Determinanter

I linjär algebra är determinanten en avbildning som ger varje kvadratisk matris A en skalär, som vi skriver |A|. För matriser med tal är determinanten ett reellt tal.

Permutation av en n-tipel

För att kunna definiera determinanten måste vi veta hur man bestämmer en permutations tecken. Det är lättast att förklara med ett exempel. Vi har den ordnade tripeln (1, 2, 3), som avbildas på tripeln (2, 3, 1). Permutationer brukar skrivas så här:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Nu ska vi ta reda på hur många platsbyten som krävs för att gå från den första ordningen till den andra. Vi får bara byta plats på tal som står bredvid varandra. Vi börjar med tripeln (1, 2, 3). Först byter vi plats på ettan och tvåan: (2, 1, 3). Sedan byter vi plats på ettan och trean: (2, 3, 1), och då har vi den permutation vi söker. Vi behövde alltså två platsbyten. Tecknet bestämmer vi enkelt – om antalet platsbyten är jämnt är tecknet positivt, och om antalet är udda är tecknet negativt. I vårt fall är permutationens tecken alltså positivt. Vi bestämmer tecknet för ett exempel till:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Vi gör så här:

$$(4,2,3,1)\to (4,2,1,3)\to (4,1,2,3)\to (1,4,2,3)\to (1,4,3,2)\to (1,3,4,2)$$

Nu är vi klara. Vi behövde fem platsbyten, så den här gången fick vi en udda permutation.

Permutationens tecken skriver vi med Levi-Civita-symbolen:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{om }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ är en jämn permutation av }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{om }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ är en udda permutation av }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{annars}\end{array}$$

Definition av determinant

Determinanten är ett tal. Den är bara definierad för kvadratiska matriser och skrivs antingen det A eller |A|. Talet definieras så här:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Vi beräknar determinanten av en kvadratisk matris av ordning 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Om vi sätter in n = 2 i definitionen får vi formeln

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

För i₁ och i₂ sätter vi in värdena 1 och 2 i tur och ordning. Då får vi fyra möjligheter: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

I fallen a) och d) får vi tecknet noll, eftersom ϵ_1,1 = 0 och ϵ_2,2 = 0. Termen i summan blir då noll, eftersom 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Kvar är fallen b) och c). I fallet b) i₁ = 1, i₂ = 2 har vi ϵ_1,2 = 1, eftersom (1, 2) är en jämn permutation av (1, 2). Vi får den första termen:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

I det sista fallet har vi i₁ = 2, i₂ = 1. Värdet på ϵ_2,1 är −1. Vi får den andra termen:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Nu adderar vi alla fyra fallen a) + b) + c) + d) och får

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Determinanten av matrisen A är alltså tio.

Vi kan se att vi till slut beräknade determinanten som differensen

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Den här formeln gäller för varje matris av ordning 2 × 2.

Sarrus regel

Med Sarrus regel beräknar vi determinanten av en matris av ordning tre. Den här determinanten är lite mer krävande. Vi beräknar den för matrisen

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Vi gör ungefär som för matrisen av ordning två, men för att få bättre överblick utökar vi matrisen med ytterligare två rader – under matrisen skriver vi av de två första raderna:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Den första och den fjärde raden är alltså lika, och det gäller också den andra och den femte. Nu adderar vi produkterna av elementen på huvuddiagonalerna och subtraherar summan av produkterna av elementen på sidodiagonalerna. Efter insättning får vi:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Egenskaper hos determinanten

• Om vi multiplicerar en rad eller kolumn i matrisen A med talet c ≠ 0 får vi en matris A', och för deras determinanter gäller c|A| = |A'|. Om du alltså multiplicerar en rad i matrisen med tre och beräknar determinanten, får du determinanten av den ursprungliga matrisen genom att dividera resultatet med tre.

• Om vi multiplicerar rad i med ett tal och adderar den till rad j, ändras inte determinanten. Detsamma gäller för kolumner.

• Om minst en rad i matrisen är en nollrad är determinanten noll.

• En regulär matris har alltid en determinant som är skild från noll, och en singulär matris har alltid determinanten noll.

• Determinanten av en matris på trappstegsform är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen.

