✖

Homojen Denklem Sistemleri

Her denklemin sağ tarafı sıfırsa denklem sistemine homojen diyoruz.

Homojen Sistemin Tanımı

Homojen denklem sisteminin genel biçimi şöyledir:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0

Bu sistem n bilinmeyenli m denklem içerir ve bütün denklemlerin sağ tarafları sıfıra eşittir. Sağ taraflar sıfır olmasaydı sistem homojen olmazdı. Yukarıdaki denklem sistemini matris biçiminde yazabiliriz: bütün katsayıları, yani bütün aij ifadelerini, sistemde bulundukları konumların aynısına sırayla matrise yazarız. Sağdaki sıfır sütununu matrise yazmayacağız, çünkü gereksiz. Şöyle:

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)

Bu matris, yukarıda anlatılan n bilinmeyenli m denklemlik sistemi temsil eder. Matrisin her satırı bir denkleme karşılık gelir. Bütün sistemi şöyle yazabiliriz:

Ax=0

Sistemin Temel Özellikleri

Doğrusal denklem sistemleri makalesinden ve Kronecker–Capelli teoreminden homojen denklem sistemleri hakkında birkaç ilginç sonuç çıkarabiliriz.

  • Her homojen sistemin çözümü vardır.
  • Homojen sistemin çözüm kümesi her zaman aşikâr çözümü, yani sıfır çözümü içerir. Bütün değişkenlerin yerine sıfır koyarsak m tane 0 = 0 denklemi elde ederiz.
  • Kronecker–Capelli teoreminden biliyoruz ki sistemin genel çözümünü yazmak için n − k parametre gerekir; burada n değişken sayısı, k ise sistemin genişletilmiş matrisinin rankıdır, bizim durumumuzda k = rank(A). n = k ise hiç parametreye ihtiyacımız yoktur ve sistemin tek çözümü vardır, o da aşikâr çözümdür. Üstelik n = k olması için gerek ve yeter koşul, A matrisinin doğrusal bağımlı bir sütun içermemesidir (kare matriste bu, matrisin tersinir olması demektir).
  • Önceki maddeden şu da çıkar: sistemin aşikâr olmayan bir çözümü olması için gerek ve yeter koşul, A matrisinde doğrusal bağımlı bir sütunun bulunmasıdır.
  • Sistemde denklem sayısından fazla bilinmeyen varsa sistemin aşikâr olmayan bir çözümü vardır. Bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazlaysa k = rank(A) en çok denklem sayısına, yani m değerine eşit olabilir. k < n ise n − k > 0 olur ve n − k parametreyle ifade edeceğimiz başka çözümler de bulunur.

Çözüm Kümesinin Özellikleri

  • Ax = 0 sisteminin herhangi iki çözümünün toplamı da sistemin çözümüdür. x1 ve x2 sistemin çözümüyse Ax1 = 0 ve Ax2 = 0 olur; önceki ifadeye göre A(x1 + x2) = 0 da sağlanır.

İspat basit. Ax1 = 0 ve Ax2 = 0 olduğunu varsayalım ve A(x1 + x2) = 0 olduğunu gösterelim. Matrislerde toplama ve çarpma dağılma özelliğini sağlar, bu yüzden şunu yazabiliriz:

A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

Ama varsayıma göre Ax1 = 0 ve Ax2 = 0 olduğundan Ax1 + Ax2 ifadesini 0 + 0 olarak yazabiliriz. 0 = 0 denklemini elde ederiz, yani teorem doğrudur.

Somut örnek: sistemin iki çözümü x1 = (0, 5, 6) ve x2 = (7, 3, 5) ise x3 = x1 + x2 = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11) de sistemin çözümüdür.

  • Her c ∈ ℝ sabiti için sistemin bir çözümünün c katı da çözümdür. x1, Ax = 0 sisteminin çözümüyse c · x1 de sistemin çözümüdür.

İspat yine basit. x1 vektörünün Ax = 0 sisteminin çözümü olduğunu ve c ∈ ℝ olduğunu varsayalım. O zaman şu eşitliği göstereceğiz:

A(cx1)=0

c bir sayısal sabit olduğundan onu ortak paranteze alarak bütün ifadenin önüne çıkarabiliriz:

A(cx1)=c⋅Ax1

Varsayıma göre Ax1 = 0 olduğundan c · Ax1 ifadesinden c · 0 = 0 elde ederiz.

