✖

Homogén lineáris egyenletrendszerek

Egy egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden egyenletének jobb oldalán nulla áll.

A homogén egyenletrendszer definíciója

A homogén egyenletrendszer általános alakja a következő:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0

Ez az egyenletrendszer m egyenletből áll, és n ismeretlent tartalmaz, az összes egyenlet jobb oldala pedig nulla. Ha nem nulla lenne, nem homogén egyenletrendszerről lenne szó. Az előző egyenletrendszert felírhatjuk mátrix alakban is: egymás után átírjuk a mátrixba az összes együtthatót, vagyis az összes aij kifejezést, mégpedig ugyanarra a helyre, ahol az egyenletrendszerben állnak. A jobb oldali nulla oszlopot nem írjuk át a mátrixba, mert felesleges. Tehát így:

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)

Ez a mátrix a fent leírt, m egyenletből álló, n ismeretlenes egyenletrendszert jelenti. A mátrix minden sora egy egyenletnek felel meg. Az egész rendszert ekkor így írhatjuk fel:

Ax=0

Az egyenletrendszer alapvető tulajdonságai

A lineáris egyenletrendszerekről szóló cikkből és a Kronecker–Capelli-tételből néhány érdekes állítást kaphatunk a homogén egyenletrendszerekről.

  • Minden homogén egyenletrendszernek van megoldása.
  • A homogén egyenletrendszer megoldáshalmaza mindig tartalmazza a nulla megoldást. Ha az összes változó helyére nullát helyettesítünk, m darab 0 = 0 egyenletet kapunk.
  • A Kronecker–Capelli-tételből tudjuk, hogy az egyenletrendszer általános megoldásának felírásához n − k paraméterre van szükség, ahol n a változók száma, k pedig a rendszer kibővített mátrixának rangja, esetünkben k = rang(A). Ha n = k, akkor nincs szükségünk paraméterre, és a rendszernek egyetlen megoldása van, a nulla megoldás. Ráadásul n = k pontosan akkor teljesül, ha az A mátrixban nincs lineárisan függő oszlop (négyzetes mátrix esetén ez azt jelenti, hogy reguláris).
  • Az előző pontból az is következik, hogy a rendszernek pontosan akkor van nullától különböző megoldása, ha az A mátrixban van lineárisan függő oszlop.
  • Ha a rendszerben több az ismeretlen, mint az egyenlet, akkor van nullától különböző megoldása. Ha több az ismeretlen, mint az egyenlet, akkor k = rang(A) legfeljebb az egyenletek száma, vagyis m lehet. Ha pedig k < n, akkor n − k > 0, tehát léteznek további megoldások is, amelyeket n − k paraméterrel írunk le.

A megoldáshalmaz tulajdonságai

  • Az Ax = 0 rendszer bármely két megoldásának összege is megoldás. Ha x1 és x2 megoldások, akkor Ax1 = 0 és Ax2 = 0, és az előző állítás szerint A(x1 + x2) = 0 is teljesül.

A bizonyítás egyszerű. Tegyük fel, hogy Ax1 = 0 és Ax2 = 0, és bizonyítsuk be, hogy A(x1 + x2) = 0. A mátrixok összeadása és szorzása teljesíti a disztributív törvényt, ezért felírhatjuk, hogy

A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

A feltevés szerint viszont Ax1 = 0 és Ax2 = 0, így az Ax1 + Ax2 kifejezést átírhatjuk 0+0-ra. Ebből a 0 = 0 egyenletet kapjuk, tehát a tétel igaz.

Konkrétan: ha az egyenletrendszernek két megoldása x1 = (0; 5; 6) és x2 = (7; 3; 5), akkor megoldás az x3 = x1 + x2 = (0 + 7; 5 + 3; 6 + 5) = (7; 8; 11) is.

  • Minden c ∈ ℝ konstansra igaz, hogy a megoldás c-szerese is megoldás. Ha x1 megoldása az Ax = 0 rendszernek, akkor a c · x1 is megoldása a rendszernek.

A bizonyítás ismét egyszerű. Tegyük fel, hogy x1 megoldása az Ax = 0 rendszernek, és c ∈ ℝ. Bizonyítsuk be, hogy teljesül az

A(cx1)=0

egyenlőség. Mivel c számkonstans, kiemelhetjük az egész kifejezés elé:

A(cx1)=c⋅Ax1

A feltevés szerint Ax1 = 0, tehát a c · Ax1 kifejezésből c · 0 = 0 lesz.

