Déterminants

En algèbre linéaire, le déterminant est une application qui associe à toute matrice carrée A un scalaire, que l’on note |A|. Pour les matrices numériques, le déterminant est égal à un nombre réel.

Permutation d’un n-uplet

Pour pouvoir définir le déterminant, il faut savoir calculer une permutation d’un n-uplet, ou plutôt la signature d’une permutation. Le plus simple est de l’expliquer sur un exemple. Considérons le triplet ordonné (1 ; 2 ; 3), qui est envoyé sur le triplet (2 ; 3 ; 1). Pour les permutations, on l’écrit en général ainsi :

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Il faut maintenant trouver combien d’échanges de nombres il a fallu pour passer du premier ensemble au second, sachant qu’on ne peut échanger que des nombres voisins. On part donc du triplet (1 ; 2 ; 3). Échangeons le 1 et le 2 : (2 ; 1 ; 3). Échangeons ensuite le 1 et le 3 : (2 ; 3 ; 1), et on obtient la permutation cherchée. Il a fallu deux échanges pour obtenir l’image. La signature de la permutation se trouve simplement – si le nombre d’échanges est pair, la signature est positive. Si ce nombre est impair, la signature est négative. Dans notre cas, la signature de la permutation est donc positive. Cherchons encore la signature de la permutation dans cet exemple :

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

On procède ainsi :

$$(4;2;3;1)\to (4;2;1;3)\to (4;1;2;3)\to (1;4;2;3)\to (1;4;3;2)\to (1;3;4;2)$$

La transformation est terminée. Il a fallu en tout cinq échanges, donc cette fois la permutation obtenue a une signature impaire.

On note la signature d’une permutation à l’aide du symbole de Levi-Civita :

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{si }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ est une permutation paire de }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{si }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ est une permutation impaire de }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{sinon}\end{array}$$

Définition du déterminant

Le déterminant est un nombre ; il n’est défini que pour les matrices carrées et on le note det A ou |A|. Ce nombre est défini ainsi :

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Essayons de calculer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2 × 2 :

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Si l’on remplace dans la définition par la valeur concrète n = 2, on obtient cette formule :

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Pour i₁ et i₂, on prend successivement les valeurs 1 et 2. Cela donne en tout quatre possibilités : a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Dans les cas a) et d), on obtient une permutation nulle, car ϵ_1,1 = 0 et ϵ_2,2 = 0. Dans la somme de la formule, on obtient donc zéro à cette étape, car 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Restent les cas b) et c). Dans le cas b) i₁ = 1, i₂ = 2, on a : ϵ_1,2 = 1, car (1 ; 2) est une permutation paire de (1 ; 2). On obtient le premier terme :

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

Dans le cas restant, on a i₁ = 2, i₂ = 1. La valeur de ϵ_2,1 est égale à −1. On obtient le deuxième terme :

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Additionnons maintenant les quatre cas a) + b) + c) + d) et on obtient

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Le déterminant de la matrice A est égal à dix.

On peut remarquer qu’on a finalement calculé le déterminant de la matrice comme la différence

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Cette formule est valable pour toute matrice d’ordre 2 × 2.

Règle de Sarrus

La règle de Sarrus sert à calculer le déterminant d’une matrice d’ordre trois. Ce déterminant est un peu plus compliqué. Calculons donc, par exemple, celui de cette matrice :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

On procède de façon analogue à la matrice d’ordre deux, mais, pour plus de clarté, on complète la matrice par deux lignes supplémentaires – sous la matrice, on recopie les deux premières lignes :

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Les première et quatrième lignes de la matrice sont donc identiques, de même que les deuxième et cinquième. On additionne les produits des coefficients sur les diagonales principales et on en soustrait la somme des produits des coefficients sur les diagonales secondaires. En remplaçant, on obtient :

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Propriétés du déterminant

• Si l’on multiplie une ligne ou une colonne de la matrice A par un nombre c ≠ 0, on obtient une matrice A' et leurs déterminants vérifient : c|A| = |A'|. Ainsi, si tu multiplies une ligne de la matrice par trois et que tu calcules le déterminant, tu retrouves le déterminant de la matrice de départ en divisant le résultat actuel par trois.

• Si l’on multiplie la i-ième ligne par un nombre et qu’on l’ajoute à la j-ième ligne, le déterminant de la matrice ne change pas. Même chose pour les colonnes.

• Si au moins une ligne de la matrice est nulle, le déterminant de la matrice est nul.

• Une matrice inversible a toujours un déterminant non nul et une matrice non inversible a toujours un déterminant égal à zéro.

