Determinanten

In de lineaire algebra is de determinant een afbeelding die aan elke vierkante matrix A een scalair toekent, die we noteren als |A|. Bij matrices met getallen is de determinant gelijk aan een reëel getal.

Permutatie van een n-tal

Om de determinant te kunnen definiëren, moeten we weten hoe je de permutatie van een n-tal berekent, of liever het teken van een permutatie. Dat leg ik het best uit met een voorbeeld. We nemen het geordende drietal (1, 2, 3), dat wordt afgebeeld op het drietal (2, 3, 1). Bij permutaties schrijven we dat meestal zo op:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Nu moeten we nagaan hoeveel verschillende verwisselingen van getallen we nodig hadden om van de eerste verzameling bij de tweede te komen. Daarbij mogen we alleen getallen verwisselen die naast elkaar staan. We hebben dus het drietal (1, 2, 3). Nu verwisselen we de één met de twee: (2, 1, 3). Nu verwisselen we de één met de drie: (2, 3, 1), en daarmee hebben we de gezochte permutatie. Voor het beeld hadden we twee verwisselingen nodig. Het teken van de permutatie vinden we eenvoudig — als het aantal verwisselingen even is, is het teken positief. Als het aantal oneven is, is het teken negatief. In ons geval is het teken van de permutatie dus positief. We proberen ook bij dit voorbeeld het teken van de permutatie te bepalen:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

We gaan als volgt te werk:

$$(4,2,3,1)\to (4,2,1,3)\to (4,1,2,3)\to (1,4,2,3)\to (1,4,3,2)\to (1,3,4,2)$$

De omvorming is klaar. We hadden in totaal vijf omwisselingen nodig, dus deze keer hebben we een oneven permutatie gekregen, met een negatief teken.

Het teken van een permutatie noteren we met het Levi-Civita-symbool:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{als }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ een even permutatie is van }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{als }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ een oneven permutatie is van }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{anders}\end{array}$$

Definitie van de determinant

De determinant is een getal; hij is alleen gedefinieerd voor vierkante matrices en wordt geschreven als det A of |A|. Dit getal is als volgt gedefinieerd:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

We proberen de determinant van een vierkante matrix van orde 2 × 2 te berekenen:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Als we in de definitie de concrete waarde n = 2 invullen, krijgen we deze formule:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Voor de waarden i₁ en i₂ vullen we achtereenvolgens de waarden 1 en 2 in. Zo krijgen we in totaal vier mogelijkheden: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Bij de mogelijkheden a) en d) krijgen we de nulpermutatie, want ϵ_1,1 = 0 en ϵ_2,2 = 0. In de som in de formule krijgen we in deze stap dus nul, want 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Blijven over de mogelijkheden b) en c). In het geval b) i₁ = 1, i₂ = 2 hebben we: ϵ_1,2 = 1, want (1, 2) is een even permutatie van (1, 2). We krijgen de eerste term:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

In het resterende geval hebben we i₁ = 2, i₂ = 1. De waarde van ϵ_2,1 is gelijk aan −1. We krijgen de tweede term:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Nu tellen we alle vier de gevallen a) + b) + c) + d) op en krijgen

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

De determinant van de matrix A is gelijk aan tien.

We kunnen zien dat we de determinant van de matrix uiteindelijk hebben berekend als het verschil

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Deze formule geldt in het algemeen voor elke matrix van orde 2 × 2.

Regel van Sarrus

Met de regel van Sarrus berekenen we de determinant van een matrix van de derde orde. Deze determinant is al wat ingewikkelder. Dus laten we gaan rekenen, bijvoorbeeld met deze matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Nu gaan we net zo te werk als bij een matrix van de tweede orde, maar voor de overzichtelijkheid breiden we deze matrix uit met nog twee rijen — onder deze matrix schrijven we de eerste twee rijen van de matrix over:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

De eerste en de vierde rij van de matrix zijn dus gelijk, net als de tweede en de vijfde. Nu gaan we zo te werk dat we de producten van de elementen op de hoofddiagonalen optellen en daar de som van de producten van de elementen op de nevendiagonalen van aftrekken. Na invullen krijgen we:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Eigenschappen van de determinant

• Als we een rij of kolom van de matrix A vermenigvuldigen met een getal c ≠ 0, krijgen we een matrix A' en voor hun determinanten geldt: c|A| = |A'|. Als je dus een rij van de matrix met drie vermenigvuldigt en de determinant berekent, krijg je de determinant van de oorspronkelijke matrix door het huidige resultaat door drie te delen.

• Als je de i-de rij met een getal vermenigvuldigt en bij de j-de rij optelt, verandert de determinant van de matrix niet. Weer hetzelfde voor kolommen.

• Als minstens één rij van de matrix nul is, is de determinant van de matrix nul.

• Een reguliere matrix heeft altijd een determinant ongelijk aan nul en een singuliere matrix heeft altijd een determinant gelijk aan nul.

