Systèmes homogènes d’équations linéaires

On dit qu’un système d’équations est homogène si le second membre de chaque équation est nul.

Définition d’un système homogène

La forme générale d’un système homogène d’équations se présente ainsi :

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Ce système contient m équations à n inconnues, et les seconds membres de toutes les équations sont égaux à zéro. S’ils n’étaient pas tous nuls, il ne s’agirait pas d’un système homogène. On peut écrire le système précédent sous forme de matrice : on recopie tous les coefficients, c’est-à-dire toutes les expressions a_ij, aux mêmes positions que dans le système. On ne recopie pas la colonne nulle de droite, car elle est inutile. Cela donne :

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Cette matrice représente le système de m équations à n inconnues décrit plus haut. Chaque ligne de cette matrice correspond à une équation. On peut alors écrire tout le système sous la forme

$A x = 0$

Propriétés de base d’un système

À partir de l’article sur les systèmes d’équations linéaires et du théorème de Rouché-Fontené, on peut tirer plusieurs affirmations intéressantes sur les systèmes homogènes d’équations.

Tout système homogène a une solution.
L’ensemble de toutes les solutions d’un système homogène contient toujours la solution nulle. Si l’on remplace toutes les inconnues par zéro, on obtient m équations 0 = 0.
D’après le théorème de Rouché-Fontené, on sait que, pour écrire la solution générale d’un système d’équations, il faut n − k paramètres, où n est le nombre d’inconnues et k le rang de la matrice augmentée du système, ici k = rg(A). Si n = k, aucun paramètre n’est nécessaire et le système a une seule solution, la solution nulle. Or n = k si et seulement si la matrice A ne contient aucune colonne linéairement dépendante des autres (pour une matrice carrée, cela signifie qu’elle est inversible).
Du point précédent, il découle aussi que le système a une solution non nulle si et seulement si la matrice A contient une colonne linéairement dépendante des autres.
Si le système a plus d’inconnues que d’équations, il a une solution non nulle. S’il y a plus d’inconnues que d’équations, cela signifie que k = rg(A) est au plus égal au nombre d’équations, c’est-à-dire m. Et comme k < n, on a n − k > 0, donc il existe d’autres solutions, que l’on décrit à l’aide de n − k paramètres.

Propriétés de l’ensemble des solutions

La somme de deux solutions quelconques du système Ax = 0 est aussi une solution du système. Si x₁ et x₂ sont solutions du système, alors Ax₁ = 0 et Ax₂ = 0, et d’après l’affirmation précédente on a aussi A(x₁ + x₂) = 0.

La démonstration est simple. Supposons que Ax₁ = 0 et Ax₂ = 0 et démontrons que A(x₁ + x₂) = 0. L’addition et la multiplication des matrices vérifient la loi de distributivité, donc on peut écrire

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Par hypothèse, on a Ax₁ = 0 et Ax₂ = 0, donc l’expression Ax₁ + Ax₂ se récrit 0+0. On obtient l’égalité 0 = 0, donc la propriété est vraie.

Concrètement : si l’on a deux solutions du système, x₁ = (0 ; 5 ; 6) et x₂ = (7 ; 3 ; 5), alors x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7 ; 5 + 3 ; 6 + 5) = (7 ; 8 ; 11) est aussi solution du système.

Pour toute constante c ∈ ℝ, le produit d’une solution du système par c est aussi une solution. Si x₁ est solution du système Ax = 0, alors c · x₁ est aussi solution du système.

La démonstration est à nouveau simple. Supposons que x₁ est solution du système Ax = 0 et que c ∈ ℝ. Démontrons alors l’égalité

$A (c x_{1}) = 0$

Comme c est une constante numérique, on peut la mettre en facteur devant toute l’expression :

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Par hypothèse, Ax₁ = 0, donc de c · Ax₁ on obtient c · 0 = 0.

Il découle des deux points précédents que toute combinaison linéaire de solutions du système est aussi une solution de ce système.

On peut alors se poser la question : si certaines solutions ne sont que des combinaisons linéaires d’autres solutions, existe-t-il un ensemble de solutions à partir duquel on puisse engendrer toutes les autres ?

Essayons d’écrire les solutions du système dans une matrice. Autrement dit, si x₁ = (x₁₁ ; x₁₂ ; … ; x_1n) est une solution, si x₂ = (x₂₁ ; x₂₂ ; … ; x_2n) est une solution, et ainsi de suite pour x_i, on construit une matrice F qui contient ces solutions comme colonnes :

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Comme on peut former une infinité de combinaisons linéaires différentes, et donc de solutions, la matrice F sera infinie. Ce qui nous intéresse maintenant, c’est de savoir si l’on peut réduire la matrice F de façon qu’elle ne contienne qu’un nombre fini de colonnes, grâce auxquelles on peut engendrer toutes les autres solutions.

