Sistemas lineares homogêneos

Dizemos que um sistema de equações é homogêneo se o lado direito de cada equação é zero.

Definição de sistema homogêneo

A forma geral de um sistema homogêneo de equações é esta:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Esse sistema contém m equações com n incógnitas, e os lados direitos de todas as equações são iguais a zero. Se não fossem iguais a zero, não se trataria de um sistema homogêneo de equações. Podemos reescrever o sistema anterior na forma de uma matriz copiando para a matriz, sucessivamente, todos os coeficientes, isto é, todas as expressões a_ij, nas mesmas posições em que aparecem no sistema. Não vamos copiar para a matriz a coluna nula da direita, porque é desnecessário. Assim:

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Essa matriz representa o sistema de m equações com n incógnitas descrito acima. Cada linha dessa matriz corresponde a uma equação. O sistema inteiro pode então ser escrito como

$A x = 0$

Propriedades básicas do sistema

Do artigo sobre sistemas de equações lineares e do teorema de Rouché-Capelli podemos obter várias afirmações interessantes sobre sistemas homogêneos de equações.

Todo sistema homogêneo tem solução.
O conjunto de todas as soluções de um sistema homogêneo sempre contém a solução trivial. Se substituirmos todas as incógnitas por zero, obtemos m equações 0 = 0.
Pelo teorema de Rouché-Capelli sabemos que, para escrever a solução geral de um sistema de equações, são necessários n − k parâmetros, em que n é o número de incógnitas e k é o posto da matriz ampliada do sistema, no nosso caso k = posto(A). Se n = k, não precisamos de nenhum parâmetro, e o sistema tem uma única solução, a trivial. Além disso, n = k se e somente se a matriz A não contém nenhuma coluna linearmente dependente (para uma matriz quadrada, isso significa que ela é inversível).
Do ponto anterior também decorre que o sistema tem solução não trivial se e somente se há na matriz A alguma coluna linearmente dependente.
Se o sistema tem mais incógnitas que equações, o sistema tem solução não trivial. Se há mais incógnitas que equações, isso significa que k = posto(A) pode ser, no máximo, igual ao número de equações, ou seja, m. E, se vale k < n, então n − k > 0 e, portanto, existirão outras soluções, que descreveremos com a ajuda de n − k parâmetros.

Propriedades do conjunto solução

A soma de quaisquer soluções do sistema Ax = 0 também é solução do sistema. Se x₁ e x₂ são soluções do sistema, então valem Ax₁ = 0 e Ax₂ = 0 e, pela afirmação anterior, vale também A(x₁ + x₂) = 0.

A demonstração é simples. Suponha que valham Ax₁ = 0 e Ax₂ = 0; vamos demonstrar A(x₁ + x₂) = 0. A adição e a multiplicação de matrizes satisfazem a propriedade distributiva, então podemos escrever

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Pela hipótese, porém, Ax₁ = 0 e Ax₂ = 0, então a expressão Ax₁ + Ax₂ pode ser reescrita como 0+0. Obtemos a equação 0 = 0, portanto o teorema vale.

Concretamente: se temos duas soluções do sistema, x₁ = (0, 5, 6) e x₂ = (7, 3, 5), então uma solução do sistema é também x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11).

Para cada constante c ∈ ℝ vale que o produto por c de uma solução do sistema também é solução. Se x₁ é solução do sistema Ax = 0, então também c · x₁ é solução do sistema.

A demonstração, de novo, é simples. Suponha que x₁ seja solução do sistema Ax = 0 e que c ∈ ℝ. Vamos demonstrar que vale a igualdade

$A (c x_{1}) = 0$

como c é uma constante numérica, podemos colocá-la em evidência diante da expressão inteira:

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Pela hipótese, vale Ax₁ = 0, então de c · Ax₁ obtemos c · 0 = 0.

Uma consequência dos dois pontos anteriores é que qualquer combinação linear de soluções do sistema também é solução desse sistema.

Agora surge a pergunta — se algumas soluções são apenas combinações lineares de outras soluções, existe algum conjunto de soluções por meio do qual conseguimos gerar todas as outras soluções?

Vamos tentar escrever as soluções do sistema em uma matriz. Isto é, se x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) é solução e x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) é solução e assim por diante para x_i, formamos a matriz F, que conterá essas soluções como suas colunas:

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Como podemos formar infinitas combinações lineares diferentes e, com elas, infinitas soluções, a matriz F será infinita. O que vai nos interessar agora é se é possível reduzir a matriz F de modo que ela contenha apenas uma quantidade finita de colunas, com as quais possamos gerar todas as outras soluções.

Quantas colunas sobrarão? A matriz F tem n linhas, porque o sistema original tinha n incógnitas e cada coluna representa uma solução. O posto máximo possível da matriz F é, então, exatamente n. Se a matriz F tem mais de n colunas, é certo que pelo menos uma coluna é linearmente dependente. Disso decorre que conseguimos escrever o conjunto inteiro de soluções em uma matriz de ordem máxima n × n e calcular as outras soluções por meio de combinações lineares. Qualquer outra coluna seria certamente supérflua. Resta saber se não conseguimos reduzir ainda mais o tamanho da matriz F.

