Determinanter

I lineær algebra er determinanten en afbildning, der til hver kvadratisk matrix A knytter en skalar, som vi betegner |A|. For talmatricer er determinanten lig med et reelt tal.

Permutation af en n-tupel

For at kunne definere determinanten skal vi vide, hvordan man finder permutationen af en n-tupel, eller rettere fortegnet for en permutation. Det forklares bedst på et eksempel. Lad os tage den ordnede tripel ⟨1, 2, 3⟩, som afbildes på triplen ⟨2, 3, 1⟩. Permutationer skriver man som regel sådan:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Nu skal vi finde ud af, hvor mange ombytninger af tal vi har brugt for at nå fra den første mængde til den anden. Vi må kun bytte om på tal, der står ved siden af hinanden. Vi har altså triplen ⟨1, 2, 3⟩. Nu bytter vi 1 og 2: ⟨2, 1, 3⟩. Nu bytter vi 1 og 3: ⟨2, 3, 1⟩, og så har vi den ønskede permutation. For at nå frem til billedet brugte vi to ombytninger. Fortegnet for permutationen finder vi let: hvis antallet af ombytninger er lige, er fortegnet positivt. Hvis antallet er ulige, er fortegnet negativt. I vores tilfælde er fortegnet for permutationen altså positivt. Vi prøver også at bestemme fortegnet for permutationen i dette eksempel:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Vi går frem på følgende måde:

$$⟨4,2,3,1⟩\to ⟨4,2,1,3⟩\to ⟨4,1,2,3⟩\to ⟨1,4,2,3⟩\to ⟨1,4,3,2⟩\to ⟨1,3,4,2⟩$$

Omformningen er færdig. Vi brugte i alt fem ombytninger, så denne gang fik vi en permutation med ulige fortegn.

Fortegnet for en permutation betegner vi med Levi-Civita-symbolet:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{hvis }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ er en lige permutation af }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{hvis }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ er en ulige permutation af }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{ellers}\end{array}$$

Definition af determinanten

Determinanten er et tal. Den er kun defineret for kvadratiske matricer og skrives enten det A eller |A|. Tallet er defineret sådan:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Vi prøver at beregne determinanten af en kvadratisk matrix af orden 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Hvis vi sætter den konkrete værdi n = 2 ind i definitionen, får vi denne formel:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

For i₁ og i₂ indsætter vi efter tur værdierne 1 og 2. Så får vi i alt fire muligheder: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

I mulighed a) og d) får vi en nulpermutation, fordi ϵ_1,1 = 0 og ϵ_2,2 = 0. I summen i formlen får vi derfor nul i dette trin, fordi 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Tilbage er mulighed b) og c). I tilfældet b) i₁ = 1, i₂ = 2 har vi: ϵ_1,2 = 1, fordi ⟨1, 2⟩ er en lige permutation af ⟨1, 2⟩. Vi får det første led:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

I det sidste tilfælde har vi i₁ = 2, i₂ = 1. Værdien af ϵ_2,1 er lig med −1. Vi får det andet led:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Nu lægger vi alle fire tilfælde sammen, a) + b) + c) + d), og får

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Determinanten af matricen A er lig med ti.

Vi kan bemærke, at vi til sidst beregnede determinanten af matricen som en differens

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Denne formel gælder generelt for en vilkårlig matrix af orden 2 × 2.

Sarrus' regel

Med Sarrus' regel beregner vi determinanten af en matrix af tredje orden. Den determinant er lidt mere besværlig. Lad os beregne den for denne matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Nu går vi frem på samme måde som ved en matrix af anden orden, men for overblikkets skyld udvider vi matricen med yderligere to rækker: under matricen skriver vi de to første rækker af matricen af:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Første og fjerde række i matricen er altså ens, og det samme gælder anden og femte række. Nu lægger vi produkterne af elementerne på hoveddiagonalerne sammen og trækker summen af produkterne af elementerne på sidediagonalerne fra. Når vi sætter ind, får vi:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Egenskaber ved determinanter

• Hvis vi ganger en række eller søjle i matricen A med tallet c ≠ 0, får vi matricen A', og for deres determinanter gælder: c|A| = |A'|. Hvis du altså ganger en række i matricen med tre og beregner determinanten, får du determinanten af den oprindelige matrix ved at dividere det nuværende resultat med tre.

• Hvis vi ganger den i-te række med et tal og lægger den til den j-te række, ændrer determinanten sig ikke. Det samme gælder for søjler.

