分配法則

分配法則は、たし算とかけ算のような2つの二項演算がもつ性質です。かけ算とたし算の場合、分配法則は「かっこを展開してよい」ということを表しています。たとえば、次の式があるとします。

$$2\cdot (3+4)$$

このとき、かっこを展開して、次のような別の式にできます。

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

どちらの式も同じ結果、14になります。このように展開できたのは、実数の集合で、かけ算がたし算に対して分配法則を満たすからです。一般に、2つの演算 · と + があるとき、次の式が成り立つなら、集合 M で演算 · は演算 + に対して分配法則を満たすといいます。

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

ただし、この等式は a, b, c ∈ M となるすべての要素について成り立つものとします。分配法則を満たす演算のほかの例には、命題論理の演算、論理積 ∧ と論理和 ∨ があります。命題 A、B、C があるとします。「Aであり、かつ（BまたはC）である」と言うとき、次のように書きます。

$$A\wedge (B\vee C)$$

論理積は論理和に対して分配法則を満たすので、次の式も成り立ちます。

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

言葉で言えば、「（Aであり、かつBである）または（Aであり、かつCである）」です。分配法則を満たさない演算の例として、たし算とひき算を考えてみましょう。

$$10-(5+3)$$

正しい答えは、もちろん2です。かっこの中をたすと 10 − 8 になり、これは2だからです。この計算に分配法則を当てはめると、次の式になってしまいます。

$$(10-5)+(10-3)$$

かっこの中を計算すると 5 + 7 になり、これは12です。まちがった結果になったので、たし算とひき算については分配法則は成り立ちません。

ほかの例：行列のいくつかの演算は、分配法則を満たします。ベクトル空間のベクトルもそうです。体の演算は、分配法則を満たさなければなりません。