Determinantit

Lineaarialgebrassa determinantti on kuvaus, joka liittää jokaiseen neliömatriisiin A skalaarin, jota merkitään |A|. Numeeristen matriisien tapauksessa determinantti on jokin reaaliluku.

N-monikon permutaatio

Jotta determinantti voidaan määritellä, täytyy osata laskea n-monikon permutaatio, tarkemmin sanoen permutaation merkki. Selitän sen parhaiten esimerkillä. Olkoon järjestetty kolmikko (1, 2, 3), joka kuvautuu kolmikoksi (2, 3, 1). Permutaatioiden tapauksessa tämä kirjoitetaan yleensä näin:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})$

Nyt täytyy selvittää, kuinka monta eri lukujen vaihtoa tarvittiin, jotta ensimmäisestä joukosta saatiin toinen joukko. Vaihtaa saa kuitenkin vain vierekkäisiä lukuja. Annettuna on siis kolmikko (1, 2, 3). Vaihdetaan nyt ykkönen ja kakkonen: (2, 1, 3). Sitten vaihdetaan ykkönen ja kolmonen: (2, 3, 1), jolloin saadaan etsitty permutaatio. Kuvan saamiseen tarvittiin kaksi vaihtoa. Permutaation merkki saadaan helposti – jos vaihtojen lukumäärä on parillinen, merkki on positiivinen. Jos lukumäärä on pariton, merkki on negatiivinen. Tässä tapauksessa permutaation merkki on siis positiivinen. Yritetään vielä selvittää permutaation merkki tässä esimerkissä:

$(\begin{matrix} 4 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix})$

Edetään seuraavasti:

$(4, 2, 3, 1) \to (4, 2, 1, 3) \to (4, 1, 2, 3) \to (1, 4, 2, 3) \to (1, 4, 3, 2) \to (1, 3, 4, 2)$

Muunnos on valmis. Tarvittiin yhteensä viisi muunnosta, joten tällä kertaa saatiin pariton permutaatio.

Permutaation merkkiä merkitään Levi-Civitan symbolilla:

$ϵ_{i_{1}, \dots, i_{n}} = {\begin{cases} + 1 & jos (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) on parillinen permutaatio (1, 2, 3, 4, \dots, n) \\ - 1 & jos (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) on pariton permutaatio (1, 2, 3, 4, \dots, n) \\ 0 & muulloin \end{cases}$

Determinantin määritelmä

Determinantti on luku; se on määritelty vain neliömatriiseille ja sitä merkitään joko det A tai |A|. Tämä luku määritellään seuraavasti:

$| A | = \sum_{i_{1}, \dots, i_{n}}^{n} ϵ_{i_{1}, \dots, i_{n}} a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} \cdot \dots \cdot a_{n i_{n}}$

Yritetään laskea 2 × 2-neliömatriisin determinantti:

$A = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})$

Kun määritelmään sijoitetaan konkreettinen arvo n = 2, saadaan tämä kaava:

$| A | = \sum_{i_{1}, i_{2}}^{2} ϵ_{i_{1}, i_{2}} \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}}$

Muuttujien i₁ ja i₂ paikalle sijoitetaan vuorotellen arvot 1 ja 2. Näin saadaan yhteensä neljä vaihtoehtoa: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Vaihtoehdoissa a) ja d) saadaan nollapermutaatio, koska ϵ_1,1 = 0 ja ϵ_2,2 = 0. Kaavan summassa saadaan tässä vaiheessa siis nolla, koska 0 · a_1i₁ · a_2i₂ = 0.

Jäljelle jäävät vaihtoehdot b) ja c). Vaihtoehdossa b) i₁ = 1, i₂ = 2 on: ϵ_1,2 = 1, koska (1, 2) on parillinen permutaatio (1, 2). Saadaan ensimmäinen yhteenlaskettava:

$1 \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} = 1 \cdot a_{11} \cdot a_{22} = 4 \cdot 3 = 12$

Jäljellä olevassa tapauksessa i₁ = 2, i₂ = 1. Arvo ϵ_2,1 on yhtä suuri kuin −1. Saadaan toinen yhteenlaskettava:

$- 1 \cdot a_{1 i_{1}} \cdot a_{2 i_{2}} = - 1 \cdot a_{12} \cdot a_{21} = - 1 \cdot 2 \cdot 1 = - 2$

Lasketaan nyt yhteen kaikki neljä tapausta a) + b) + c) + d), jolloin saadaan

$| A | = 0 + 12 - 2 + 0 = 10.$

Matriisin A determinantti on kymmenen.

Voidaan huomata, että matriisin determinantti saatiin lopulta erotuksena

$| A | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$

Tämä kaava pätee yleisesti mille tahansa 2 × 2-matriisille.