• Hvis mindst én række i matricen er en nulrække, er determinanten nul.

• En regulær matrix har altid en determinant, der er forskellig fra nul, og en singulær matrix har altid determinant lig med nul.

• Determinanten af en matrix på trappeform er lig med produktet af elementerne på hoveddiagonalen.

• Hvis vi bytter om på to rækker i matricen, skifter determinanten fortegn.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Af de foregående egenskaber følger en forholdsvis simpel fremgangsmåde til at beregne determinanten. Det er nok at omforme matricen til trappeform og derefter gange elementerne på hoveddiagonalen. Så går vi i gang:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Med de sædvanlige rækkeoperationer omformer vi nu matricen til trappeform:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Nu tager vi produktet af elementerne på diagonalen: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Beregn determinanten af denne matrix:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Først er det belejligt at bytte om på første og anden række, så vi får det mindste tal øverst. Vi må dog ikke glemme at skifte fortegn:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Dernæst er det ret smart at gange anden række med to, så vi nemt kan lægge sammen. Vi må ikke glemme at gange hele determinanten med en halv:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Og nu går vi frem på klassisk vis:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Laplace-udvikling

Laplace var en flink mand, som fandt på endnu en algoritme til at beregne determinanter. For at forstå denne opskrift skal vi kunne danne en særlig delmatrix af den oprindelige matrix. Vi har matricen A og skal danne den delmatrix, der opstår, når vi fjerner én række og én søjle fra A. Den nye matrix betegner vi $S_{ij}^A$, hvilket fortæller os, at vi har fjernet den i-te række og den j-te søjle fra A. Eksempel:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Delmatricen $S_{12}^A$ får denne form:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Dernæst definerer vi begrebet minor, som ikke er andet end determinanten af den delmatrix $S_{ij}^A$, vi netop har defineret. Vi betegner en minor på samme måde, bare med bogstavet M, altså $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Vi kan også tale om minoren af elementet a_ij, og det er netop $M_{ij}^A$.

Med disse minorer kan vi beregne determinanten af den oprindelige matrix. I første trin vælger vi en række (eller søjle) i matricen. Så beregner vi minoren for hvert element i denne række. Vi får således lige så mange minorer, som rækken har elementer. Nu kan vi udtrykke determinanten af den oprindelige matrix A af typen n × n som en vægtet sum af disse minorer:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

hvor i er den række, vi har valgt. Hvis vi i stedet løber igennem variablen i, vælger vi variablen j, altså søjleindekset, fast.

I praksis ser det ud sådan, at du har en matrix og vil kende determinanten. Du tager altså én søjle i matricen (eller række), bestemmer minoren for hvert element i søjlen, giver den fortegnet (−1)^{i + j} og lægger det hele sammen, idet du ganger hver determinant med det element, hvis minor matricen er. Fordi vi ganger minoren $M_{ij}^A$ med elementet a_ij, er det en fordel, hvis dette element er nul. Så falder yderligere regning nemlig bort, og du sparer arbejde. Vi prøver at beregne determinanten af denne matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

I matricen er der kun ét nul, så det bedste er at foretage udviklingen enten efter anden række eller efter tredje søjle. Vi vælger for eksempel rækken. I første trin udtrækker vi delmatricerne:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Nu beregner vi determinanterne, og dermed får vi minorerne. For en matrix af anden orden er det trivielt.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Nu kan vi sætte ind i formlen, i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Læg mærke til, at fordi elementet i slutningen af anden række er nul, blev det tredje led også lig med nul. Endnu et eksempel:

Beregn determinanten af denne matrix med Laplaces metode:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

I den tredje søjle har vi lutter multipla af tre. Det kan vi udnytte og nulstille denne søjle for at gøre klar til at bruge Laplaces metode senere. Til anden række lægger vi derfor −2 gange første række, til tredje række lægger vi −3 gange første række og til fjerde række −1 gange første række.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Determinantens værdi har vi ikke ændret, men det bliver nemmere at regne. Vi udvikler efter tredje søjle, hvor der kun er ét element forskelligt fra nul, så i udviklingen er der kun minoren af det tredje element i første række tilbage:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

I tredje søjle i den nye matrix ser vi helt nederst et 1-tal, og det kan vi let udnytte til at nulstille denne søjle:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Nu udvikler vi efter tredje søjle. Igen er der kun ét element forskelligt fra nul:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Og det kan vi nu beregne på klassisk vis: 3 · (32 − 65) = −99.