Determinantes

Na álgebra linear, o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada A um escalar, que representamos por |A|. No caso de matrizes numéricas, o determinante é igual a algum número real.

Permutação de uma ênupla

Para podermos definir o determinante, precisaremos saber calcular a permutação de uma ênupla, ou melhor, o sinal da permutação. O melhor é explicar com um exemplo. Considere a terna ordenada ⟨1, 2, 3⟩, que é levada na terna ⟨2, 3, 1⟩. No caso das permutações, costumamos escrever isso assim:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Agora precisamos descobrir quantas trocas de números tivemos de usar para obter o segundo conjunto a partir do primeiro. Só podemos trocar números vizinhos. Então temos a terna ⟨1, 2, 3⟩. Agora trocamos o um com o dois: ⟨2, 1, 3⟩. Agora trocamos o um com o três: ⟨2, 3, 1⟩, e com isso já obtemos a permutação procurada. Para obter a imagem, precisamos de duas trocas. O sinal da permutação é fácil de descobrir — se o número de trocas é par, o sinal é positivo. Se o número é ímpar, o sinal é negativo. No nosso caso, portanto, trata-se de uma permutação de sinal positivo. Vamos tentar determinar também o sinal da permutação neste exemplo:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Vamos proceder da seguinte maneira:

$$⟨4,2,3,1⟩\to ⟨4,2,1,3⟩\to ⟨4,1,2,3⟩\to ⟨1,4,2,3⟩\to ⟨1,4,3,2⟩\to ⟨1,3,4,2⟩$$

A transformação está pronta. Precisamos de cinco trocas no total, então, desta vez, obtivemos uma permutação de sinal ímpar.

O sinal da permutação é representado por meio do símbolo de Levi-Civita:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{se }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ é uma permutação par de }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{se }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ é uma permutação ímpar de }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{caso contrário}\end{array}$$

Definição do determinante

O determinante é um número; é definido apenas para matrizes quadradas e é escrito como det A ou |A|. Esse número é definido assim:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Vamos tentar calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Se substituirmos na definição o valor concreto n = 2, obtemos esta fórmula:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Nos lugares de i₁ e i₂ substituímos sucessivamente os valores 1 e 2. Obtemos, assim, quatro possibilidades no total: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Nas possibilidades a) e d) obtemos a permutação nula, porque ϵ_1,1 = 0 e ϵ_2,2 = 0. Na soma da fórmula, portanto, obtemos zero nesse passo, porque 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Restam as possibilidades b) e c). No caso b) i₁ = 1, i₂ = 2 temos: ϵ_1,2 = 1, porque ⟨1, 2⟩ é uma permutação par de ⟨1, 2⟩. Obtemos a primeira parcela:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

No caso restante temos i₁ = 2, i₂ = 1. O valor de ϵ_2,1 é igual a −1. Obtemos a segunda parcela:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Agora somamos os quatro casos a) + b) + c) + d) e obtemos

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

O determinante da matriz A é igual a dez.

Podemos notar que, no fim, calculamos o determinante da matriz como a diferença

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Essa fórmula vale, em geral, para qualquer matriz de ordem 2 × 2.

Regra de Sarrus

Com a regra de Sarrus calculamos o determinante de uma matriz de ordem três. Esse determinante já é um pouco mais complicado. Então vamos calcular, por exemplo, esta matriz:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Agora vamos proceder de modo parecido ao da matriz de ordem dois, mas, para maior clareza, ampliamos essa matriz com mais duas linhas — abaixo da matriz copiamos as duas primeiras linhas da matriz:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

A primeira e a quarta linhas da matriz são, assim, iguais, e o mesmo vale para a segunda e a quinta. Agora vamos proceder assim: somamos os produtos dos elementos das diagonais principais e subtraímos deles a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias. Substituindo, obtemos:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Propriedades do determinante

• Se multiplicamos uma linha ou coluna da matriz A pelo número c ≠ 0, obtemos a matriz A' e, para os determinantes delas, vale: c|A| = |A'|. Ou seja, se você multiplicar uma linha da matriz por três e calcular o determinante, então obtém o determinante da matriz original dividindo o resultado atual por três.

• Multiplicando a i-ésima linha por um número e somando à j-ésima linha, o determinante da matriz não muda. Novamente, o mesmo vale para colunas.

• Se pelo menos uma linha da matriz é nula, o determinante da matriz é zero.