Sarruksen sääntö

Sarruksen säännön avulla lasketaan kolmannen kertaluvun matriisin determinantti. Tämä determinantti on jo hieman monimutkaisempi. Lasketaan siis vaikkapa tämä matriisi:

$A = (\begin{matrix} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \\ 0 & - 2 & 7 \end{matrix})$

Nyt edetään samaan tapaan kuin toisen kertaluvun matriisissa, mutta selkeyden vuoksi tätä matriisia laajennetaan vielä kahdella rivillä – matriisin alle kirjoitetaan matriisin kaksi ensimmäistä riviä:

$A^{'} = (\begin{matrix} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \\ 0 & - 2 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & - 8 \end{matrix})$

Matriisin ensimmäinen ja neljäs rivi ovat siis samat, samoin toinen ja viides. Nyt edetään niin, että lasketaan yhteen päädiagonaalien suuntaisten alkioiden tulot ja vähennetään niistä sivudiagonaalien suuntaisten alkioiden tulojen summa. Sijoittamalla saadaan:

$| A | = [5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (- 2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (- 8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (- 8) \cdot (- 2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1] = 140$

Determinantin ominaisuudet

Jos matriisin A rivi tai sarake kerrotaan luvulla c ≠ 0, saadaan matriisi A' ja niiden determinanteille pätee: c|A| = |A'|. Jos siis kerrot matriisin rivin kolmella ja lasket determinantin, alkuperäisen matriisin determinantti saadaan jakamalla nykyinen tulos kolmella.
Kertomalla i:s rivi ja lisäämällä se j:nteen riviin matriisin determinantti ei muutu. Sama pätee sarakkeille.
Jos ainakin yksi matriisin rivi on nollarivi, matriisin determinantti on nolla.
Säännöllisen matriisin determinantti on aina nollasta eroava ja singulaarisen matriisin determinantti on aina nolla.
Porrasmuotoisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo.
Kun matriisin kaksi riviä vaihdetaan keskenään, determinantin etumerkki muuttuu.
|A| = |A^T|
|A · B| = |A| · |B|
|A⁻¹| = 1/|A|

Edellisistä ominaisuuksista seuraa melko yksinkertainen tapa laskea determinantti. Riittää muuntaa matriisi porrasmuotoon ja kertoa sen jälkeen päädiagonaalin alkiot. Ryhdytään työhön:

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix})$

Tavallisilla matriisimuunnoksilla muunnetaan nyt matriisi porrasmuotoon:

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 0 & - 1 & - 16 \\ 0 & 8 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 0 & - 1 & - 16 \\ 0 & 0 & - 107 \end{matrix})$

Nyt lasketaan diagonaalin alkioiden tulo: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Laske tämän matriisin determinantti:

$A = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix})$

Ensin on tarkoituksenmukaista vaihtaa ensimmäinen ja toinen rivi, jotta pienin luku saadaan ylös. Etumerkin muuttamista ei kuitenkaan saa unohtaa:

$| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} |$

Lisäksi on melko kätevää kertoa toinen rivi kahdella, jotta voidaan laskea mukavasti yhteen. Koko determinantti täytyy muistaa kertoa yhdellä puolikkaalla:

$- | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = - \frac{1}{2} | \begin{matrix} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 10 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} |$

Ja nyt edetään tavalliseen tapaan:

$\begin{array}{rcl} - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 2 & 10 \\ 6 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & - 3 & 1 & 1 \end{array} | & = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & - 17 & - 14 & - 18 \\ 0 & - 17 & - 9 & - 11 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 4 & - 3 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} 2 & 7 & 5 & 6 \\ 0 & - 17 & - 13 & - 8 \\ 0 & 0 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 0 & - 43 \end{array} | \\ = & - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 17) \cdot (- 1) \cdot (- 43) = 731 \end{array}$

Laplacen kehitelmä

Laplace oli eräs kiltti herrasmies, joka keksi toisen algoritmin matriisin determinanttien laskemiseen. Tämän ohjeen ymmärtämiseksi täytyy osata laskea alkuperäisen matriisin erityinen alimatriisi. Annettuna on matriisi A ja täytyy muodostaa alimatriisi, joka syntyy poistamalla matriisista A yksi rivi ja yksi sarake. Tätä uutta matriisia merkitään $S_{i j}^{A}$ , mikä kertoo, että matriisista A on poistettu i:s rivi ja j:s sarake. Esimerkki:

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 8 \\ 2 & 5 & 0 \\ - 2 & 2 & 5 \end{matrix})$

Alimatriisilla $S_{12}^{A}$ olisi tämä muoto:

$S_{12}^{A} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 2 & 5 \end{matrix})$

Määritellään seuraavaksi käsite minori, joka ei ole muuta kuin edellä määritellyn alimatriisin $S_{i j}^{A}$ determinantti. Minoria merkitään samoin, mutta kirjaimella M, eli $M_{i j}^{A} = | S_{i j}^{A} |$ . Voidaan puhua myös alkion a_ij minorista, joka on juuri $M_{i j}^{A}$ .

Näiden minorien avulla voidaan laskea alkuperäisen matriisin determinantti. Ensimmäisessä vaiheessa valitaan matriisin rivi (tai sarake). Sitten lasketaan tämän rivin jokaiselle alkiolle sen minori. Näin saadaan yhtä monta minoria kuin rivillä on alkioita. Nyt voidaan esittää tyyppiä n × n olevan alkuperäisen matriisin A determinantti näiden minorien painotettuna summana:

$| A | = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} \cdot a_{i j} \cdot M_{i j}^{A}$

missä i on valittu rivi. Jos iteroidaan muuttujan i yli, valitaan muuttuja j – sarakeindeksi – kiinteäksi.

