クラメルの公式

クラメルの公式は、係数行列が正則な連立1次方程式を解くときに使います。

クラメルの公式が使える連立方程式

連立1次方程式 Ax = b を考えます。A が正則な正方行列のとき、この連立方程式にはクラメルの公式が使えます。このとき、この行列の行列式は0ではなく、行列には1次従属な行も列もありません。

解の存在条件（ルーシェ・カペリの定理）から、クラメルの公式が使える連立方程式は、どれもただ1組の解をもちます。この定理によれば、rank(A) = rank(A|b) = k ならば連立方程式は解をもちます。クラメルの公式が使える連立方程式の係数行列 A は正方行列で、階数がとりうる最大の値になっています。そのため、この行列にどんな列を付け加えても、その列は必ず行列 A の列の線形結合になります。したがって、行列 b の列を付け加えても、行列 A の階数は大きくなりません。

また、同じ定理から、解を書き表すには n − k 個のパラメータが必要です。ここで、n は変数の個数、k は行列の階数 rank(A|b) です。クラメルの公式が使える連立方程式では n = k が成り立つので、解を書き表すのに必要なパラメータは0個です。そのため、クラメルの公式が使える連立方程式は、どれもただ1組の解をもちます。

さらに、行列 A の第 i 列を列 b で置きかえた行列を A_i と書きます。正確には、行列 A_i を次のように定義します。

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

ここで、a_ij は行列 A の成分、b_i は行列 b の成分です。

クラメルの公式

Ax = b をクラメルの公式が使える連立1次方程式とします。クラメルの公式によれば、この連立方程式はただ1組の解 (x₁, x₂, …, x_n) をもち、その解は次の式で与えられます。

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

さっそく、小さな例でこの公式を使ってみましょう。次の連立方程式をクラメルの公式で解きます。

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

係数行列は次のようになります。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

この行列の行列式は次のとおりです。

$$|A|=3-8=-5.$$

次に、行列 A₁ と A₂ をつくります。2つの行列は次のようになります。

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

これらの行列の行列式を計算します。

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

では、x₁ と x₂ を順に求めましょう。クラメルの公式から、x₁ について次の等式が成り立ちます。

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

値を代入すると、次のようになります。

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

x₂ についても同じように計算します。

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

したがって、連立方程式の解は (x₁, x₂) = (3, 1) です。

クラメルの公式は、プログラミングしやすいので、特に計算の手順をアルゴリズムにしたい場合に向いています。一方、手計算でクラメルの公式を使って連立方程式を解くのは、ふつう掃き出し法（ガウスの消去法）で解くより手間がかかります。