• Om vi byter plats på två rader i matrisen byter determinanten tecken.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Av de här egenskaperna följer ett ganska enkelt sätt att beräkna en determinant. Vi behöver bara skriva om matrisen på trappstegsform och sedan multiplicera elementen på huvuddiagonalen. Vi sätter igång:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Med vanliga radoperationer skriver vi nu om matrisen på trappstegsform:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Nu multiplicerar vi elementen på diagonalen: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Beräkna determinanten av den här matrisen:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Först är det lämpligt att byta plats på den första och den andra raden, så att det minsta talet hamnar överst. Vi får inte glömma att byta tecken:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Sedan är det smidigt att multiplicera den andra raden med två, så att vi får lättare att addera. Då måste vi komma ihåg att multiplicera hela determinanten med en halv:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Nu fortsätter vi på vanligt sätt:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Kofaktorutveckling (Laplaceutveckling)

Laplace var en snäll herre som kom på ytterligare en algoritm för att beräkna determinanten av en matris. För att förstå den här metoden måste vi kunna bilda en speciell delmatris av den ursprungliga matrisen. Vi har en matris A och vill bilda en delmatris genom att ta bort en rad och en kolumn ur A. Den nya matrisen kallar vi $S_{ij}^A$, vilket säger att vi har tagit bort rad i och kolumn j ur matrisen A. Exempel:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Delmatrisen $S_{12}^A$ ser ut så här:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Därefter definierar vi begreppet minor, som helt enkelt är determinanten av den delmatris $S_{ij}^A$ vi nyss definierade. Minoren skriver vi på samma sätt, men med bokstaven M, alltså $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Vi kan också tala om minoren till elementet a_ij, och den är just $M_{ij}^A$.

Med hjälp av minorerna kan vi beräkna determinanten av den ursprungliga matrisen. I det första steget väljer vi en rad (eller en kolumn) i matrisen. Sedan beräknar vi minoren till varje element i den raden. Vi får lika många minorer som raden har element. Nu kan vi uttrycka determinanten av den ursprungliga matrisen A av typen n × n som en viktad summa av de här minorerna:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

där i är den rad vi har valt. Om vi i stället summerar över variabeln i, håller vi variabeln j – kolumnindexet – fast.

I praktiken har du en matris och vill veta determinanten. Du tar en kolumn i matrisen (eller en rad), bestämmer minoren till varje element i kolumnen, ger den tecknet (−1)^{i + j} och adderar allt, och varje determinant multiplicerar du med det element som matrisen är minor till. Eftersom vi multiplicerar minoren $M_{ij}^A$ med elementet a_ij är det bra om elementet är noll. Då försvinner nämligen en del av räkningen, och du sparar arbete. Vi beräknar determinanten av den här matrisen:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

I matrisen finns bara en nolla, så det är bäst att utveckla antingen längs den andra raden eller längs den tredje kolumnen. Vi väljer raden. I det första steget bildar vi delmatriserna:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Nu beräknar vi determinanterna, och då får vi minorerna. För en matris av ordning två är det enkelt.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Nu kan vi sätta in i formeln med i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Lägg märke till att eftersom elementet sist på den andra raden är noll, blev också den tredje termen noll. Ett exempel till:

Beräkna determinanten av den här matrisen med Laplaces metod:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

I den tredje kolumnen står bara multipler av tre. Det kan vi utnyttja för att nollställa kolumnen och förbereda för Laplaces metod. Vi adderar −2 gånger den första raden till den andra raden, −3 gånger den första raden till den tredje och −1 gånger den första raden till den fjärde.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Determinantens värde har inte ändrats, men det blir lättare att räkna. Vi utvecklar längs den tredje kolumnen, där det bara finns ett element som inte är noll, så i utvecklingen återstår bara minoren till det tredje elementet i den första raden:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

I den tredje kolumnen i den nya matrisen står en etta allra sist, och det kan vi enkelt utnyttja när vi nollställer kolumnen:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Nu utvecklar vi längs den tredje kolumnen. Också där finns bara ett element som inte är noll:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Det här kan vi nu beräkna på vanligt sätt: 3 · (32 − 65) = −99.