Хомогенни системи линейни уравнения

Система уравнения наричаме хомогенна, ако от дясната страна на всяко уравнение стои нула.

Определение на хомогенна система

Общият вид на хомогенна система уравнения изглежда така:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Тази система съдържа m уравнения с n неизвестни и дясните страни на всички уравнения са равни на нула. Ако не бяха равни на нула, не би ставало дума за хомогенна система уравнения. Предишната система уравнения можем да препишем в матрица, като последователно препишем в матрицата всички коефициенти, тоест всички изрази a_ij, и то на същите позиции, на които се намират в системата. Десния нулев стълб няма да преписваме в матрицата, защото е излишен. Ето така:

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Тази матрица представлява описаната по-горе система от m уравнения с n неизвестни. Всеки ред на тази матрица съответства на едно уравнение. Цялата система можем да запишем като

$A x = 0$

Основни свойства на системата

От статията за системите линейни уравнения и от теоремата на Фробениус можем да получим няколко интересни твърдения за хомогенните системи уравнения.

Всяка хомогенна система има решение.
Множеството на всички решения на хомогенната система винаги съдържа нулевото решение. Ако вместо всички променливи заместим нула, получаваме m уравнения 0 = 0.
От теоремата на Фробениус знаем, че за записването на общото решение на система уравнения са необходими n − k параметъра, където n е броят на променливите, а k е рангът на разширената матрица на системата, в нашия случай k = rank(A). Ако n = k, не ни трябва никакъв параметър и системата има единствено, нулево, решение. При това n = k тогава и само тогава, когато матрицата A не съдържа никакъв линейно зависим стълб (при квадратна матрица това означава, че е неособена).
От предишната точка следва още, че системата има ненулево решение тогава и само тогава, когато в матрицата A има някой линейно зависим стълб.
Ако системата има повече неизвестни, отколкото уравнения, системата има ненулево решение. Ако има повече неизвестни, отколкото уравнения, това означава, че k = rank(A) може да е най-много равно на броя на уравненията, тоест m. А ако k < n, то n − k > 0 и следователно ще съществуват и други решения, които ще опишем с помощта на n − k параметъра.

Свойства на множеството от решения

Сборът на произволни решения на системата Ax = 0 също е решение на системата. Ако x₁ и x₂ са решения на системата, то Ax₁ = 0 и Ax₂ = 0 и според предишното твърдение е изпълнено и A(x₁ + x₂) = 0.

Доказателството е просто. Допускаме, че Ax₁ = 0 и Ax₂ = 0, и ще докажем A(x₁ + x₂) = 0. Събирането и умножението на матрици удовлетворяват дистрибутивния закон, така че можем да запишем

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Според допускането обаче Ax₁ = 0 и Ax₂ = 0, така че израза Ax₁ + Ax₂ можем да препишем като 0+0. Получаваме равенството 0 = 0, така че теоремата е вярна.

Конкретно: ако имаме две решения на системата: x₁ = (0; 5; 6) и x₂ = (7; 3; 5), то решение на системата е и x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7; 5 + 3; 6 + 5) = (7; 8; 11).

За всяка константа c ∈ ℝ е изпълнено, че c-кратното на решение на системата също е решение. Ако x₁ е решение на системата Ax = 0, то и c · x₁ е решение на системата.

Доказателството отново е просто. Допускаме, че x₁ е решение на системата Ax = 0 и c ∈ ℝ. Тогава ще докажем, че е изпълнено равенството

$A (c x_{1}) = 0$

тъй като c е числова константа, можем да я изнесем пред целия израз:

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Според допускането Ax₁ = 0, така че от c · Ax₁ получаваме c · 0 = 0.

Следствие от предишните две точки е, че всяка линейна комбинация на решения на системата също е решение на тази система.

Сега се поражда въпросът – ако някои решения са само линейна комбинация на други решения, съществува ли някакво множество от решения, с помощта на което можем да получим всички останали решения?

Нека сега запишем решенията на системата в матрица. Тоест ако x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) е решение и x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) е решение и така нататък за x_i, образуваме матрицата F, която ще съдържа тези решения като свои стълбове:

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Тъй като можем да образуваме безброй много различни линейни комбинации и оттам решения, матрицата F ще е безкрайна. Сега ни интересува дали матрицата F може да се намали така, че да съдържа само краен брой стълбове, с чиято помощ да можем да получим всички останали решения.

Колко стълба ще останат? Матрицата F има n реда, защото първоначалната система е имала n променливи, а всеки стълб представлява едно решение. Максимално възможният ранг на матрицата F е n. Ако матрицата F има повече от n стълба, със сигурност поне един стълб е линейно зависим. От това следва, че цялото множество от решения можем да запишем в матрица с максимален размер n × n и останалите решения да пресметнем с линейни комбинации. Който и да е друг стълб със сигурност би бил излишен. Остава въпросът дали не можем да намалим още размера на матрицата F.

