✖

Determinanți

În algebra liniară, determinantul este o aplicație care asociază fiecărei matrice pătratice A un scalar, pe care îl notăm |A|. În cazul matricelor numerice, determinantul este egal cu un număr real.

Permutări de n elemente

Ca să putem defini determinantul, trebuie să știm cum se află semnul unei permutări. Cel mai bine se explică pe un exemplu. Fie tripletul ordonat ⟨1, 2, 3⟩, care se transformă în tripletul ⟨2, 3, 1⟩. De obicei, permutările se scriu astfel:

(123231)

Acum trebuie să aflăm câte interschimbări de numere am făcut ca să ajungem de la prima mulțime la a doua. Avem voie să interschimbăm numai numere vecine. Deci pornim de la tripletul ⟨1, 2, 3⟩. Interschimbăm 1 cu 2: ⟨2, 1, 3⟩. Apoi interschimbăm 1 cu 3: ⟨2, 3, 1⟩ și am obținut permutarea căutată. Am avut nevoie de două interschimbări. Semnul permutării se află simplu – dacă numărul de interschimbări este par, semnul este pozitiv. Dacă numărul este impar, semnul este negativ. În cazul nostru, permutarea are deci semn pozitiv. Hai să determinăm semnul permutării și pentru acest exemplu:

(42311342)

Procedăm astfel:

⟨4,2,3,1⟩→⟨4,2,1,3⟩→⟨4,1,2,3⟩→⟨1,4,2,3⟩→⟨1,4,3,2⟩→⟨1,3,4,2⟩

Transformarea s-a încheiat. Am avut nevoie în total de cinci interschimbări, așadar de data aceasta am obținut o permutare impară.

Semnul permutării se notează cu ajutorul simbolului Levi-Civita:

ϵi1,…,in={+1dacă (i1,i2,…,in) este o permutare pară a lui (1,2,3,4,…,n)−1dacă (i1,i2,…,in) este o permutare impară a lui (1,2,3,4,…,n)0în rest

Definiția determinantului

Determinantul este un număr; este definit numai pentru matrice pătratice și se notează det A sau |A|. Numărul se definește astfel:

|A|=∑i1,…,innϵi1,…,ina1i1⋅a2i2⋅…⋅anin

Să încercăm să calculăm determinantul unei matrice pătratice de ordinul 2 × 2:

A=(4213)

Dacă înlocuim în definiție valoarea concretă n = 2, obținem formula:

|A|=∑i1,i22ϵi1,i2⋅a1i1⋅a2i2

Pentru i1 și i2 punem pe rând valorile 1 și 2. Obținem în total patru posibilități: a) i1 = 1, i2 = 1, b) i1 = 1, i2 = 2, c) i1 = 2, i2 = 1, d) i1 = 2, i2 = 2.

În cazurile a) și d) avem permutarea nulă, pentru că ϵ1,1 = 0 și ϵ2,2 = 0. În suma din formulă obținem la acest pas zero, deoarece 0 · a1i1 · a2i2 = 0.

Rămân posibilitățile b) și c). În cazul b) i1 = 1, i2 = 2 avem: ϵ1,2 = 1, pentru că ⟨1, 2⟩ este o permutare pară a lui ⟨1, 2⟩. Obținem primul termen:

1⋅a1i1⋅a2i2=1⋅a11⋅a22=4⋅3=12

În cazul rămas avem i1 = 2, i2 = 1. Valoarea ϵ2,1 este egală cu −1. Obținem al doilea termen:

−1⋅a1i1⋅a2i2=−1⋅a12⋅a21=−1⋅2⋅1=−2

Acum adunăm toate cele patru cazuri a) + b) + c) + d) și obținem

|A|=0+12−2+0=10.

Determinantul matricei A este egal cu zece.

Observăm că, până la urmă, am calculat determinantul matricei ca diferență

|A|=a11⋅a22−a12⋅a21

Această formulă este valabilă în general pentru orice matrice de ordinul 2 × 2.

Regula lui Sarrus

Cu ajutorul regulii lui Sarrus calculăm determinantul unei matrice de ordinul trei. Acest determinant este ceva mai complicat. Hai să calculăm, de exemplu, determinantul acestei matrice:

A=(53217−80−27)

Procedăm asemănător ca la matricea de ordinul doi, dar, pentru claritate, extindem matricea cu încă două linii – sub matrice rescriem primele două linii:

A′=(53217−80−2753217−8)

Prima și a patra linie sunt astfel identice, la fel și a doua și a cincea. Acum adunăm produsele elementelor de pe diagonalele principale și scădem din ele suma produselor elementelor de pe diagonalele secundare. După înlocuire obținem:

|A|=[5⋅7⋅7+1⋅(−2)⋅2+0⋅3⋅(−8)]−[2⋅7⋅0+(−8)⋅(−2)⋅5+7⋅3⋅1]=140

Proprietățile determinantului

  • Dacă înmulțim o linie sau o coloană a matricei A cu numărul c ≠ 0, obținem matricea A' și pentru determinanții lor are loc relația c|A| = |A'|. Așadar, dacă înmulțești o linie a matricei cu trei și calculezi determinantul, determinantul matricei inițiale îl obții împărțind rezultatul curent la trei.

  • Dacă înmulțim linia i cu un număr și o adunăm la linia j, determinantul matricei nu se schimbă. La fel pentru coloane.

  • Dacă cel puțin o linie a matricei este nulă, determinantul matricei este zero.

  • O matrice inversabilă (nesingulară) are întotdeauna determinantul nenul, iar o matrice singulară are întotdeauna determinantul egal cu zero.

  • Determinantul unei matrice în formă eșalon este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

  • Dacă interschimbăm două linii ale matricei, determinantul își schimbă semnul.

