✖

Determinánsok

A lineáris algebrában a determináns olyan leképezés, amely minden A négyzetes mátrixhoz hozzárendel egy skalárt; ennek jele |A|. Számokból álló mátrixok esetén a determináns egy valós számmal egyenlő.

Az n-es permutációja

A determináns definiálásához tudnunk kell kiszámítani egy n-es permutációját, illetve a permutáció előjelét. Ezt a legkönnyebb egy példával megmagyarázni. Legyen adott az (1; 2; 3) rendezett hármas, amelyet a (2; 3; 1) hármasra képezünk le. A permutációkat általában így írjuk fel:

(123231)

Most meg kell állapítanunk, hány különböző cserét kellett végrehajtanunk ahhoz, hogy az első halmazból megkapjuk a másodikat. Közben csak egymás melletti számokat cserélhetünk meg. Tehát kiindulunk az (1; 2; 3) hármasból. Először felcseréljük az egyest és a kettest: (2; 1; 3). Ezután felcseréljük az egyest és a hármast: (2; 3; 1), és ezzel megkaptuk a keresett permutációt. A kép előállításához két cserére volt szükségünk. A permutáció előjelét egyszerűen megállapíthatjuk – ha a cserék száma páros, az előjel pozitív. Ha a cserék száma páratlan, az előjel negatív. Esetünkben tehát a permutáció előjele pozitív. Próbáljuk meg meghatározni a permutáció előjelét ennél a példánál is:

(42311342)

Így fogunk eljárni:

(4;2;3;1)→(4;2;1;3)→(4;1;2;3)→(1;4;2;3)→(1;4;3;2)→(1;3;4;2)

Az átalakítás kész. Összesen öt cserére volt szükségünk, így ezúttal páratlan előjelű permutációt kaptunk.

A permutáció előjelét a Levi-Civita-szimbólummal jelöljük:

ϵi1,…,in={+1ha (i1;i2;…;in) páros permutációja az (1;2;3;4;…;n) sorozatnak−1ha (i1;i2;…;in) páratlan permutációja az (1;2;3;4;…;n) sorozatnak0egyébként

A determináns definíciója

A determináns egy szám; csak négyzetes mátrixokra van értelmezve, és det A vagy |A| alakban írjuk. Ezt a számot így definiáljuk:

|A|=∑i1,…,innϵi1,…,ina1i1⋅a2i2⋅…⋅anin

Számítsuk ki a 2 × 2-es négyzetes mátrix determinánsát:

A=(4213)

Ha a definícióba behelyettesítjük az n = 2 értéket, ezt a képletet kapjuk:

|A|=∑i1,i22ϵi1,i2⋅a1i1⋅a2i2

Az i1 és i2 helyére sorban behelyettesítjük az 1 és a 2 értéket. Így összesen négy lehetőséget kapunk: a) i1 = 1, i2 = 1, b) i1 = 1, i2 = 2, c) i1 = 2, i2 = 1, d) i1 = 2, i2 = 2.

Az a) és d) esetben nulla jön ki, mert ϵ1,1 = 0 és ϵ2,2 = 0. Az összegben ennél a lépésnél tehát nullát kapunk, mert 0 · a1i1 · a2i2 = 0.

Marad a b) és a c) eset. A b) i1 = 1, i2 = 2 esetben ϵ1,2 = 1, mert az (1; 2) páros permutációja az (1; 2) sorozatnak. Így megkapjuk az első összeadandót:

1⋅a1i1⋅a2i2=1⋅a11⋅a22=4⋅3=12

A másik esetben i1 = 2, i2 = 1. Az ϵ2,1 értéke −1. Így megkapjuk a második összeadandót:

−1⋅a1i1⋅a2i2=−1⋅a12⋅a21=−1⋅2⋅1=−2

Most összeadjuk mind a négy esetet, a) + b) + c) + d), és azt kapjuk, hogy

|A|=0+12−2+0=10.

Az A mátrix determinánsa tízzel egyenlő.

Észrevehetjük, hogy a mátrix determinánsát végül a következő különbségként számítottuk ki:

|A|=a11⋅a22−a12⋅a21

Ez a képlet általában igaz bármelyik 2 × 2-es mátrixra.

