Homogena linjära ekvationssystem

Ett ekvationssystem kallas homogent om högerledet är noll i varje ekvation.

Definition av ett homogent system

Den allmänna formen för ett homogent ekvationssystem ser ut så här:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Systemet innehåller m ekvationer med n obekanta, och högerleden i alla ekvationerna är lika med noll. Om de inte vore noll skulle systemet inte vara homogent. Vi kan skriva systemet som en matris genom att skriva av alla koefficienter, alltså alla uttryck a_ij, på samma platser som de har i systemet. Nollkolumnen till höger skriver vi inte med i matrisen, eftersom den är onödig. Så här:

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Matrisen representerar systemet med m ekvationer och n obekanta som beskrevs ovan. Varje rad i matrisen motsvarar en ekvation. Hela systemet kan vi sedan skriva som

$A x = 0$

Grundläggande egenskaper hos systemet

Från artikeln om linjära ekvationssystem och från Rouché–Capellis sats kan vi få fram flera intressanta påståenden om homogena ekvationssystem.

Varje homogent system har en lösning.
Lösningsmängden till ett homogent system innehåller alltid den triviala lösningen. Om vi sätter in noll för alla variabler får vi m ekvationer 0 = 0.
Av Rouché–Capellis sats vet vi att det behövs n − k parametrar för att skriva den allmänna lösningen till ett system, där n är antalet variabler och k är rangen hos systemets totalmatris, som i vårt fall är k = rang(A). Om n = k behövs ingen parameter, och systemet har bara en enda lösning, den triviala lösningen. Dessutom gäller n = k om och endast om matrisen A inte har någon linjärt beroende kolumn (för en kvadratisk matris betyder det att den är regulär).
Av föregående punkt följer också att systemet har en icke-trivial lösning om och endast om matrisen A har någon linjärt beroende kolumn.
Om systemet har fler obekanta än ekvationer har det en icke-trivial lösning. Om det finns fler obekanta än ekvationer betyder det att k = rang(A) som mest kan vara lika med antalet ekvationer, alltså m. Och om k < n gäller n − k > 0, så det finns fler lösningar, som vi beskriver med hjälp av n − k parametrar.

Egenskaper hos lösningsmängden

Summan av två godtyckliga lösningar till systemet Ax = 0 är också en lösning till systemet. Om x₁ och x₂ är lösningar till systemet gäller Ax₁ = 0 och Ax₂ = 0, och enligt påståendet ovan gäller också A(x₁ + x₂) = 0.

Beviset är enkelt. Anta att Ax₁ = 0 och Ax₂ = 0, och vi ska bevisa att A(x₁ + x₂) = 0. Addition och multiplikation av matriser uppfyller den distributiva lagen, så vi kan skriva

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Enligt antagandet är Ax₁ = 0 och Ax₂ = 0, så uttrycket Ax₁ + Ax₂ kan vi skriva om till 0+0. Vi får ekvationen 0 = 0, så satsen gäller.

Ett konkret exempel: om vi har två lösningar till ett system, x₁ = (0, 5, 6) och x₂ = (7, 3, 5), så är också x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11) en lösning till systemet.

För varje konstant c ∈ ℝ gäller att c gånger en lösning till systemet också är en lösning. Om x₁ är en lösning till systemet Ax = 0, så är också c · x₁ en lösning till systemet.

Beviset är återigen enkelt. Anta att x₁ är en lösning till systemet Ax = 0 och att c ∈ ℝ. Då ska vi bevisa likheten

$A (c x_{1}) = 0$

Eftersom c är en numerisk konstant kan vi bryta ut den framför hela uttrycket:

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Enligt antagandet gäller Ax₁ = 0, så av c · Ax₁ får vi c · 0 = 0.

Av de två föregående punkterna följer att varje linjärkombination av lösningar till ett system också är en lösning till systemet.

Nu uppstår en fråga — om vissa lösningar bara är linjärkombinationer av andra lösningar, finns det då någon mängd av lösningar som vi kan generera alla andra lösningar med?

Låt oss skriva lösningarna till systemet i en matris. Om x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) är en lösning, x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) är en lösning och så vidare för x_i, bildar vi en matris F som har de här lösningarna som kolumner:

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Eftersom vi kan bilda oändligt många olika linjärkombinationer, och därmed lösningar, blir matrisen F oändlig. Det vi vill veta nu är om vi kan göra matrisen F mindre, så att den bara har ett ändligt antal kolumner som vi kan generera alla andra lösningar med.

Hur många kolumner blir kvar? Matrisen F har n rader, eftersom det ursprungliga systemet hade n variabler, och varje kolumn representerar en lösning. Den största möjliga rangen hos F är alltså n. Om F har fler än n kolumner är det säkert att minst en kolumn är linjärt beroende. Av det följer att vi kan skriva hela lösningsmängden i en matris med högst storleken n × n och räkna fram de övriga lösningarna med linjärkombinationer. Varje ytterligare kolumn vore säkert överflödig. Frågan som återstår är om vi kan göra matrisen F ännu mindre.