Käytännössä se menee niin, että on matriisi ja halutaan tietää determinantti. Otetaan siis yksi matriisin sarake (tai rivi) ja määritetään tämän sarakkeen jokaiselle alkiolle minori ja liitetään siihen etumerkki (−1)^{i + j} ja lasketaan kaikki yhteen, ja jokainen determinantti kerrotaan sillä alkiolla, jonka minori se on. Koska minori $M_{i j}^{A}$ kerrotaan vielä alkiolla a_ij, on edullista, jos tämä alkio on nolla. Silloin nimittäin loppulasku jää pois ja säästät vaivaa. Yritetään laskea tämän matriisin determinantti:

$A = (\begin{matrix} 5 & 4 & 8 \\ 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 9 \end{matrix})$

Matriisissa on vain yksi nolla, joten kehitelmä kannattaa tehdä joko toisen rivin tai kolmannen sarakkeen mukaan. Valitaan esimerkiksi rivi. Ensimmäisessä vaiheessa erotetaan alimatriisit:

$\begin{array}{rcl} S_{21}^{A} & = & (\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array}) \\ S_{22}^{A} & = & (\begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array}) \\ S_{23}^{A} & = & (\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}) \end{array}$

Nyt lasketaan determinantit, jolloin saadaan minorit. Toisen kertaluvun matriisille se on triviaalia.

$\begin{array}{rcl} M_{21}^{A} & = & | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array} | = 12 \\ M_{22}^{A} & = & | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array} | = 29 \\ M_{23}^{A} & = & | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | = 7 \end{array}$

Nyt voidaan sijoittaa kaavaan, i = 2:

$\begin{array}{rcl} | A | & = & (- 1)^{2 + 1} \cdot 6 \cdot | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 9 \end{array} | + (- 1)^{2 + 2} \cdot 1 \cdot | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 2 & 9 \end{array} | + (- 1)^{2 + 3} \cdot | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | \cdot 0 \\ = & (- 1)^{2 + 1} \cdot 6 \cdot 12 + (- 1)^{2 + 2} \cdot 1 \cdot 29 + (- 1)^{2 + 3} \cdot 7 \cdot 0 = - 43 \end{array}$

Huomaa, että koska toisen rivin lopussa oleva alkio on nolla, myös kolmas yhteenlaskettava oli nolla. Toinen esimerkki:

Laske tämän matriisin determinantti Laplacen menetelmällä:

$A = (\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix})$

Kolmannessa sarakkeessa on pelkkiä kolmen monikertoja, mitä voidaan hyödyntää nollaamalla tämä sarake; näin valmistellaan maaperää Laplacen menetelmän myöhempää soveltamista varten. Toiseen riviin lisätään siis ensimmäisen rivin −2-kertainen, kolmanteen riviin lisätään ensimmäisen rivin −3-kertainen ja neljänteen −1-kertainen.

$(\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ - 8 & 2 & 0 & 3 \\ - 13 & 4 & 0 & 4 \\ - 2 & 5 & 0 & 1 \end{matrix})$

Näin determinantin arvo ei muuttunut, mutta laskeminen on helpompaa. Tehdään kehitelmä kolmannen sarakkeen mukaan, jossa on vain yksi nollasta eroava alkio, joten kehitelmään jää vain ensimmäisen rivin kolmannen alkion minori:

$| \begin{matrix} 7 & 2 & 3 & 2 \\ 6 & 6 & 6 & 7 \\ 8 & 10 & 9 & 10 \\ 5 & 7 & 3 & 3 \end{matrix} | = (- 1)^{1 + 3} \cdot 3 | \begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} | = 3 | \begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} |$

Uuden matriisin kolmannen sarakkeen aivan lopussa nähdään ykkönen, mikä voidaan helposti hyödyntää ja nollata tämä sarake:

$(\begin{matrix} - 8 & 2 & 3 \\ - 13 & 4 & 4 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} - 2 & - 13 & 0 \\ - 5 & - 16 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix})$

Nyt tehdään kehitelmä kolmannen sarakkeen mukaan. Taas siinä on vain yksi nollasta eroava alkio:

$3 | \begin{matrix} - 2 & - 13 & 0 \\ - 5 & - 16 & 0 \\ - 2 & 5 & 1 \end{matrix} | = 3 \cdot ((- 1)^{3 + 3} \cdot 1 \cdot | \begin{matrix} - 2 & - 13 \\ - 5 & - 16 \end{matrix} |) = 3 \cdot | \begin{matrix} - 2 & - 13 \\ - 5 & - 16 \end{matrix} |$

Ja tämän voi jo laskea tavalliseen tapaan: 3 · (32 − 65) = −99.

« Edellinen: Käänteismatriisi

Seuraava: Lineaariset yhtälöryhmät »