Sistema fundamental de soluções

Pelo teorema de Rouché-Capelli sabemos que a solução geral do sistema Ax = 0 pode ser expressa com n − k parâmetros, em que n é o número de incógnitas e k = posto(A). Vamos chamar os parâmetros de t₁, t₂, …, t_{n − k}. Como poderíamos gerar, com esses parâmetros, duas soluções linearmente independentes?

No primeiro caso, substituímos o parâmetro t₁ por um e os outros por zero. Ou seja, t₁ = 1 e t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. No segundo caso, fazemos o mesmo, só que deslocamos o um para o segundo parâmetro: t₂ = 1 e t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Se substituirmos esses parâmetros na solução geral, obtemos duas soluções diferentes, que são linearmente independentes.

Exemplo: seja

$(t_{1}, t_{2}, t_{3}, 2 t_{1}, 4 t_{3})$

a solução geral de algum sistema homogêneo de equações com três parâmetros. Para a escolha de parâmetros t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 obtemos a solução particular x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), para t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 obtemos x₂ = (0, 1, 0, 0, 0) e para t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 obtemos x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Escrevemos as soluções particulares na matriz F:

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Já pelas três primeiras linhas se vê claramente que as colunas são linearmente independentes. Formamos, assim, três soluções particulares diferentes, que são linearmente independentes entre si. Ao mesmo tempo, vale que qualquer outra solução é linearmente dependente. Se escolhermos os parâmetros t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 e calcularmos a solução, obtemos x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Mas podemos expressar essa solução como x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). Do mesmo modo para as outras soluções. Obtivemos, assim, uma matriz que tem três colunas e define todas as soluções do sistema de equações.

Podemos generalizar o procedimento. Se temos um sistema Ax = 0 e a sua solução geral, que usa n − k parâmetros, então a solução do sistema pode ser expressa por meio de n − k soluções particulares linearmente independentes do sistema. Chamamos esse conjunto de soluções de sistema fundamental de soluções.

Obtemos essas soluções, por exemplo, substituindo cada parâmetro t₁, t₂, …, t_{n − k}, sucessivamente, por um, enquanto o resto dos parâmetros será zero. Assim obtemos n − k soluções do sistema que são linearmente independentes.

Este não é, aliás, o único procedimento para formar n − k soluções particulares linearmente independentes do sistema. Podemos substituir o parâmetro t_i, em vez de por um, por qualquer número não nulo e, mesmo assim, obtemos soluções linearmente independentes.

Mais uma vez, a definição de sistema fundamental de soluções do sistema Ax = 0: trata-se de um conjunto de soluções particulares {x₁, x₂, …, x_{n − k}} tal que

x₁, x₂, …, x_{n − k} são linearmente independentes,
qualquer solução do sistema Ax = 0 pode ser expressa como combinação linear das soluções particulares x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo de equações e determine o sistema fundamental de soluções:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

A matriz dos coeficientes A terá a forma

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

Podemos calcular o determinante dessa matriz. Ele é igual a zero. A matriz dos coeficientes é, portanto, singular, e o sistema tem solução não trivial. Vamos encontrar a solução geral do sistema pela eliminação de Gauss. A última linha, a quarta, é igual à soma das três primeiras linhas. Assim, zeramos a quarta linha inteira. Depois multiplicamos a primeira linha por três, a segunda por menos um, e a terceira linha será igual à soma das duas primeiras linhas:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Outras operações já não fazem sentido. Vemos que a matriz tem posto dois, posto(A) = 2. Para escrever a solução geral do sistema, precisaremos de dois parâmetros, que chamaremos de s e t. Para escrever a solução fundamental, precisaremos de duas soluções particulares.

Agora chegamos a este sistema de equações:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

Da segunda equação isolamos x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

No lugar de x₁ e x₂ colocamos parâmetros, de modo que s = x₁ e t = x₂. Então podemos escrever que x₃ = −4s − 3t. Falta calcular x₄. Descobrimos isso pela primeira equação:

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

A solução geral é, portanto, igual a: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Para obter o sistema fundamental de soluções, precisamos encontrar duas soluções particulares (isto é, duas soluções concretas) que sejam linearmente independentes. Encontramos essas soluções substituindo os parâmetros primeiro por s = 1, t = 0 e depois por s = 0, t = 1. Para o primeiro par de parâmetros temos a solução particular

$X_{1} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (1, 0, - 4, 26)$

e para o segundo par

$X_{2} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, 1, - 3, 26) .$

Essas soluções são linearmente independentes. Como usamos dois parâmetros na solução geral, duas soluções particulares bastam para formar o sistema fundamental de soluções. O sistema fundamental de soluções fica, portanto, assim

${(1, 0, - 4, 26), (0, 1, - 3, 26)} .$

Também podemos verificar que essas duas soluções são válidas substituindo-as nas equações originais. Para X₁ obtemos estas equações:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

Depois das simplificações, temos:

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

Vemos que cada equação resulta em 0 = 0. Parece que calculamos corretamente.

Capítulos: Sistemas de equações lineares, Regra de Cramer, Sistemas lineares homogêneos

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