Fundamentalsystem av lösningar

Av Rouché–Capellis sats vet vi att den allmänna lösningen till systemet Ax = 0 kan uttryckas med n − k parametrar, där n är antalet variabler och k = rang(A). Vi kallar parametrarna t₁, t₂, …, t_{n − k}. Hur kan vi med de här parametrarna generera två linjärt oberoende lösningar?

I det första fallet sätter vi parametern t₁ lika med ett och de övriga lika med noll. Alltså t₁ = 1 och t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. I det andra fallet gör vi samma sak, men flyttar ettan till den andra parametern: t₂ = 1 och t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Om vi sätter in de här parametrarna i den allmänna lösningen får vi två olika lösningar som är linjärt oberoende.

Exempel: låt

$(t_{1}, t_{2}, t_{3}, 2 t_{1}, 4 t_{3})$

vara den allmänna lösningen till något homogent ekvationssystem med tre parametrar. För valet t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 får vi partikulärlösningen x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), för t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 får vi x₂ = (0, 1, 0, 0, 0) och för t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 får vi x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Vi skriver partikulärlösningarna i matrisen F:

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Redan av de tre första raderna ser vi tydligt att kolumnerna är linjärt oberoende. Vi har alltså fått tre olika partikulärlösningar som är linjärt oberoende av varandra. Samtidigt gäller att varje ytterligare lösning är linjärt beroende av dem. Om vi väljer parametrarna t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 och beräknar lösningen får vi x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Den här lösningen kan vi dock uttrycka som x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). På samma sätt går det för de övriga lösningarna. Vi har alltså fått en matris med tre kolumner som bestämmer alla lösningar till ekvationssystemet.

Vi kan generalisera metoden. Om vi har ett system Ax = 0 och dess allmänna lösning, som använder n − k parametrar, kan vi uttrycka lösningen till systemet med n − k linjärt oberoende partikulärlösningar till systemet. En sådan mängd av lösningar kallar vi ett fundamentalsystem av lösningar.

Vi får de här lösningarna till exempel genom att för varje parameter t₁, t₂, …, t_{n − k} i tur och ordning sätta in ett och låta de övriga parametrarna vara noll. Då får vi n − k lösningar till systemet som är linjärt oberoende.

Det här är inte det enda sättet att bilda n − k linjärt oberoende partikulärlösningar till systemet. Vi kan sätta in vilket tal som helst utom noll för parametern t_i i stället för ett, och ändå få linjärt oberoende lösningar.

Här är en gång till definitionen av ett fundamentalsystem av lösningar till systemet Ax = 0: det är en mängd partikulärlösningar {x₁, x₂, …, x_{n − k}} sådan att

x₁, x₂, …, x_{n − k} är linjärt oberoende,
varje lösning till systemet Ax = 0 kan uttryckas som en linjärkombination av partikulärlösningarna x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Exempel

Lös det homogena ekvationssystemet och bestäm ett fundamentalsystem av lösningar:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

Systemets matris A ser ut så här

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

Vi kan beräkna den här matrisens determinant. Den är lika med noll. Systemets matris är alltså singulär, och systemet har en icke-trivial lösning. Vi hittar systemets allmänna lösning med Gausselimination. Den sista, fjärde, raden är lika med summan av de tre första raderna. Vi nollställer därför hela den fjärde raden. Sedan multiplicerar vi den första raden med tre och den andra med minus ett, och den tredje raden blir lika med summan av de två första raderna:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Det är ingen idé att fortsätta förenkla. Vi ser att matrisen har rang två, rang(A) = 2. För att skriva den allmänna lösningen behöver vi två parametrar, som vi kallar s och t. För att skriva fundamentalsystemet behöver vi två partikulärlösningar.

Nu har vi kommit fram till det här ekvationssystemet:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

Ur den andra ekvationen löser vi ut x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

För x₁ och x₂ sätter vi in parametrarna, så att s = x₁ och t = x₂. Då kan vi skriva x₃ = −4s − 3t. Återstår att beräkna x₄. Det får vi ur den första ekvationen:

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

Den allmänna lösningen är alltså: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). För att få ett fundamentalsystem av lösningar måste vi hitta två partikulärlösningar (alltså två konkreta lösningar) som är linjärt oberoende. Vi hittar dem genom att först sätta in s = 1, t = 0 och sedan s = 0, t = 1. För det första paret av parametrar får vi partikulärlösningen

$X_{1} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (1, 0, - 4, 26)$

och för det andra paret

$X_{2} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, 1, - 3, 26) .$

De här lösningarna är linjärt oberoende. Eftersom vi använde två parametrar i den allmänna lösningen räcker det med två partikulärlösningar för att bilda fundamentalsystemet. Fundamentalsystemet av lösningar ser alltså ut så här

${(1, 0, - 4, 26), (0, 1, - 3, 26)} .$

Vi kan också kontrollera att de två lösningarna är giltiga genom att sätta in dem i de ursprungliga ekvationerna. För X₁ får vi de här ekvationerna:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

Efter förenkling har vi:

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

Vi ser att varje ekvation ger 0 = 0. Det verkar som att vi har räknat rätt.

Kapitel: Linjära ekvationssystem, Cramers regel, Homogena linjära ekvationssystem

« Föregående: Cramers regel

Nästa: Vektorrum »