  • Az előző két pontból következik, hogy a rendszer megoldásainak bármely lineáris kombinációja is megoldása a rendszernek.

Most felmerül a kérdés: ha egyes megoldások csak más megoldások lineáris kombinációi, létezik-e olyan megoldáshalmaz, amelyből az összes többi megoldást előállíthatjuk?

Írjuk fel a rendszer megoldásait egy mátrixba. Vagyis ha x1 = (x11; x12; …; x1n) megoldás, x2 = (x21; x22; …; x2n) is megoldás, és így tovább az xi-kre, akkor készítsük el az F mátrixot, amelynek oszlopai ezek a megoldások:

F=(x11x21…x12x22…⋮⋮⋱x1nx2n…)

Mivel végtelen sok különböző lineáris kombinációt, és ezzel végtelen sok megoldást képezhetünk, az F mátrix végtelen nagy lesz. Minket most az érdekel, hogy az F mátrixot le lehet-e úgy csökkenteni, hogy csak véges sok oszlopot tartalmazzon, amelyek segítségével az összes többi megoldást előállíthatjuk.

Hány oszlop marad? Az F mátrixnak n sora van, mert az eredeti rendszerben n változó volt, és minden oszlop egy megoldást jelent. Az F mátrix lehető legnagyobb rangja ezért éppen n. Ha az F mátrixnak n-nél több oszlopa van, biztos, hogy legalább az egyik oszlop lineárisan függő. Ebből következik, hogy a teljes megoldáshalmazt fel tudjuk írni egy legfeljebb n × n méretű mátrixba, a többi megoldást pedig lineáris kombinációkkal kiszámíthatjuk. Bármely további oszlop biztosan felesleges lenne. Az a kérdés, hogy az F mátrix méretét nem tudjuk-e még tovább csökkenteni.

A megoldások alaprendszere

A Kronecker–Capelli-tételből tudjuk, hogy az Ax = 0 rendszer általános megoldását kifejezhetjük n − k paraméterrel, ahol n a változók száma és k = rang(A). A paramétereket jelöljük t1, t2, …, tn − k-val. Hogyan állíthatnánk elő ezekkel a paraméterekkel két lineárisan független megoldást?

Az első esetben a t1 paraméter helyére egyet helyettesítünk, a többi helyére nullát. Tehát t1 = 1 és t2 = t3 = … = tn − k = 0. A második esetben ugyanezt tesszük, csak az egyest a második paraméterhez léptetjük: t2 = 1 és t1 = t3 = t4 = … = tn − k = 0. Ha ezeket a paramétereket behelyettesítjük az általános megoldásba, két különböző megoldást kapunk, amelyek lineárisan függetlenek.

Példa: legyen

(t1;t2;t3;2t1;4t3)

egy homogén egyenletrendszer három paraméteres általános megoldása. A t1 = 1, t2 = t3 = 0 paraméterválasztással az x1 = (1; 0; 0; 2; 0) partikuláris megoldást kapjuk, a t1 = t3 = 0, t2 = 1 választással az x2 = (0; 1; 0; 0; 0)-t, a t1 = t2 = 0, t3 = 1 választással pedig az x3 = (0; 0; 1; 0; 4)-et. Írjuk fel a partikuláris megoldásokat az F mátrixba:

F=(100010001200004)

Már az első három sorból jól látszik, hogy az oszlopok lineárisan függetlenek. Így felírtunk három különböző partikuláris megoldást, amelyek egymástól lineárisan függetlenek. Ugyanakkor bármely további megoldás lineárisan függő. Ha a t1 = 1, t2 = 2, t3 = 0 paramétereket választjuk, és kiszámítjuk a megoldást, az x4 = (1; 2; 0; 2; 0)-t kapjuk.

Ezt a megoldást viszont kifejezhetjük úgy is, mint x1 + 2x2 = (1; 0; 0; 2; 0) + 2(0; 1; 0; 0; 0) = (1; 2; 0; 2; 0). A többi megoldással hasonlóan járhatunk el. Így kaptunk egy háromoszlopos mátrixot, amely az egyenletrendszer összes megoldását meghatározza.

Az eljárást általánosíthatjuk. Ha adott az Ax = 0 rendszer és az n − k paramétert használó általános megoldása, akkor a rendszer megoldását kifejezhetjük n − k darab lineárisan független partikuláris megoldással. Az ilyen megoldáshalmazt nevezzük a megoldások alaprendszerének.

