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同次連立1次方程式

どの方程式も右辺が0である連立方程式を、同次連立1次方程式といいます。

同次連立1次方程式の定義

同次連立1次方程式の一般形は次のとおりです。

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0

この連立方程式は、n 個の未知数についての m 個の方程式からなり、どの方程式も右辺が0です。右辺が0でなければ、同次連立1次方程式ではありません。この連立方程式は行列で書き直せます。すべての係数、つまりすべての aij を、連立方程式の中と同じ位置に順に書き写せばよいのです。右辺の0の列は書き写す必要がないので、行列には入れません。つまり、次のようになります。

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)

この行列は、上で述べた n 個の未知数についての m 個の方程式を表しています。行列の各行が1つの方程式に対応します。連立方程式全体は、次のように書けます。

Ax=0

同次連立1次方程式の基本的な性質

連立1次方程式の記事と解の存在条件（ルーシェ・カペリの定理）から、同次連立1次方程式についていくつかの興味深い性質が得られます。

  • 同次連立1次方程式は、必ず解をもちます。
  • 同次連立1次方程式の解の集合には、必ず自明な解（すべて0の解）が含まれます。すべての変数に0を代入すると、m 個の等式 0 = 0 が得られます。
  • ルーシェ・カペリの定理から、連立方程式の一般解を書き表すには n − k 個のパラメータが必要です。ここで、n は変数の個数、k は拡大係数行列の階数で、この場合は k = rank(A) です。n = k ならパラメータは1つもいらず、連立方程式の解は自明な解だけです。ここで、n = k となるのは、行列 A に1次従属な列が1つもないときであり、そのときに限ります（正方行列なら、正則であることを意味します）。
  • 前の項目から、連立方程式が自明でない解をもつための必要十分条件は、行列 A に1次従属な列があることです。
  • 未知数の個数が方程式の個数より多ければ、連立方程式は自明でない解をもちます。未知数が方程式より多いとき、k = rank(A) は最大でも方程式の個数、つまり m です。そして k < n ならば n − k > 0 なので、n − k 個のパラメータを使って表されるほかの解が存在します。

解の集合の性質

  • 連立方程式 Ax = 0 の任意の2つの解の和も、この連立方程式の解です。x1 と x2 が連立方程式の解ならば、Ax1 = 0 と Ax2 = 0 が成り立ち、この性質から A(x1 + x2) = 0 も成り立ちます。

証明は簡単です。Ax1 = 0 と Ax2 = 0 が成り立つと仮定して、A(x1 + x2) = 0 を証明します。行列の和と積は分配法則を満たすので、次のように書けます。

A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

仮定から Ax1 = 0 かつ Ax2 = 0 なので、式 Ax1 + Ax2 は0+0と書き直せます。等式 0 = 0 が得られるので、この性質は成り立ちます。

具体例で見てみましょう。連立方程式の2つの解 x1 = (0, 5, 6) と x2 = (7, 3, 5) があれば、x3 = x1 + x2 = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11) も連立方程式の解です。

  • 任意の定数 c ∈ ℝ について、解の c 倍も解です。x1 が連立方程式 Ax = 0 の解ならば、c · x1 も連立方程式の解です。

この証明も簡単です。x1 が連立方程式 Ax = 0 の解で、c ∈ ℝ であると仮定します。このとき、次の等式を証明します。

A(cx1)=0

c は実数の定数なので、式全体の前にくくり出すことができます。

A(cx1)=c⋅Ax1

仮定から Ax1 = 0 なので、c · Ax1 は c · 0 = 0 になります。

  • 前の2つの性質から、連立方程式の解の線形結合は、どれもその連立方程式の解です。

ここで、次の疑問がわいてきます。ある解がほかの解の線形結合にすぎないのなら、ほかのすべての解を生み出せるような解の集合はあるのでしょうか。

そこで、連立方程式の解を行列に並べてみましょう。つまり、x1 = (x11, x12, …, x1n) が解で、x2 = (x21, x22, …, x2n) も解で、以下同様にほかの xi も解であるとき、これらの解を列とする行列 F をつくります。

F=(x11x21…x12x22…⋮⋮⋱x1nx2n…)

線形結合はいくらでもつくれるので、解も無数にあり、行列 F は無限に大きくなります。そこで知りたいのは、行列 F を有限個の列だけからなる行列に小さくして、それらの列からほかのすべての解を生み出せるかどうかです。

列はいくつ残るでしょうか。もとの連立方程式には n 個の変数があり、各列が1つの解を表すので、行列 F は n 行です。したがって、行列 F の階数は最大でも n です。行列 F の列が n 個より多ければ、少なくとも1つの列は必ず1次従属です。このことから、解全体は最大でも n × n 型の行列に書き表せて、ほかの解は線形結合で計算できます。それ以上の列は、どれも余分です。残る問題は、行列 F をさらに小さくできないかどうかです。

基本解

解の存在条件（ルーシェ・カペリの定理）から、連立方程式 Ax = 0 の一般解は n − k 個のパラメータで表せることがわかっています。ここで、n は変数の個数で、k = rank(A) です。パラメータを t1, t2, …, tn − k と書きます。これらのパラメータを使って、1次独立な2つの解をつくるにはどうすればよいでしょうか。