• Uma matriz inversível sempre terá determinante diferente de zero, e uma matriz singular sempre terá determinante igual a zero.

• O determinante de uma matriz na forma escalonada é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

• Se trocamos duas linhas da matriz, o sinal do determinante muda.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Das propriedades anteriores decorre um procedimento bastante simples para calcular o determinante. Basta transformar a matriz em forma escalonada e depois multiplicar os elementos da diagonal principal. Vamos lá:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Agora, com operações elementares usuais, transformamos a matriz em forma escalonada:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Agora calculamos o produto dos elementos da diagonal: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Calcule o determinante desta matriz:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Primeiro, convém trocar a primeira e a segunda linhas, para levar o menor número para cima. Mas não podemos esquecer de trocar o sinal:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Em seguida, será bastante conveniente multiplicar a segunda linha por dois, para podermos somar com facilidade. Não podemos esquecer de multiplicar o determinante inteiro por um meio:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

E agora vamos proceder do modo clássico:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Desenvolvimento de Laplace

Laplace foi um senhor muito bondoso, que inventou mais um algoritmo para calcular determinantes de matrizes. Para entender essa receita, precisaremos saber calcular uma submatriz especial da matriz original. É dada uma matriz A, e precisamos formar a submatriz que surge quando removemos da matriz A uma linha e uma coluna. Vamos chamar essa nova matriz de $S_{ij}^A$, o que nos diz que removemos da matriz A a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Exemplo:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

A submatriz $S_{12}^A$ deve ter esta forma:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Em seguida, definimos o conceito de menor complementar, que nada mais é que o determinante da submatriz $S_{ij}^A$ que definimos. Representamos o menor complementar do mesmo modo, só que com a letra M, ou seja, $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Podemos considerar também o menor complementar do elemento a_ij, que é justamente $M_{ij}^A$.

Com esses menores complementares, podemos calcular o determinante da matriz original. No primeiro passo, escolhemos uma linha (ou coluna) da matriz. Depois, para cada elemento dessa linha, calculamos o seu menor complementar. Obtemos, assim, tantos menores quantos são os elementos da linha. Agora podemos expressar o determinante da matriz original A de ordem n × n como uma soma ponderada desses menores:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

em que i é a linha que escolhemos. Se iterarmos sobre a variável i, escolheremos fixamente a variável j — o índice da coluna.

Na prática, é assim: você tem uma matriz e quer saber o determinante. Você pega, então, uma coluna da matriz (ou uma linha), determina o menor complementar de cada elemento dessa coluna, atribui o sinal (−1)^{i + j} e soma tudo, multiplicando cada determinante pelo elemento cujo menor complementar ele é. Como multiplicamos o menor $M_{ij}^A$ ainda pelo elemento a_ij, é conveniente que esse elemento seja zero. Então o cálculo seguinte desaparece e você economiza trabalho. Vamos tentar calcular o determinante desta matriz:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Na matriz há um único zero, então, idealmente, faremos o desenvolvimento pela segunda linha ou pela terceira coluna. Escolhemos, por exemplo, a linha. No primeiro passo, extraímos as submatrizes:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Agora calculamos os determinantes, obtendo assim os menores complementares. Para uma matriz de ordem dois, isso é trivial.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Agora já podemos substituir na fórmula, i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Repare que, como o elemento no fim da segunda linha é nulo, a terceira parcela também foi igual a zero. Outro exemplo:

Calcule o determinante desta matriz pelo método de Laplace:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

Na terceira colunazinha temos só múltiplos de três, e podemos aproveitar isso para zerar essa coluna, preparando o terreno para a aplicação posterior do método de Laplace. Somamos, então, à segunda linha −2 vezes a primeira linha, à terceira somamos −3 vezes a primeira linha e à quarta, −1 vez.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Com isso, não alteramos o valor do determinante, mas ficará mais fácil calcular. Fazemos o desenvolvimento pela terceira coluna, em que temos apenas um elemento não nulo, então no desenvolvimento restará apenas o menor complementar do terceiro elemento da primeira linha:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

Na terceira colunazinha da nova matriz vemos, bem no final, um um, e podemos aproveitá-lo com facilidade para zerar essa coluna:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Agora fazemos o desenvolvimento pela terceira coluna. Novamente, há ali só um elemento não nulo:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

E agora já podemos calcular isto do modo clássico: 3 · (32 − 65) = −99.