Фундаментална система от решения

От теоремата на Фробениус знаем, че общото решение на системата Ax = 0 можем да изразим с n − k параметъра, където n е броят на променливите, а k = rank(A). Параметрите ще означим с t₁, t₂, …, t_{n − k}. Как с тези параметри бихме могли да получим две линейно независими решения?

В първия случай вместо параметъра t₁ заместваме едно, а вместо останалите нула. Тоест t₁ = 1 и t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. Във втория случай правим същото, само че преместваме единицата на втория параметър: t₂ = 1 и t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Ако заместим тези параметри в общото решение, получаваме две различни решения, които са линейно независими.

Пример: нека

$(t_{1}; t_{2}; t_{3}; 2 t_{1}; 4 t_{3})$

е общото решение на някоя хомогенна система уравнения с три параметъра. При избор на параметрите t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 получаваме частното решение x₁ = (1; 0; 0; 2; 0), при t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 получаваме x₂ = (0; 1; 0; 0; 0), а при t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 получаваме x₃ = (0; 0; 1; 0; 4). Записваме частните решения в матрицата F:

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Още от първите три реда ясно се вижда, че стълбовете са линейно независими. Така съставихме три различни частни решения, които са взаимно линейно независими. Освен това всяко друго решение е линейно зависимо. Ако изберем параметрите t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 и пресметнем решението, получаваме x₄ = (1; 2; 0; 2; 0).

Това решение обаче можем да изразим като x₁ + 2x₂ = (1; 0; 0; 2; 0) + 2(0; 1; 0; 0; 0) = (1; 2; 0; 2; 0). Подобно е и за другите решения. Така получихме матрица, която има три стълба и определя всички решения на системата уравнения.

Процедурата можем да обобщим. Ако имаме система Ax = 0 и нейното общо решение, което използва n − k параметъра, решението на системата можем да изразим с n − k частни линейно независими решения на системата. Такова множество от решения наричаме фундаментална система от решения.

Тези решения получаваме например като вместо всеки параметър t₁, t₂, …, t_{n − k} последователно заместваме единица, а останалите параметри са нула. Така получаваме n − k решения на системата, които са линейно независими.

Това обаче не е единственият начин да образуваме n − k линейно независими частни решения на системата. Можем вместо единица на параметъра t_i да заместим което и да е ненулево число и пак ще получим линейно независими решения.

Още веднъж определение на фундаментална система от решения на системата Ax = 0: това е множество от частни решения {x₁, x₂, …, x_{n − k}}, такова че

x₁, x₂, …, x_{n − k} са линейно независими,
всяко решение на системата Ax = 0 може да се изрази като линейна комбинация на частните решения x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Пример

Реши хомогенната система уравнения и определи фундаменталната система от решения:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

Матрицата на системата A ще има вида

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

Можем да пресметнем детерминантата на тази матрица. Тя е равна на нула. Матрицата на системата е особена и системата има ненулево решение. Намираме общото решение на системата с метода на Гаус. Последният, четвърти ред е равен на сбора на първите три реда. Така анулираме целия четвърти ред. След това умножаваме първия ред по три, втория по минус едно, а третият ред ще е равен на сбора на първите два реда:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

По-нататъшните преобразувания нямат смисъл. Виждаме, че матрицата има ранг две, rank(A) = 2. За записването на общото решение на системата ще ни трябват два параметъра, ще ги наречем s и t. За записването на фундаменталното решение ще ни трябват две частни решения.

Стигнахме до тази система уравнения:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

От второто уравнение изразяваме x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

Вместо x₁ и x₂ заместваме параметри, така че s = x₁ и t = x₂. Тогава можем да запишем, че x₃ = −4s − 3t. Остава да пресметнем x₄. Намираме го от първото уравнение:

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

Общото решение е равно на: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). За да получим фундаментална система от решения, трябва да намерим две частни решения (тоест две конкретни решения), които са линейно независими. Намираме ги, като вместо параметрите първо заместим s = 1, t = 0 и после s = 0, t = 1. За първата двойка параметри имаме частното решение

$X_{1} = (x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (1; 0; - 4; 26)$

а за втората двойка

$X_{2} = (x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (0; 1; - 3; 26) .$

Тези решения са линейно независими. Тъй като в общото решение използвахме два параметъра, за образуването на фундаментална система ни стигат две частни решения. Фундаменталната система от решения изглежда така

${(1; 0; - 4; 26), (0; 1; - 3; 26)} .$

Можем да проверим още, че тези две решения са верни, като заместим в първоначалните уравнения. За X₁ получаваме тези уравнения:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

След преобразуване имаме:

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

Виждаме, че всяко уравнение дава 0 = 0. Изглежда, че сме пресметнали правилно.

Глави: Системи линейни уравнения, Правило на Крамер, Хомогенни системи линейни уравнения

« Предишна: Правило на Крамер

Следваща: Векторни пространства »