Determinanter

I lineær algebra er determinanten en avbildning som tilordner hver kvadratiske matrise A en skalar, som vi skriver |A|. For matriser med tall er determinanten lik et reelt tall.

Permutasjon av en n-tuppel

For å kunne definere determinanten må vi vite hvordan vi finner permutasjonen av en n-tuppel, eller rettere sagt fortegnet til permutasjonen. Jeg forklarer det best med et eksempel. La oss si at vi har det ordnede tripelet (1, 2, 3), som avbildes på tripelet (2, 3, 1). Vanligvis skriver vi det for permutasjoner slik:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Nå må vi finne ut hvor mange ulike ombyttinger av tall vi måtte bruke for å få den andre mengden ut av den første. Og vi har bare lov til å bytte om tall som står ved siden av hverandre. Vi har altså tripelet (1, 2, 3). Nå bytter vi om ener og toer: (2, 1, 3). Nå bytter vi om ener og treer: (2, 3, 1), og da har vi permutasjonen vi var ute etter. For å få bildet trengte vi to ombyttinger. Fortegnet til permutasjonen finner vi enkelt — hvis antall ombyttinger er partall, er fortegnet positivt. Hvis antallet er oddetall, er fortegnet negativt. I vårt tilfelle er det altså et positivt fortegn for permutasjonen. La oss også prøve å bestemme fortegnet til permutasjonen i dette eksempelet:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Vi går fram slik:

$$(4,2,3,1)\to (4,2,1,3)\to (4,1,2,3)\to (1,4,2,3)\to (1,4,3,2)\to (1,3,4,2)$$

Omformingen er ferdig. Vi trengte til sammen fem ombyttinger, så denne gangen fikk vi en permutasjon med odde fortegn.

Fortegnet til permutasjonen skriver vi ved hjelp av Levi-Civita-symbolet:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{hvis }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ er en like permutasjon av }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{hvis }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ er en odde permutasjon av }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{ellers}\end{array}$$

Definisjon av determinanten

Determinanten er et tall; den er bare definert for kvadratiske matriser og skrives enten det A eller |A|. Dette tallet er definert slik:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

La oss prøve å regne ut determinanten til en kvadratisk matrise av orden 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Hvis vi setter den konkrete verdien n = 2 inn i definisjonen, får vi denne formelen:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

For verdiene i₁ og i₂ setter vi etter tur inn verdiene 1 og 2. Vi får altså til sammen fire muligheter: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

I mulighetene a) og d) får vi en nullpermutasjon, fordi ϵ_1,1 = 0 og ϵ_2,2 = 0. I summen i formelen får vi derfor null i dette trinnet, for 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Da gjenstår mulighetene b) og c). I tilfellet b) i₁ = 1, i₂ = 2 har vi: ϵ_1,2 = 1, for (1, 2) er en like permutasjon av (1, 2). Vi får det første leddet:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

I det gjenværende tilfellet har vi i₁ = 2, i₂ = 1. Verdien av ϵ_2,1 er lik −1. Vi får det andre leddet:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Nå adderer vi alle fire tilfellene a) + b) + c) + d) og får

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Determinanten til matrisen A er lik ti.

Vi kan legge merke til at vi til slutt regnet ut determinanten til matrisen som en differanse

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Denne formelen gjelder generelt for en hvilken som helst matrise av orden 2 × 2.

Sarrus' regel

Ved hjelp av Sarrus' regel regner vi ut determinanten til en matrise av tredje orden. Denne determinanten er allerede litt mer komplisert. Så la oss regne ut, for eksempel, denne matrisen:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Nå går vi fram på lignende måte som for en matrise av andre orden, men for oversiktens skyld utvider vi denne matrisen med ytterligere to rader — under denne matrisen skriver vi av de to første radene i matrisen:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Den første og den fjerde raden i matrisen er altså like, og det samme gjelder den andre og den femte. Nå går vi fram slik at vi adderer produktene av elementene på hoveddiagonalene og trekker fra summen av produktene av elementene på sidediagonalene. Etter innsetting får vi:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Egenskaper ved determinanten

• Hvis vi multipliserer en rad eller kolonne i matrisen A med tallet c ≠ 0, får vi matrisen A', og for determinantene deres gjelder: c|A| = |A'|. Altså hvis du multipliserer en rad i matrisen med tre og regner ut determinanten, får du determinanten til den opprinnelige matrisen ved å dividere det nåværende resultatet med tre.

• Hvis vi multipliserer den i-te raden og legger den til den j-te raden, endres ikke determinanten til matrisen. Igjen det samme for kolonner.

• Hvis minst én rad i matrisen er en nullrad, er determinanten til matrisen null.