• De determinant van een matrix in trapvorm is gelijk aan het product van de elementen op de hoofddiagonaal.

• Als je twee rijen van de matrix verwisselt, verandert het teken van de determinant.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Uit de voorgaande eigenschappen volgt een vrij eenvoudige werkwijze om de determinant te berekenen. Het is genoeg om de matrix te herleiden tot trapvorm en daarna de elementen op de hoofddiagonaal te vermenigvuldigen. Aan de slag:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Met standaard matrixoperaties herleiden we de matrix nu tot trapvorm:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Nu nemen we het product van de elementen op de diagonaal: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Bereken de determinant van deze matrix:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Eerst is het handig om de eerste en de tweede rij te verwisselen, zodat we het kleinste getal bovenaan krijgen. We mogen niet vergeten het teken te veranderen:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Verder is het best handig om de tweede rij met twee te vermenigvuldigen, zodat we mooi kunnen optellen. De hele determinant moeten we dan niet vergeten met een half te vermenigvuldigen:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

En nu gaan we klassiek verder:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Ontwikkeling van Laplace

Laplace was een aardige meneer die nog een algoritme bedacht heeft om determinanten van matrices te berekenen. Om dit kookboekrecept te begrijpen, moeten we een bijzondere deelmatrix van de oorspronkelijke matrix kunnen berekenen. We hebben een matrix A gegeven en moeten een deelmatrix maken die ontstaat door uit de matrix A één rij en één kolom weg te laten. Deze nieuwe matrix noemen we $S_{ij}^A$, wat ons zegt dat we uit de matrix A de i-de rij en de j-de kolom hebben weggelaten. Voorbeeld:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

De deelmatrix $S_{12}^A$ zou deze vorm moeten hebben:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Verder definiëren we het begrip minor, dat niets anders is dan de determinant van de door ons gedefinieerde deelmatrix $S_{ij}^A$. De minor noteren we op dezelfde manier, alleen met de letter M, dus $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. We kunnen ook de minor van het element a_ij beschouwen, en dat is precies $M_{ij}^A$.

Met deze minoren kunnen we de determinant van de oorspronkelijke matrix berekenen. In de eerste stap kiezen we een rij (of kolom) van de matrix. Dan berekenen we voor elk element van deze rij zijn minor. We krijgen zo evenveel minoren als de rij elementen heeft. Nu kunnen we de determinant van de oorspronkelijke matrix A van het type n × n uitdrukken als gewogen som van deze minoren:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

waarbij i de door ons gekozen rij is. Als we over de variabele i itereren, kiezen we de variabele j — de kolomindex — vast.

In de praktijk ziet het er zo uit: je hebt een matrix en wilt de determinant weten. Je neemt dus één kolom van de matrix (of rij) en bepaalt bij elk element in deze kolom de minor, kent het teken (−1)^{i + j} toe en telt alles op, waarbij je elke determinant vermenigvuldigt met het element waarvan de minor die matrix is. Doordat we de minor $M_{ij}^A$ nog met het element a_ij vermenigvuldigen, is het handig als dit element nul is. Dan vervalt namelijk verder rekenwerk en bespaar je jezelf moeite. We proberen de determinant van deze matrix te berekenen:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

In de matrix staat maar één nul, dus de ontwikkeling doen we idealiter ofwel naar de tweede rij ofwel naar de derde kolom. We kiezen bijvoorbeeld de rij. In de eerste stap halen we de deelmatrices eruit:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Nu berekenen we de determinanten, en zo krijgen we de minoren. Voor een matrix van de tweede orde is dat triviaal.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Nu kunnen we dit invullen in de formule, i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Merk op dat doordat het element aan het eind van de tweede rij nul is, ook de derde term gelijk aan nul was. Nog een voorbeeld:

Bereken de determinant van deze matrix met de methode van Laplace:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

In de derde kolom hebben we allemaal veelvouden van drie. Dat kunnen we gebruiken om deze kolom te nullen, om de grond voor te bereiden voor de latere toepassing van de methode van Laplace. Bij de tweede rij tellen we daarom het −2-voud van de eerste rij op, bij de derde het −3-voud van de eerste rij en bij de vierde het −1-voud.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Daarmee hebben we de waarde van de determinant niet veranderd, maar het rekent makkelijker. We ontwikkelen naar de derde kolom, waarin we maar één element ongelijk aan nul hebben, dus in de ontwikkeling blijft alleen de minor van het derde element van de eerste rij over:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

In de derde kolom van de nieuwe matrix zien we helemaal onderaan een één, en dat kunnen we gemakkelijk gebruiken om deze kolom te nullen:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Nu ontwikkelen we naar de derde kolom. Ook daar staat maar één element ongelijk aan nul:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

En dit kunnen we nu klassiek berekenen: 3 · (32 − 65) = −99.