  • Önceki iki maddenin sonucu olarak sistemin çözümlerinin herhangi bir doğrusal birleşimi de bu sistemin çözümüdür.

Şimdi şu soru akla geliyor: bazı çözümler yalnızca başka çözümlerin doğrusal birleşimiyse, bütün öbür çözümleri üretebileceğimiz bir çözüm kümesi var mıdır?

Sistemin çözümlerini bir matrise yazmayı deneyelim. Yani x1 = (x11, x12, …, x1n) bir çözümse, x2 = (x21, x22, …, x2n) de bir çözümse ve xi için böyle devam ediyorsa, bu çözümleri sütun olarak içeren bir F matrisi oluştururuz:

F=(x11x21…x12x22…⋮⋮⋱x1nx2n…)

Sonsuz sayıda farklı doğrusal birleşim, dolayısıyla çözüm oluşturabildiğimiz için F matrisi sonsuz büyüklükte olur. Bizi şimdi şu ilgilendiriyor: F matrisini küçültüp yalnızca sonlu sayıda sütun bırakabilir miyiz, öyle ki bütün öbür çözümleri bu sütunlarla üretelim?

Kaç sütun kalır? F matrisinin n satırı vardır, çünkü asıl sistemin n değişkeni vardı ve her sütun bir çözümü temsil eder. Dolayısıyla F matrisinin en büyük olası rankı tam olarak n olur. F matrisinin n sütundan fazlası varsa en az bir sütunun doğrusal bağımlı olduğu kesindir. Buradan şu çıkar: bütün çözüm kümesini en çok n × n boyutunda bir matrise yazabiliriz, geri kalan çözümleri de doğrusal birleşimlerle hesaplarız. Başka her sütun kesinlikle fazlalık olurdu. Geriye F matrisinin boyutunu daha da küçültüp küçültemeyeceğimiz sorusu kalıyor.

Temel Çözüm Sistemi

Kronecker–Capelli teoreminden biliyoruz ki Ax = 0 sisteminin genel çözümünü n − k parametreyle ifade edebiliriz; burada n değişken sayısı, k = rank(A). Parametreleri t1, t2, …, tn − k diye adlandıralım. Bu parametrelerle doğrusal bağımsız iki çözümü nasıl üretebiliriz?

Birinci durumda t1 parametresinin yerine bir, diğerlerinin yerine sıfır koyarız. Yani t1 = 1 ve t2 = t3 = … = tn − k = 0. İkinci durumda aynısını yaparız, yalnızca birin yerini ikinci parametreye kaydırırız: t2 = 1 ve t1 = t3 = t4 = … = tn − k = 0. Bu parametreleri genel çözümde yerine koyarsak doğrusal bağımsız iki farklı çözüm elde ederiz.

Örnek:

(t1,t2,t3,2t1,4t3)

üç parametreli bir homojen denklem sisteminin genel çözümü olsun. t1 = 1, t2 = t3 = 0 seçimiyle x1 = (1, 0, 0, 2, 0) özel çözümünü, t1 = t3 = 0, t2 = 1 ile x2 = (0, 1, 0, 0, 0) çözümünü, t1 = t2 = 0, t3 = 1 ile de x3 = (0, 0, 1, 0, 4) çözümünü elde ederiz. Özel çözümleri F matrisine yazalım:

F=(100010001200004)

İlk üç satırdan sütunların doğrusal bağımsız olduğu açıkça görülüyor. Böylece doğrusal bağımsız üç farklı özel çözüm oluşturduk. Aynı zamanda başka her çözüm bunlara doğrusal bağımlıdır. Parametreleri t1 = 1, t2 = 2, t3 = 0 seçip çözümü hesaplarsak x4 = (1, 2, 0, 2, 0) elde ederiz.

Ama bu çözümü x1 + 2x2 = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0) olarak ifade edebiliriz. Öbür çözümler için de benzer şekilde. Böylece üç sütunlu ve denklem sisteminin bütün çözümlerini belirleyen bir matris elde ettik.

Bu yöntemi genelleştirebiliriz. Ax = 0 sistemi ve n − k parametre kullanan genel çözümü verilmişse sistemin çözümünü, doğrusal bağımsız n − k özel çözümle ifade edebiliriz. Böyle bir çözüm kümesine temel çözüm sistemi diyoruz.