1つ目の解では、パラメータ t1 に1を、ほかのパラメータに0を代入します。つまり、t1 = 1、t2 = t3 = … = tn − k = 0 とします。2つ目の解でも同じようにしますが、1を代入するパラメータを2番目にずらします。つまり、t2 = 1、t1 = t3 = t4 = … = tn − k = 0 とします。これらの値を一般解に代入すると、1次独立な2つの異なる解が得られます。

例を見てみましょう。

(t1,t2,t3,2t1,4t3)

が、3つのパラメータをもつある同次連立1次方程式の一般解であるとします。パラメータを t1 = 1, t2 = t3 = 0 とすると特殊解 x1 = (1, 0, 0, 2, 0) が、t1 = t3 = 0, t2 = 1 とすると x2 = (0, 1, 0, 0, 0) が、t1 = t2 = 0, t3 = 1 とすると x3 = (0, 0, 1, 0, 4) が得られます。これらの特殊解を行列 F に並べます。

F=(100010001200004)

最初の3行を見るだけで、列が1次独立であることは明らかです。こうして、互いに1次独立な3つの異なる特殊解ができました。さらに、ほかの解はどれもこれらの解と1次従属になります。例えば、パラメータを t1 = 1, t2 = 2, t3 = 0 として解を計算すると、x4 = (1, 2, 0, 2, 0) が得られます。

この解は x1 + 2x2 = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0) と表せます。ほかの解についても同様です。こうして、3つの列からなり、連立方程式のすべての解を定める行列が得られました。

この手順は一般化できます。連立方程式 Ax = 0 の一般解が n − k 個のパラメータを使うならば、連立方程式の解は、1次独立な n − k 個の特殊解を使って表せます。このような解の集合を基本解（基本解系）といいます。

これらの解は、例えば、パラメータ t1, t2, …, tn − k の1つずつに順に1を代入し、残りのパラメータを0にすれば得られます。こうして、1次独立な n − k 個の解が得られます。

ただし、1次独立な n − k 個の特殊解をつくる方法はこれだけではありません。パラメータ ti には、1の代わりに0でない任意の数を代入しても、やはり1次独立な解が得られます。

もう一度、連立方程式 Ax = 0 の基本解の定義をまとめておきます。基本解とは、次の条件を満たす特殊解の集合 {x1, x2, …, xn − k} のことです。

  • x1, x2, …, xn − k は1次独立です。
  • 連立方程式 Ax = 0 の任意の解は、特殊解 x1, x2, …, xn − k の線形結合で表せます。

例題

次の同次連立1次方程式を解き、基本解を求めなさい。

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=02x1−18x2+20x3+3x4=08x1−20x2+28x3+4x4=0

係数行列 A は次のようになります。

A=(2−57143102−182038−20284)

この行列の行列式を計算すると、0になります。したがって、係数行列は正則ではなく、連立方程式は自明でない解をもちます。掃き出し法（ガウスの消去法）を使って、連立方程式の一般解を求めましょう。最後の第4行は、最初の3つの行の和に等しいので、第4行全体を0にします。次に、第1行を3倍し、第2行の各成分の符号を変えます。すると、第3行は最初の2つの行の和に等しくなるので、第3行も0にできます。

(2−57143102−182038−20284)∼(2−57143102−182030000)∼(6−15213−4−3−102−182030000)∼(6−15213−4−3−1000000000)∼(2−571431000000000)

これ以上変形しても意味はありません。行列の階数は2、つまり rank(A) = 2 であることがわかります。連立方程式の一般解を書き表すには2つのパラメータが必要で、それを s、t とよぶことにします。基本解を書き表すには、2つの特殊解が必要です。

これで、次の連立方程式が得られました。

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=0

2番目の方程式を x3 について解きます。

x3=−4x1−3x2

x1 と x2 をパラメータにして、s = x1、t = x2 とおきます。すると、x3 = −4s − 3t と書けます。残るは x4 です。これは1番目の方程式から求めます。

x4=−2s+5t−7(−4s−3t)x4=−2s+5t+28s+21tx4=26s+26tx4=26(s+t)

したがって、一般解は (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)) です。基本解を求めるには、1次独立な2つの特殊解（つまり2つの具体的な解）を見つけなければなりません。そのためには、パラメータにまず s = 1, t = 0 を、次に s = 0, t = 1 を代入します。1組目のパラメータからは、次の特殊解が得られます。

X1=(x1,x2,x3,x4)=(1,0,−4,26)

2組目のパラメータからは、次の特殊解が得られます。

X2=(x1,x2,x3,x4)=(0,1,−3,26).

これらの解は1次独立です。一般解には2つのパラメータを使ったので、基本解をつくるには2つの特殊解で十分です。したがって、基本解は次のとおりです。

{(1,0,−4,26),(0,1,−3,26)}.

もとの方程式に代入して、この2つが本当に解であることを確かめることもできます。X1 を代入すると、次の式が得られます。

2⋅1−5⋅0+7⋅(−4)+26=04⋅1+3⋅0−4=02⋅1−18⋅0+20⋅(−4)+3⋅26=08⋅1−20⋅0+28⋅(−4)+4⋅26=0

計算すると、次のようになります。

2−28+26=04−4=02−80+78=08−112+104=0

どの方程式も 0 = 0 になります。計算は正しかったようです。

章: 連立1次方程式, クラメルの公式, 同次連立1次方程式