Es bleiben die Fälle b) und c). Im Fall b) i₁ = 1, i₂ = 2 haben wir: ϵ_1,2 = 1, denn ⟨1, 2⟩ ist eine gerade Permutation von ⟨1, 2⟩. Wir erhalten den ersten Summanden:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

Im verbleibenden Fall haben wir i₁ = 2, i₂ = 1. Der Wert von ϵ_2,1 ist gleich −1. Wir erhalten den zweiten Summanden:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Nun addieren wir alle vier Fälle a) + b) + c) + d) und erhalten

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Die Determinante der Matrix A ist gleich zehn.

Wir können feststellen, dass wir die Determinante der Matrix am Ende als Differenz berechnet haben:

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Diese Formel gilt allgemein für jede Matrix der Ordnung 2 × 2.

Regel von Sarrus

Mit der Regel von Sarrus berechnen wir die Determinante einer Matrix dritter Ordnung. Diese Determinante ist schon etwas komplizierter. Rechnen wir also los, zum Beispiel mit dieser Matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Nun gehen wir ähnlich vor wie bei der Matrix zweiter Ordnung, aber der Übersichtlichkeit halber erweitern wir diese Matrix um zwei weitere Zeilen – unter diese Matrix schreiben wir die ersten zwei Zeilen der Matrix noch einmal:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Die erste und die vierte Zeile der Matrix sind also gleich, ebenso die zweite und die fünfte. Jetzt addieren wir die Produkte der Elemente auf den Hauptdiagonalen und subtrahieren davon die Summe der Produkte der Elemente auf den Nebendiagonalen. Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Eigenschaften der Determinante

• Multiplizieren wir eine Zeile oder Spalte der Matrix A mit einer Zahl c ≠ 0, erhalten wir eine Matrix A', und für ihre Determinanten gilt: c|A| = |A'|. Wenn du also eine Zeile der Matrix mit drei multiplizierst und die Determinante berechnest, erhältst du die Determinante der ursprünglichen Matrix, indem du das aktuelle Ergebnis durch drei teilst.

• Addieren wir ein Vielfaches der i-ten Zeile zur j-ten Zeile, ändert sich die Determinante der Matrix nicht. Dasselbe gilt für Spalten.

• Ist mindestens eine Zeile der Matrix eine Nullzeile, ist die Determinante der Matrix null.

• Eine reguläre (invertierbare) Matrix hat immer eine Determinante ungleich null, und eine singuläre Matrix hat immer die Determinante null.

• Die Determinante einer Matrix in Zeilenstufenform ist gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale.

• Vertauschen wir zwei Zeilen der Matrix, ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Aus den bisherigen Eigenschaften ergibt sich ein recht einfaches Verfahren zur Berechnung der Determinante. Es genügt, die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen und dann die Elemente auf der Hauptdiagonale zu multiplizieren. Los geht's:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Mit den üblichen Matrixumformungen bringen wir die Matrix nun auf Zeilenstufenform:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Jetzt bilden wir das Produkt der Elemente auf der Diagonale: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Berechne die Determinante dieser Matrix:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Zuerst ist es sinnvoll, die erste und die zweite Zeile zu vertauschen, damit die kleinste Zahl oben steht. Wir dürfen aber nicht vergessen, das Vorzeichen zu ändern:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Außerdem ist es recht praktisch, die zweite Zeile mit zwei zu multiplizieren, damit wir schön addieren können. Dabei dürfen wir nicht vergessen, die ganze Determinante mit einhalb zu multiplizieren:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Und jetzt gehen wir ganz klassisch vor:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Laplacescher Entwicklungssatz

Laplace war ein netter Herr, der sich einen weiteren Algorithmus zur Berechnung von Determinanten ausgedacht hat. Um dieses Rezept zu verstehen, müssen wir eine besondere Untermatrix der ursprünglichen Matrix bilden können. Gegeben sei eine Matrix A, und wir wollen eine Untermatrix bilden, die entsteht, indem wir aus der Matrix A eine Zeile und eine Spalte streichen. Diese neue Matrix bezeichnen wir mit $S_{ij}^A$, was uns sagt, dass wir aus der Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen haben. Beispiel:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Die Untermatrix $S_{12}^A$ sieht dann so aus:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Als Nächstes definieren wir den Begriff Minor (Unterdeterminante), und das ist nichts anderes als die Determinante der von uns definierten Untermatrix $S_{ij}^A$. Den Minor bezeichnen wir genauso, nur mit dem Buchstaben M, also $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Wir können auch den Minor des Elements a_ij betrachten, und das ist eben $M_{ij}^A$.

Mithilfe dieser Minoren können wir die Determinante der ursprünglichen Matrix berechnen. Im ersten Schritt wählen wir eine Zeile (oder Spalte) der Matrix. Dann berechnen wir für jedes Element dieser Zeile seinen Minor. So erhalten wir so viele Minoren, wie die Zeile Elemente hat. Nun können wir die Determinante der ursprünglichen Matrix A vom Typ n × n als gewichtete Summe dieser Minoren ausdrücken:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

wobei i die von uns gewählte Zeile ist. Wenn wir über die Variable i iterieren, wählen wir die Variable j – den Spaltenindex – fest.

In der Praxis sieht das so aus, dass du eine Matrix hast und ihre Determinante wissen willst. Du nimmst also eine Spalte der Matrix (oder eine Zeile), bestimmst zu jedem Element in dieser Spalte den Minor, weist das Vorzeichen (−1)^{i + j} zu und addierst alles, wobei du jede Determinante mit dem Element multiplizierst, dessen Minor die Matrix ist. Weil wir den Minor $M_{ij}^A$ noch mit dem Element a_ij multiplizieren, ist es günstig, wenn dieses Element null ist. Dann fällt nämlich weitere Rechnung weg, und du ersparst dir Arbeit. Berechnen wir die Determinante dieser Matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

In der Matrix befindet sich nur eine einzige Null, also führen wir die Entwicklung idealerweise entweder nach der zweiten Zeile oder nach der dritten Spalte durch. Wählen wir zum Beispiel die Zeile. Im ersten Schritt bilden wir die Untermatrizen:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Nun berechnen wir die Determinanten und erhalten so die Minoren. Für eine Matrix zweiter Ordnung ist das trivial.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Jetzt können wir das in die Formel einsetzen, i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Beachte, dass auch der dritte Summand gleich null war, weil das Element am Ende der zweiten Zeile null ist. Ein weiteres Beispiel:

Berechne die Determinante dieser Matrix mit dem laplaceschen Entwicklungssatz:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

In der dritten Spalte haben wir lauter Vielfache von drei. Das können wir nutzen und in dieser Spalte Nullen erzeugen, um die spätere Anwendung des laplaceschen Entwicklungssatzes vorzubereiten. Zur zweiten Zeile addieren wir also das −2-Fache der ersten Zeile, zur dritten das −3-Fache der ersten Zeile und zur vierten das −1-Fache.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Den Wert der Determinante haben wir dadurch nicht verändert, aber es wird sich leichter rechnen. Wir entwickeln nach der dritten Spalte, in der es nur ein einziges Element ungleich null gibt, sodass in der Entwicklung nur der Minor des dritten Elements der ersten Zeile übrig bleibt:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

In der dritten Spalte der neuen Matrix sehen wir ganz am Ende eine Eins, was wir leicht nutzen können: Wir erzeugen in dieser Spalte Nullen.

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Nun entwickeln wir nach der dritten Spalte. Wieder gibt es dort nur ein einziges Element ungleich null:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Und das können wir nun ganz klassisch berechnen: 3 · (32 − 65) = −99.