Sarrus-szabály

A Sarrus-szabállyal harmadrendű mátrix determinánsát számítjuk ki. Ez a determináns már egy kicsit bonyolultabb. Számoljuk ki például ennek a mátrixnak a determinánsát:

A=(53217−80−27)

Most hasonlóan járunk el, mint a másodrendű mátrixnál, de az áttekinthetőség kedvéért a mátrixot kibővítjük még két sorral – a mátrix alá leírjuk a mátrix első két sorát:

A′=(53217−80−2753217−8)

A mátrix első és negyedik sora így megegyezik, éppúgy a második és az ötödik is. Most úgy járunk el, hogy összeadjuk a főátlók menti elemek szorzatait, és kivonjuk belőlük a mellékátlók menti elemek szorzatainak összegét. Behelyettesítés után azt kapjuk, hogy:

|A|=[5⋅7⋅7+1⋅(−2)⋅2+0⋅3⋅(−8)]−[2⋅7⋅0+(−8)⋅(−2)⋅5+7⋅3⋅1]=140

A determináns tulajdonságai

  • Ha az A mátrix egy sorát vagy oszlopát megszorozzuk a c ≠ 0 számmal, megkapjuk az A' mátrixot, és a determinánsaikra igaz, hogy c|A| = |A'|. Tehát ha egy mátrix egyik sorát megszorzod hárommal, és kiszámítod a determinánst, akkor az eredeti mátrix determinánsát úgy kapod meg, hogy a mostani eredményt elosztod hárommal.

  • Ha az i-edik sor többszörösét hozzáadjuk a j-edik sorhoz, a mátrix determinánsa nem változik. Ugyanez igaz az oszlopokra is.

  • Ha a mátrix legalább egy sora csupa nulla, a mátrix determinánsa nulla.

  • A reguláris mátrix determinánsa mindig különbözik nullától, a szinguláris mátrix determinánsa pedig mindig nulla.

  • A lépcsős alakú mátrix determinánsa a főátlóban álló elemek szorzatával egyenlő.

  • Ha a mátrix két sorát felcseréljük, a determináns előjele megváltozik.

  • |A| = |AT|

  • |A · B| = |A| · |B|

  • |A−1| = 1/|A|

Az előző tulajdonságokból elég egyszerű eljárás adódik a determináns kiszámítására. Elég a mátrixot lépcsős alakra hozni, majd összeszorozni a főátlóban álló elemeket. Lássuk:

A=(138250−225)

A szokásos mátrixátalakításokkal most lépcsős alakra hozzuk a mátrixot:

(138250−225)∼(1380−1−160821)∼(1380−1−1600−107)

Most összeszorozzuk a főátlóban álló elemeket: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Számítsd ki ennek a mátrixnak a determinánsát:

A=(3215275664104−311)

Először célszerű felcserélni az első és a második sort, hogy a legkisebb szám kerüljön felülre. Nem szabad elfelejtenünk megváltoztatni az előjelet:

|3215275664104−311|=−|2756321564104−311|

Ezután nagyon hasznos lesz a második sort megszorozni kettővel, hogy szépen tudjunk összeadni. A teljes determinánst ekkor nem szabad elfelejtenünk megszorozni egy féllel:

−|2756321564104−311|=−12|27566421064104−311|

És most már a megszokott módon haladunk tovább:

−12|27566421064104−311|=−12|27560−17−13−80−17−14−180−17−9−11|=−12|27560−17−13−800−1−10004−3|=−12|27560−17−13−800−1−10000−43|=−12⋅2⋅(−17)⋅(−1)⋅(−43)=731

Laplace-kifejtés

Laplace egy rendes úriember volt, aki kitalált egy újabb algoritmust a mátrix determinánsának kiszámítására. Ennek a receptnek a megértéséhez ki kell tudnunk számítani az eredeti mátrix egy különleges részmátrixát. Adott az A mátrix, és létre kell hoznunk azt a részmátrixot, amely úgy keletkezik, hogy az A mátrixból elhagyunk egy sort és egy oszlopot. Ennek az új mátrixnak a jele SijA, ami azt mondja meg, hogy az A mátrixból az i-edik sort és a j-edik oszlopot hagytuk el. Példa:

A=(138250−225)

Az S12A részmátrix ilyen alakú lenne:

S12A=(20−25)

Ezután definiáljuk a minor fogalmát, ami nem más, mint az általunk definiált SijA részmátrix determinánsa. A minort ugyanúgy jelöljük, csak M betűvel, azaz MijA=|SijA|. Beszélhetünk az aij elem minorjáról is, ez éppen MijA.