• Le déterminant d’une matrice échelonnée est égal au produit des coefficients de la diagonale principale.

• Si l’on échange deux lignes de la matrice, le déterminant change de signe.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Ces propriétés conduisent à une méthode assez simple pour calculer un déterminant. Il suffit de mettre la matrice sous forme échelonnée, puis de multiplier les coefficients de la diagonale principale. Allons-y :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Par les opérations habituelles sur les matrices, mettons la matrice sous forme échelonnée :

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Faisons maintenant le produit des coefficients de la diagonale : 1 · (−1) · (−107) = 107.

Calcule le déterminant de cette matrice :

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Il vaut mieux d’abord échanger la première et la deuxième ligne, pour mettre le plus petit nombre en haut. Il ne faut cependant pas oublier de changer le signe :

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Il sera ensuite bien pratique de multiplier la deuxième ligne par deux, pour pouvoir additionner facilement. Il ne faut pas oublier de multiplier tout le déterminant par un demi :

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Et maintenant, on procède de la façon habituelle :

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Développement de Laplace

Laplace était un brave monsieur qui a imaginé un autre algorithme pour calculer le déterminant d’une matrice. Pour comprendre cette recette, il faut savoir calculer une matrice extraite particulière de la matrice de départ. Soit une matrice A ; on veut construire une matrice extraite en supprimant de A une ligne et une colonne. On note cette nouvelle matrice $S_{ij}^A$, ce qui indique qu’on a supprimé de A la i-ième ligne et la j-ième colonne. Exemple :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

La matrice extraite $S_{12}^A$ a cette forme :

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

On définit ensuite la notion de mineur, qui n’est rien d’autre que le déterminant de la matrice extraite $S_{ij}^A$ ainsi définie. On le note de la même façon, avec la lettre M : $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. On peut aussi parler du mineur du coefficient a_ij, qui est précisément $M_{ij}^A$.

À l’aide de ces mineurs, on peut calculer le déterminant de la matrice de départ. Dans un premier temps, on choisit une ligne (ou une colonne) de la matrice. Puis, pour chaque coefficient de cette ligne, on calcule son mineur. On obtient ainsi autant de mineurs que la ligne a de coefficients. On peut alors exprimer le déterminant de la matrice A de taille n × n comme une somme pondérée de ces mineurs :

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

où i est la ligne que nous avons choisie. Pour un développement suivant une colonne, c’est l’indice j (le numéro de la colonne) qu’on fixe et l’on fait varier i.

En pratique, on a une matrice dont on veut le déterminant. On prend une colonne de la matrice (ou une ligne), on détermine le mineur de chaque coefficient de cette colonne, on lui attribue le signe (−1)^{i + j} et on additionne le tout, en multipliant chaque déterminant par le coefficient dont la matrice est le mineur. Comme on multiplie encore le mineur $M_{ij}^A$ par le coefficient a_ij, il est avantageux que ce coefficient soit nul : le calcul correspondant disparaît et on économise du travail. Essayons de calculer le déterminant de cette matrice :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Dans la matrice, il n’y a qu’un seul zéro, donc le mieux est de faire le développement soit suivant la deuxième ligne, soit suivant la troisième colonne. Choisissons par exemple la ligne. Dans un premier temps, on extrait les matrices :

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Calculons maintenant les déterminants, ce qui donne les mineurs. Pour une matrice d’ordre deux, c’est trivial.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

On peut maintenant remplacer dans la formule, avec i = 2 :

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Remarque que, comme le coefficient à la fin de la deuxième ligne est nul, le troisième terme est lui aussi égal à zéro. Un autre exemple :

Calcule le déterminant de cette matrice à l’aide de la méthode de Laplace :

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

Dans la troisième colonne, on n’a que des multiples de trois ; on peut en profiter pour annuler cette colonne et préparer ainsi le terrain pour le développement de Laplace. À la deuxième ligne, on ajoute donc −2 fois la première ligne, à la troisième on ajoute −3 fois la première ligne et à la quatrième −1 fois la première.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

On n’a pas changé la valeur du déterminant, mais le calcul sera plus facile. On fait le développement suivant la troisième colonne, où il n’y a qu’un seul coefficient non nul ; il ne reste donc dans le développement que le mineur du troisième coefficient de la première ligne :

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

Dans la troisième colonne de la nouvelle matrice, on voit un 1 tout en bas, ce dont on peut facilement profiter pour annuler cette colonne :

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

On fait maintenant le développement suivant la troisième colonne. Là encore, il n’y a qu’un seul coefficient non nul :

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Et cela, on peut le calculer de la façon habituelle : 3 · (32 − 65) = −99.