  • |A| = |At|

  • |A · B| = |A| · |B|

  • |A−1| = 1/|A|

Din proprietățile de mai sus rezultă un procedeu destul de simplu de calcul al determinantului. Ajunge să aducem matricea la forma eșalon și apoi să înmulțim elementele de pe diagonala principală. Hai să încercăm:

A=(138250−225)

Cu transformări elementare obișnuite aducem acum matricea la forma eșalon:

(138250−225)∼(1380−1−160821)∼(1380−1−1600−107)

Acum facem produsul elementelor de pe diagonală: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Calculează determinantul acestei matrice:

A=(3215275664104−311)

Mai întâi e potrivit să interschimbăm prima și a doua linie, ca să avem sus cel mai mic număr. Nu trebuie să uităm însă să schimbăm semnul:

|3215275664104−311|=−|2756321564104−311|

Apoi e destul de util să înmulțim a doua linie cu doi, ca să putem aduna frumos. Nu trebuie să uităm să înmulțim întregul determinant cu o doime:

−|2756321564104−311|=−12|27566421064104−311|

Și acum procedăm clasic:

−12|27566421064104−311|=−12|27560−17−13−80−17−14−180−17−9−11|=−12|27560−17−13−800−1−10004−3|=−12|27560−17−13−800−1−10000−43|=−12⋅2⋅(−17)⋅(−1)⋅(−43)=731

Dezvoltarea după o linie sau o coloană

Laplace a fost un domn de treabă, care a născocit încă un algoritm pentru calculul determinanților. Ca să înțelegem această rețetă, trebuie să știm să formăm o submatrice specială a matricei inițiale. Avem matricea A și vrem să formăm submatricea obținută din A prin eliminarea unei linii și a unei coloane. Această nouă matrice o notăm SijA, ceea ce ne spune că din matricea A am eliminat linia i și coloana j. Exemplu:

A=(138250−225)

Submatricea S12A arată astfel:

S12A=(20−25)

Definim în continuare noțiunea de minor, care nu este altceva decât determinantul submatricei SijA definite mai sus. Minorul îl notăm la fel, dar cu litera M, deci MijA=|SijA|. Putem vorbi și despre minorul elementului aij, care este chiar MijA.

Cu ajutorul acestor minori putem calcula determinantul matricei inițiale. La primul pas alegem o linie (sau o coloană) a matricei. Apoi, pentru fiecare element al acestei linii, calculăm minorul lui. Obținem astfel tot atâția minori câte elemente are linia. Acum putem exprima determinantul matricei inițiale A de tip n × n ca o sumă ponderată a acestor minori:

|A|=∑j=1n(−1)i+j⋅aij⋅MijA

unde i este linia aleasă de noi. Dacă am alege o coloană, am parcurge indicele i, iar indicele coloanei j l-am fixa.

În practică lucrurile stau așa: ai o matrice și vrei să-i afli determinantul. Alegi o coloană a matricei (sau o linie), pentru fiecare element din această coloană determini minorul, îi atribui semnul (−1)i + j și aduni totul, înmulțind fiecare determinant cu elementul al cărui minor este. Deoarece minorul MijA se înmulțește încă cu elementul aij, este convenabil când acest element este zero. Atunci dispare un calcul suplimentar și îți economisești munca. Hai să calculăm determinantul acestei matrice:

A=(548610239)

În matrice există un singur zero, așa că ideal este să facem dezvoltarea fie după linia a doua, fie după coloana a treia. Alegem, de exemplu, linia. La primul pas extragem submatricele:

S21A=(4839)S22A=(5829)S23A=(5423)

Acum calculăm determinanții și obținem astfel minorii. Pentru o matrice de ordinul doi este ușor.

M21A=|4839|=12M22A=|5829|=29M23A=|5423|=7

Acum putem înlocui în formulă, i = 2:

|A|=(−1)2+1⋅6⋅|4839|+(−1)2+2⋅1⋅|5829|+(−1)2+3⋅|5423|⋅0=(−1)2+1⋅6⋅12+(−1)2+2⋅1⋅29+(−1)2+3⋅7⋅0=−43

Observă că, datorită faptului că elementul de la sfârșitul liniei a doua este nul, și al treilea termen a fost egal cu zero. Încă un exemplu:

Calculează determinantul acestei matrice cu ajutorul dezvoltării după o linie sau o coloană:

A=(723266678109105733)

În coloana a treia avem numai multipli ai lui trei și putem folosi asta ca să anulăm această coloană, pregătind terenul pentru aplicarea dezvoltării. La linia a doua adunăm linia întâi înmulțită cu −2, la linia a treia adunăm linia întâi înmulțită cu −3, iar la linia a patra adunăm linia întâi înmulțită cu −1.

(723266678109105733)∼(7232−8203−13404−2501)

Astfel nu am schimbat valoarea determinantului, dar ne va fi mai ușor să calculăm. Facem dezvoltarea după coloana a treia, în care avem un singur element nenul, deci în dezvoltare rămâne doar minorul celui de-al treilea element al primei linii:

|723266678109105733|=(−1)1+3⋅3|−823−1344−251|=3|−823−1344−251|

În coloana a treia a noii matrice vedem la capăt un unu, ceea ce putem folosi ușor pentru a anula această coloană:

(−823−1344−251)∼(−2−130−5−160−251)

Acum facem dezvoltarea după coloana a treia. Din nou există un singur element nenul:

3|−2−130−5−160−251|=3⋅((−1)3+3⋅1⋅|−2−13−5−16|)=3⋅|−2−13−5−16|

Iar aceasta o putem calcula clasic: 3 · (32 − 65) = −99.