Homogene lineare Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem nennen wir homogen, wenn auf der rechten Seite jeder Gleichung null steht.

Definition eines homogenen Systems

Die allgemeine Form eines homogenen Gleichungssystems sieht so aus:

$$\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& \dots & +& a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1& +& a_{22}{x}_2& +& \dots & +& a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& =& ⋮\\ a_{m1}{x}_1& +& a_{m2}{x}_2& +& \dots & +& a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$$

Dieses System enthält m Gleichungen mit n Unbekannten, und die rechten Seiten aller Gleichungen sind null. Wären sie nicht null, handelte es sich nicht um ein homogenes Gleichungssystem. Das vorige Gleichungssystem können wir als Matrix schreiben: Wir übertragen nacheinander alle Koeffizienten, also alle Terme a_ij, und zwar an dieselben Positionen, an denen sie im System stehen. Die rechte Nullspalte schreiben wir nicht in die Matrix, da sie überflüssig ist. Also so:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

Diese Matrix stellt das oben beschriebene System aus m Gleichungen mit n Unbekannten dar. Jede Zeile dieser Matrix entspricht einer Gleichung. Das ganze System können wir dann so schreiben:

$$Ax=0$$

Grundlegende Eigenschaften des Systems

Aus dem Artikel über lineare Gleichungssysteme und aus dem Satz von Kronecker-Capelli erhalten wir einige interessante Aussagen über homogene Gleichungssysteme.

• Jedes homogene System hat eine Lösung.
• Die Menge aller Lösungen eines homogenen Systems enthält immer die triviale Lösung. Setzen wir für alle Variablen null ein, erhalten wir m Gleichungen 0 = 0.
• Aus dem Satz von Kronecker-Capelli wissen wir, dass man zur Angabe der allgemeinen Lösung eines Gleichungssystems n − k Parameter braucht, wobei n die Anzahl der Variablen und k der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, in unserem Fall k = Rang(A). Ist n = k, brauchen wir keinen Parameter, und das System hat nur die eine, triviale Lösung. Dabei gilt n = k genau dann, wenn die Matrix A keine linear abhängige Spalte enthält (bei einer quadratischen Matrix bedeutet das, dass sie regulär ist).
• Aus dem vorigen Punkt folgt auch: Das System hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn in der Matrix A eine linear abhängige Spalte vorkommt.
• Hat das System mehr Unbekannte als Gleichungen, hat es eine nichttriviale Lösung. Hat es mehr Unbekannte als Gleichungen, bedeutet das, dass k = Rang(A) höchstens gleich der Anzahl der Gleichungen sein kann, also m. Und wenn k < n gilt, dann ist n − k > 0, und es gibt weitere Lösungen, die wir mithilfe von n − k Parametern beschreiben.

Eigenschaften der Lösungsmenge

• Die Summe beliebiger Lösungen des Systems Ax = 0 ist ebenfalls eine Lösung des Systems. Sind x₁ und x₂ Lösungen des Systems, dann gilt Ax₁ = 0 und Ax₂ = 0, und nach der vorigen Aussage gilt auch A(x₁ + x₂) = 0.

Der Beweis ist einfach. Nehmen wir an, es gilt Ax₁ = 0 und Ax₂ = 0, und beweisen wir A(x₁ + x₂) = 0. Addition und Multiplikation von Matrizen erfüllen das Distributivgesetz, also können wir schreiben

$$A(x_1+x_2)=A{x}_1+A{x}_2.$$

Nach Voraussetzung gilt aber Ax₁ = 0 und Ax₂ = 0, also können wir den Term Ax₁ + Ax₂ in 0+0 umschreiben. Wir erhalten die Gleichung 0 = 0, der Satz gilt also.

Konkret: Haben wir zwei Lösungen des Systems x₁ = (0, 5, 6) und x₂ = (7, 3, 5), dann ist auch x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11) eine Lösung des Systems.

• Für jede Konstante c ∈ ℝ gilt: Das c-fache einer Lösung des Systems ist ebenfalls eine Lösung. Ist x₁ eine Lösung des Systems Ax = 0, dann ist auch c · x₁ eine Lösung des Systems.

Der Beweis ist wieder einfach. Nehmen wir an, x₁ ist eine Lösung des Systems Ax = 0 und c ∈ ℝ. Dann beweisen wir, dass die Gleichung

$$A(c{x}_1)=0$$

gilt. Da c eine Zahlenkonstante ist, können wir sie vor den ganzen Term ausklammern:

$$A(c{x}_1)=c\cdot A{x}_1$$

Nach Voraussetzung gilt Ax₁ = 0, also erhalten wir aus c · Ax₁ den Term c · 0 = 0.

• Aus den beiden vorigen Punkten folgt, dass jede Linearkombination von Lösungen des Systems ebenfalls eine Lösung dieses Systems ist.