• En regulær matrise har alltid en determinant som er forskjellig fra null, og en singulær matrise har alltid determinant lik null.

• Determinanten til en matrise på trappeform er lik produktet av elementene på hoveddiagonalen.

• Hvis vi bytter om to rader i matrisen, endres fortegnet til determinanten.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Av de foregående egenskapene følger en ganske enkel framgangsmåte for å regne ut determinanten. Det er nok å bringe matrisen på trappeform og så multiplisere elementene på hoveddiagonalen. Så setter vi i gang:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Med standard matriseoperasjoner bringer vi nå matrisen på trappeform:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Nå tar vi produktet av elementene på diagonalen: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Regn ut determinanten til denne matrisen:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Først er det lurt å bytte om den første og den andre raden, slik at vi får det minste tallet øverst. Vi må imidlertid ikke glemme å bytte fortegn:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Videre er det ganske lurt å multiplisere den andre raden med to, slik at vi kan addere fint. Vi må ikke glemme å multiplisere hele determinanten med en halv:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Og nå går vi fram på vanlig måte:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Laplace-utvikling

Laplace var en snill mann som fant på enda en algoritme for å regne ut determinanter til matriser (i norske lærebøker heter den ofte kofaktorutvikling). For å forstå denne oppskriften må vi kunne regne ut en spesiell delmatrise av den opprinnelige matrisen. Vi har gitt en matrise A og må lage en delmatrise som dannes ved at vi fjerner én rad og én kolonne fra matrisen A. Denne nye matrisen skriver vi $S_{ij}^A$, som forteller oss at vi har fjernet den i-te raden og den j-te kolonnen fra matrisen A. Eksempel:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Delmatrisen $S_{12}^A$ ville ha denne formen:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Videre definerer vi begrepet minor, som ikke er noe annet enn determinanten til delmatrisen $S_{ij}^A$ som vi har definert. Minoren skriver vi på samme måte, bare med bokstaven M, altså $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Vi kan også snakke om minoren til elementet a_ij, som nettopp er $M_{ij}^A$.

Ved hjelp av disse minorene kan vi regne ut determinanten til den opprinnelige matrisen. I det første trinnet velger vi en rad (eller kolonne) i matrisen. Deretter regner vi ut minoren til hvert element i denne raden. Vi får altså like mange minorer som raden har elementer. Nå kan vi uttrykke determinanten til den opprinnelige matrisen A av typen n × n som en vektet sum av disse minorene:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

der i er raden vi har valgt. Hvis vi itererer over variabelen i, velger vi variabelen j — kolonneindeksen — fast.

I praksis ser det slik ut at du har en matrise og vil vite determinanten. Du tar altså én kolonne i matrisen (eller rad), og for hvert element i denne kolonnen bestemmer du minoren, tilordner fortegnet (−1)^{i + j} og adderer alt, der du multipliserer hver determinant med elementet som matrisen er minoren til. Siden vi også multipliserer minoren $M_{ij}^A$ med elementet a_ij, er det gunstig hvis dette elementet er null. Da faller nemlig videre regning bort, og du sparer deg arbeid. La oss prøve å regne ut determinanten til denne matrisen:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Det er bare én null i matrisen, så ideelt sett utfører vi utviklingen enten langs den andre raden eller langs den tredje kolonnen. Vi velger for eksempel raden. I det første trinnet henter vi ut delmatrisene:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Nå regner vi ut determinantene, og da får vi minorene. For en matrise av andre orden er det trivielt.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Nå kan vi sette det inn i formelen, i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Legg merke til at siden elementet på slutten av den andre raden er null, ble også det tredje leddet lik null. Et eksempel til:

Regn ut determinanten til denne matrisen ved hjelp av Laplace-metoden:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

I den tredje kolonnen har vi bare multipler av tre, og det kan vi utnytte til å nulle ut denne kolonnen for å gjøre klar grunnen for å bruke Laplace-metoden senere. Til den andre raden legger vi derfor −2 ganger den første raden, til den tredje legger vi −3 ganger den første raden og til den fjerde −1 ganger.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Dermed har vi ikke endret verdien av determinanten, men det blir lettere å regne. Vi utfører utviklingen langs den tredje kolonnen, der vi bare har ett element som ikke er null, så i utviklingen blir det bare igjen minoren til det tredje elementet i den første raden:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

I den tredje kolonnen i den nye matrisen ser vi en ener helt til slutt, og det kan vi lett utnytte, så vi nuller ut denne kolonnen:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Nå utfører vi utviklingen langs den tredje kolonnen. Igjen er det bare ett element som ikke er null:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Og dette kan vi regne ut på vanlig måte: 3 · (32 − 65) = −99.