Ezekkel a minorokkal ki tudjuk számítani az eredeti mátrix determinánsát. Első lépésben kiválasztjuk a mátrix egy sorát (vagy oszlopát). Ezután a sor minden elemére kiszámítjuk a minorját. Így annyi minort kapunk, ahány eleme van a sornak. Most az n × n-es A mátrix determinánsát ki tudjuk fejezni e minorok súlyozott összegeként:

|A|=∑j=1n(−1)i+j⋅aij⋅MijA

ahol i az általunk választott sor. Ha az i változón végigmegyünk, akkor a j változót – az oszlop indexét – rögzítjük.

A gyakorlatban ez úgy néz ki, hogy van egy mátrixod, és szeretnéd tudni a determinánsát. Kiválasztod tehát a mátrix egy oszlopát (vagy sorát), ennek az oszlopnak minden eleméhez meghatározod a minort, hozzárendeled a (−1)i + j előjelet, és mindent összeadsz, miközben minden determinánst megszorzol azzal az elemmel, amelynek a minorja a mátrix. Mivel az MijA minort még megszorozzuk az aij elemmel, célszerű, ha ez az elem nulla. Akkor ugyanis a további számolás elmarad, és munkát spórolsz. Próbáljuk meg kiszámítani ennek a mátrixnak a determinánsát:

A=(548610239)

A mátrixban egyetlen nulla van, így ideális esetben a kifejtést vagy a második sor, vagy a harmadik oszlop szerint végezzük. Válasszuk például a sort. Első lépésben felírjuk a részmátrixokat:

S21A=(4839)S22A=(5829)S23A=(5423)

Most kiszámítjuk a determinánsokat, és így megkapjuk a minorokat. Másodrendű mátrixra ez triviális.

M21A=|4839|=12M22A=|5829|=29M23A=|5423|=7

Most már behelyettesíthetjük a képletbe, i = 2:

|A|=(−1)2+1⋅6⋅|4839|+(−1)2+2⋅1⋅|5829|+(−1)2+3⋅|5423|⋅0=(−1)2+1⋅6⋅12+(−1)2+2⋅1⋅29+(−1)2+3⋅7⋅0=−43

Figyeld meg, hogy mivel a második sor végén álló elem nulla, a harmadik összeadandó is nullával lett egyenlő. Még egy példa:

Számítsd ki ennek a mátrixnak a determinánsát a Laplace-módszerrel:

A=(723266678109105733)

A harmadik oszlopban csupa három többszöröse áll, ezt kihasználhatjuk, és kinullázhatjuk ezt az oszlopot, hogy előkészítsük a terepet a Laplace-módszer későbbi alkalmazásához. A második sorhoz tehát hozzáadjuk az első sor −2-szeresét, a harmadik sorhoz az első sor −3-szorosát, a negyedikhez pedig a −1-szeresét.

(723266678109105733)∼(7232−8203−13404−2501)

Ezzel nem változtattuk meg a determináns értékét, de könnyebb lesz számolni. A kifejtést a harmadik oszlop szerint végezzük, ahol csak egy nem nulla elem van, így a kifejtésből csak az első sor harmadik elemének minorja marad:

|723266678109105733|=(−1)1+3⋅3|−823−1344−251|=3|−823−1344−251|

Az új mátrix harmadik oszlopának legvégén egy egyest látunk, ezt könnyen kihasználhatjuk, és kinullázzuk ezt az oszlopot:

(−823−1344−251)∼(−2−130−5−160−251)

Most újra a harmadik oszlop szerint fejtünk ki. Ismét csak egy nem nulla elem van benne:

3|−2−130−5−160−251|=3⋅((−1)3+3⋅1⋅|−2−13−5−16|)=3⋅|−2−13−5−16|

Ezt pedig már a megszokott módon kiszámíthatjuk: 3 · (32 − 65) = −99.