Nun stellt sich die Frage: Wenn manche Lösungen nur Linearkombinationen anderer Lösungen sind, gibt es dann eine Menge von Lösungen, aus der wir alle anderen Lösungen erzeugen können?

Versuchen wir nun, die Lösungen des Systems in eine Matrix zu schreiben. Das heißt: Ist x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) eine Lösung und x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) eine Lösung und so weiter für x_i, bilden wir die Matrix F, die diese Lösungen als Spalten enthält:

$$F=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& x_{21}& \dots \\ x_{12}& x_{22}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \\ x_{1n}& x_{2n}& \dots \end{array}\right)$$

Da wir unendlich viele verschiedene Linearkombinationen und damit Lösungen bilden können, wird die Matrix F unendlich groß. Uns interessiert nun, ob sich die Matrix F so verkleinern lässt, dass sie nur endlich viele Spalten enthält, mit denen wir alle anderen Lösungen erzeugen können.

Wie viele Spalten bleiben übrig? Die Matrix F hat n Zeilen, weil das ursprüngliche System n Variablen hatte und jede Spalte eine Lösung darstellt. Der maximal mögliche Rang der Matrix F ist also genau n. Hat die Matrix F mehr als n Spalten, ist sicher mindestens eine Spalte linear abhängig. Daraus folgt, dass wir die gesamte Lösungsmenge in eine Matrix der maximalen Größe n × n schreiben und die übrigen Lösungen durch Linearkombinationen berechnen können. Jede weitere Spalte wäre sicher überflüssig. Es bleibt die Frage, ob wir die Größe der Matrix F noch weiter verringern können.

Fundamentalsystem

Aus dem Satz von Kronecker-Capelli wissen wir, dass sich die allgemeine Lösung des Systems Ax = 0 mit n − k Parametern ausdrücken lässt, wobei n die Anzahl der Variablen und k = Rang(A) ist. Die Parameter bezeichnen wir mit t₁, t₂, …, t_{n − k}. Wie könnten wir mit diesen Parametern zwei linear unabhängige Lösungen erzeugen?

Im ersten Fall setzen wir für den Parameter t₁ eins und für die übrigen null ein. Also t₁ = 1 und t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. Im zweiten Fall machen wir dasselbe, nur schieben wir die Eins zum zweiten Parameter: t₂ = 1 und t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Setzen wir diese Parameter in die allgemeine Lösung ein, erhalten wir zwei verschiedene Lösungen, die linear unabhängig sind.

Beispiel: Die Lösung

$$(t_1,t_2,t_3,2t_1,4t_3)$$

sei die allgemeine Lösung eines homogenen Gleichungssystems mit drei Parametern. Für die Wahl t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 erhalten wir die spezielle Lösung x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), für t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 erhalten wir x₂ = (0, 1, 0, 0, 0) und für t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 erhalten wir x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Die speziellen Lösungen schreiben wir in die Matrix F:

$$F=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Schon an den ersten drei Zeilen sieht man deutlich, dass die Spalten linear unabhängig sind. Wir haben also drei verschiedene spezielle Lösungen aufgestellt, die untereinander linear unabhängig sind. Gleichzeitig gilt, dass jede weitere Lösung linear abhängig ist. Wählen wir die Parameter t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 und berechnen die Lösung, erhalten wir x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Diese Lösung können wir aber auch als x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0) ausdrücken. Ähnlich geht es bei den übrigen Lösungen. So haben wir eine Matrix erhalten, die drei Spalten hat und alle Lösungen des Gleichungssystems festlegt.

Das Vorgehen können wir verallgemeinern. Haben wir ein System Ax = 0 und seine allgemeine Lösung, die n − k Parameter verwendet, dann können wir die Lösung des Systems mithilfe von n − k linear unabhängigen speziellen Lösungen des Systems ausdrücken. Eine solche Lösungsmenge nennen wir dann Fundamentalsystem.

Diese Lösungen erhalten wir zum Beispiel so, dass wir für jeden Parameter t₁, t₂, …, t_{n − k} nacheinander eins einsetzen und die übrigen Parameter null sind. So erhalten wir n − k Lösungen des Systems, die linear unabhängig sind.

Das ist allerdings nicht der einzige Weg, n − k linear unabhängige spezielle Lösungen des Systems zu bilden. Für den Parameter t_i können wir statt der Eins eine beliebige von null verschiedene Zahl einsetzen und erhalten trotzdem linear unabhängige Lösungen.