Ezeket a megoldásokat például úgy kapjuk, hogy a t1, t2, …, tn − k paraméterek mindegyike helyére sorban egyet helyettesítünk, a többi paraméter pedig nulla lesz. Így n − k lineárisan független megoldást kapunk.

Nem ez az egyetlen módja annak, hogy n − k lineárisan független partikuláris megoldást képezzünk. A ti paraméter helyére az egyes helyett bármilyen nullától különböző számot is helyettesíthetünk, és szintén lineárisan független megoldásokat kapunk.

Még egyszer az Ax = 0 rendszer megoldásai alaprendszerének definíciója: partikuláris megoldásoknak egy olyan {x1, x2, …, xn − k} halmaza, amelyre

  • x1, x2, …, xn − k lineárisan függetlenek,
  • az Ax = 0 rendszer bármely megoldása kifejezhető az x1, x2, …, xn − k partikuláris megoldások lineáris kombinációjaként.

Példa

Oldd meg a homogén egyenletrendszert, és add meg a megoldások alaprendszerét:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=02x1−18x2+20x3+3x4=08x1−20x2+28x3+4x4=0

A rendszer A mátrixa a következő alakú:

A=(2−57143102−182038−20284)

Kiszámíthatjuk a mátrix determinánsát. Az egyenlő nullával. A rendszer mátrixa tehát szinguláris, és a rendszernek van nullától különböző megoldása. Az általános megoldást a Gauss-eliminációval határozzuk meg. Az utolsó, negyedik sor egyenlő az első három sor összegével, így a negyedik sort teljesen kinullázzuk. Ezután az első sort megszorozzuk hárommal, a másodikat mínusz eggyel, a harmadik sor pedig az első két sor összege lesz:

(2−57143102−182038−20284)∼(2−57143102−182030000)∼(6−15213−4−3−102−182030000)∼(6−15213−4−3−1000000000)∼(2−571431000000000)

További átalakításoknak nincs értelme. Látjuk, hogy a mátrix rangja kettő, rang(A) = 2. Az egyenletrendszer általános megoldásának felírásához két paraméterre lesz szükségünk, jelöljük őket s-sel és t-vel. A megoldások alaprendszerének felírásához két partikuláris megoldásra lesz szükségünk.

Most ehhez az egyenletrendszerhez jutottunk:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=0

A második egyenletből kifejezzük x3-at.

x3=−4x1−3x2

x1 és x2 helyére paramétereket írunk, tehát s = x1 és t = x2. Ekkor felírhatjuk, hogy x3 = −4s − 3t. Már csak x4-et kell kiszámítani. Ezt az első egyenletből kapjuk:

x4=−2s+5t−7(−4s−3t)x4=−2s+5t+28s+21tx4=26s+26tx4=26(s+t)

Az általános megoldás tehát: (s; t; −4s − 3t; 26(s + t)). A megoldások alaprendszerének megadásához két partikuláris (vagyis két konkrét) megoldást kell találnunk, amelyek lineárisan függetlenek. Ezeket úgy kapjuk, hogy a paraméterek helyére először az s = 1, t = 0, majd az s = 0, t = 1 értékeket helyettesítjük. Az első paraméterpárra a partikuláris megoldás

X1=(x1;x2;x3;x4)=(1;0;−4;26),

a másodikra pedig

X2=(x1;x2;x3;x4)=(0;1;−3;26).

Ez a két megoldás lineárisan független. Mivel az általános megoldásban két paramétert használtunk, az alaprendszer létrehozásához elég két partikuláris megoldás. A megoldások alaprendszere tehát így néz ki:

{(1;0;−4;26),(0;1;−3;26)}.

Ellenőrizhetjük is, hogy ez a két megoldás érvényes, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletekbe. Az X1-re ezeket az egyenleteket kapjuk:

2⋅1−5⋅0+7⋅(−4)+26=04⋅1+3⋅0−4=02⋅1−18⋅0+20⋅(−4)+3⋅26=08⋅1−20⋅0+28⋅(−4)+4⋅26=0

Az átalakítások után:

2−28+26=04−4=02−80+78=08−112+104=0

Látjuk, hogy minden egyenletből 0 = 0 lesz. Úgy tűnik, jól számoltunk.

Fejezetek: Lineáris egyenletrendszerek, Cramer-szabály, Homogén lineáris egyenletrendszerek