Bu çözümleri örneğin şöyle elde ederiz: t1, t2, …, tn − k parametrelerinin her birinin yerine sırayla bir koyarız, geri kalan parametreler sıfır olur. Böylece sistemin doğrusal bağımsız n − k çözümünü buluruz.

Doğrusal bağımsız n − k özel çözüm oluşturmanın tek yolu bu değildir. ti parametresinin yerine bir değil, sıfırdan farklı herhangi bir sayı da koyabiliriz, yine doğrusal bağımsız çözümler elde ederiz.

Ax = 0 sisteminin temel çözüm sisteminin tanımını bir kez daha verelim: bu, {x1, x2, …, xn − k} özel çözümler kümesidir ve şu iki koşulu sağlar:

  • x1, x2, …, xn − k doğrusal bağımsızdır,
  • Ax = 0 sisteminin herhangi bir çözümü x1, x2, …, xn − k özel çözümlerinin doğrusal birleşimi olarak yazılabilir.

Örnek

Homojen denklem sistemini çöz ve temel çözüm sistemini bul:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=02x1−18x2+20x3+3x4=08x1−20x2+28x3+4x4=0

Sistemin A matrisi şu biçimde olur:

A=(2−57143102−182038−20284)

Bu matrisin determinantını hesaplayabiliriz. Determinant sıfıra eşittir. Demek ki sistemin matrisi tekildir ve sistemin aşikâr olmayan bir çözümü vardır. Sistemin genel çözümünü Gauss eliminasyon yöntemiyle bulalım. Son, yani dördüncü satır ilk üç satırın toplamına eşit. Böylece dördüncü satırın tamamını sıfırlarız. Sonra birinci satırı üçle, ikinci satırı eksi bir ile çarparız; üçüncü satır da ilk iki satırın toplamına eşit olur:

(2−57143102−182038−20284)∼(2−57143102−182030000)∼(6−15213−4−3−102−182030000)∼(6−15213−4−3−1000000000)∼(2−571431000000000)

Başka işlem yapmanın anlamı yok. Matrisin rankının iki olduğunu görüyoruz, rank(A) = 2. Sistemin genel çözümünü yazmak için iki parametreye ihtiyacımız olacak, onlara s ve t diyelim. Temel çözüm sistemini yazmak için de iki özel çözüm gerekecek.

Şimdi şu denklem sistemine ulaştık:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=0

İkinci denklemden x3 değişkenini yalnız bırakalım.

x3=−4x1−3x2

x1 ve x2 yerine parametreleri koyalım, yani s = x1 ve t = x2 olsun. O zaman x3 = −4s − 3t yazabiliriz. Geriye x4 değerini hesaplamak kalıyor. Bunu birinci denklemden buluruz:

x4=−2s+5t−7(−4s−3t)x4=−2s+5t+28s+21tx4=26s+26tx4=26(s+t)

Genel çözüm şöyle olur: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Temel çözüm sistemini elde etmek için doğrusal bağımsız iki özel çözüm, yani iki somut çözüm bulmamız gerekir. Bunları parametrelerin yerine önce s = 1, t = 0, sonra s = 0, t = 1 koyarak buluruz. İlk parametre çifti için özel çözüm

X1=(x1,x2,x3,x4)=(1,0,−4,26)

ikinci çift için ise

X2=(x1,x2,x3,x4)=(0,1,−3,26).

Bu çözümler doğrusal bağımsızdır. Genel çözümde iki parametre kullandığımız için temel çözüm sistemini oluşturmaya iki özel çözüm yeter. Temel çözüm sistemi şöyle görünür:

{(1,0,−4,26),(0,1,−3,26)}.

Bu iki çözümün geçerli olduğunu asıl denklemlerde yerine koyarak da doğrulayabiliriz. X1 için şu denklemleri elde ederiz:

2⋅1−5⋅0+7⋅(−4)+26=04⋅1+3⋅0−4=02⋅1−18⋅0+20⋅(−4)+3⋅26=08⋅1−20⋅0+28⋅(−4)+4⋅26=0

Sadeleştirince şunu elde ederiz:

2−28+26=04−4=02−80+78=08−112+104=0

Her denklemin 0 = 0 çıktığını görüyoruz. Hesabı doğru yapmışız gibi görünüyor.

Bölümler: Doğrusal Denklem Sistemleri, Cramer Kuralı, Homojen Denklem Sistemleri