Noch einmal die Definition des Fundamentalsystems des Systems Ax = 0: Es handelt sich um eine Menge spezieller Lösungen {x₁, x₂, …, x_{n − k}} mit folgenden Eigenschaften:

• x₁, x₂, …, x_{n − k} sind linear unabhängig,
• jede Lösung des Systems Ax = 0 lässt sich als Linearkombination der speziellen Lösungen x₁, x₂, …, x_{n − k} ausdrücken.

Beispiel

Löse das homogene Gleichungssystem und bestimme ein Fundamentalsystem:

$$\begin{array}{ccccccccc}2x_1& -& 5x_2& +& 7x_3& +& x_4& =& 0\\ 4x_1& +& 3x_2& +& x_3& & & =& 0\\ 2x_1& -& 18x_2& +& 20x_3& +& 3x_4& =& 0\\ 8x_1& -& 20x_2& +& 28x_3& +& 4x_4& =& 0\end{array}$$

Die Koeffizientenmatrix A hat die Form

$$A=\left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 8& -20& 28& 4\end{array}\right)$$

Wir können die Determinante dieser Matrix berechnen. Sie ist gleich null. Die Koeffizientenmatrix ist also singulär, und das System hat eine nichttriviale Lösung. Die allgemeine Lösung des Systems finden wir mit dem gaußschen Eliminationsverfahren. Die letzte, vierte Zeile ist gleich der Summe der ersten drei Zeilen. Die ganze vierte Zeile wird damit zur Nullzeile. Danach multiplizieren wir die erste Zeile mit drei und die zweite mit minus eins, und die dritte Zeile wird gleich der Summe der ersten beiden:

$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 8& -20& 28& 4\end{array}\right)& \sim & \left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \sim & \left(\begin{array}{cccc}6& -15& 21& 3\\ -4& -3& -1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \sim & \left(\begin{array}{cccc}6& -15& 21& 3\\ -4& -3& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \sim & \left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

Weitere Umformungen sind nicht sinnvoll. Wir sehen, dass die Matrix den Rang zwei hat, Rang(A) = 2. Zur Angabe der allgemeinen Lösung des Systems brauchen wir zwei Parameter, wir nennen sie s und t. Für das Fundamentalsystem brauchen wir zwei spezielle Lösungen.

Nun sind wir bei diesem Gleichungssystem angekommen:

$$\begin{array}{ccccccccc}2x_1& -& 5x_2& +& 7x_3& +& x_4& =& 0\\ 4x_1& +& 3x_2& +& x_3& & & =& 0\end{array}$$

Aus der zweiten Gleichung lösen wir nach x₃ auf.

$$x_3=-4x_1-3x_2$$

Für x₁ und x₂ setzen wir Parameter ein, also s = x₁ und t = x₂. Dann können wir schreiben x₃ = −4s − 3t. Bleibt noch x₄ zu berechnen. Das ergibt sich aus der ersten Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}{x}_4& =& -2s+5t-7(-4s-3t)\\ x_4& =& -2s+5t+28s+21t\\ x_4& =& 26s+26t\\ x_4& =& 26(s+t)\end{array}$$

Die allgemeine Lösung ist also: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Um ein Fundamentalsystem zu erhalten, müssen wir zwei spezielle Lösungen (also zwei konkrete Lösungen) finden, die linear unabhängig sind. Die finden wir, indem wir für die Parameter zuerst s = 1, t = 0 und dann s = 0, t = 1 einsetzen. Für das erste Paar von Parametern erhalten wir die spezielle Lösung

$$X_1=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,0,-4,26)$$

und für das zweite Paar

$$X_2=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,1,-3,26).$$

Diese Lösungen sind linear unabhängig. Da wir in der allgemeinen Lösung zwei Parameter verwendet haben, genügen zwei spezielle Lösungen, um ein Fundamentalsystem zu bilden. Das Fundamentalsystem sieht also so aus:

$$\{(1,0,-4,26),(0,1,-3,26)\}.$$

Wir können auch überprüfen, dass diese beiden Lösungen gültig sind, indem wir sie in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Für X₁ erhalten wir diese Gleichungen:

$$\begin{array}{ccccccccc}2\cdot 1& -& 5\cdot 0& +& 7\cdot (-4)& +& 26& =& 0\\ 4\cdot 1& +& 3\cdot 0& -& 4& & & =& 0\\ 2\cdot 1& -& 18\cdot 0& +& 20\cdot (-4)& +& 3\cdot 26& =& 0\\ 8\cdot 1& -& 20\cdot 0& +& 28\cdot (-4)& +& 4\cdot 26& =& 0\end{array}$$

Nach dem Vereinfachen haben wir:

$$\begin{array}{rcl}2-28+26& =& 0\\ 4-4& =& 0\\ 2-80+78& =& 0\\ 8-112+104& =& 0\end{array}$$

Wir sehen, dass jede Gleichung 0 = 0 ergibt. Es sieht so aus, als hätten wir richtig gerechnet.