Combien de colonnes restera-t-il ? La matrice F a n lignes, car le système de départ avait n inconnues, et chaque colonne représente une solution. Le rang maximal possible de la matrice F est donc exactement n. Si la matrice F a plus de n colonnes, il est certain qu’au moins une colonne est linéairement dépendante des autres. On en déduit que l’on peut écrire l’ensemble des solutions dans une matrice de dimensions au plus n × n et calculer les autres solutions par des combinaisons linéaires. Toute colonne supplémentaire serait certainement superflue. Reste à savoir si l’on ne peut pas réduire encore la taille de la matrice F.

Système fondamental de solutions

D’après le théorème de Rouché-Fontené, on sait que la solution générale du système Ax = 0 peut s’exprimer à l’aide de n − k paramètres, où n est le nombre d’inconnues et k = rg(A). Notons ces paramètres t₁, t₂, …, t_{n − k}. Comment pourrait-on engendrer, avec ces paramètres, deux solutions linéairement indépendantes ?

Dans le premier cas, on remplace le paramètre t₁ par un et tous les autres par zéro. Donc t₁ = 1 et t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. Dans le deuxième cas, on fait la même chose, mais on décale le un vers le deuxième paramètre : t₂ = 1 et t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Si l’on remplace les paramètres par ces valeurs dans la solution générale, on obtient deux solutions différentes, qui sont linéairement indépendantes.

Exemple : soit

$(t_{1}; t_{2}; t_{3}; 2 t_{1}; 4 t_{3})$

la solution générale d’un système homogène d’équations à trois paramètres. Pour le choix de paramètres t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0, on obtient la solution particulière x₁ = (1 ; 0 ; 0 ; 2 ; 0), pour t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 on obtient x₂ = (0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0) et pour t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 on obtient x₃ = (0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 4). Écrivons les solutions particulières dans la matrice F :

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Dès les trois premières lignes, on voit clairement que les colonnes sont linéairement indépendantes. Nous avons donc construit trois solutions particulières différentes, linéairement indépendantes entre elles. De plus, toute autre solution est linéairement dépendante de celles-ci. Si l’on choisit les paramètres t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 et que l’on calcule la solution, on obtient x₄ = (1 ; 2 ; 0 ; 2 ; 0).

Mais on peut exprimer cette solution sous la forme x₁ + 2x₂ = (1 ; 0 ; 0 ; 2 ; 0) + 2(0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0) = (1 ; 2 ; 0 ; 2 ; 0). De même pour les autres solutions. Nous avons ainsi obtenu une matrice qui a trois colonnes et qui définit toutes les solutions du système d’équations.

On peut généraliser la méthode. Si l’on a un système Ax = 0 et sa solution générale, qui utilise n − k paramètres, alors on peut exprimer les solutions du système à l’aide de n − k solutions particulières linéairement indépendantes du système. On appelle un tel ensemble de solutions un système fondamental de solutions.

On obtient ces solutions, par exemple, en remplaçant successivement chaque paramètre t₁, t₂, …, t_{n − k} par un, les autres paramètres étant nuls. On obtient ainsi n − k solutions du système qui sont linéairement indépendantes.

Ce n’est pourtant pas la seule façon de construire n − k solutions particulières linéairement indépendantes du système. On peut remplacer le paramètre t_i non pas par un, mais par n’importe quel nombre non nul, et l’on obtient quand même des solutions linéairement indépendantes.

Encore une fois, la définition d’un système fondamental de solutions du système Ax = 0 : c’est un ensemble de solutions particulières {x₁ ; x₂ ; … ; x_{n − k}} tel que

x₁, x₂, …, x_{n − k} sont linéairement indépendantes,
toute solution du système Ax = 0 peut s’exprimer comme combinaison linéaire des solutions particulières x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Exemple

Résous le système homogène d’équations suivant et détermine un système fondamental de solutions :

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

La matrice du système A a la forme

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

On peut calculer le déterminant de cette matrice. Il est égal à zéro. La matrice du système n’est donc pas inversible et le système a une solution non nulle. On trouve la solution générale du système à l’aide de la méthode du pivot de Gauss. La dernière ligne, la quatrième, est égale à la somme des trois premières. On annule donc toute la quatrième ligne. Ensuite, on multiplie la première ligne par trois, la deuxième par moins un, et la troisième ligne sera égale à la somme des deux premières :

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Il est inutile de poursuivre les opérations. On voit que la matrice est de rang deux, rg(A) = 2. Pour écrire la solution générale du système, il nous faudra deux paramètres, que l’on appelle s et t. Pour écrire le système fondamental de solutions, il nous faudra deux solutions particulières.

Nous en sommes arrivés à ce système d’équations :

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

De la deuxième équation, on isole x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

On remplace x₁ et x₂ par des paramètres : s = x₁ et t = x₂. On peut alors écrire que x₃ = −4s − 3t. Il reste à calculer x₄. On le tire de la première équation :

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

La solution générale est donc : (s ; t ; −4s − 3t ; 26(s + t)). Pour obtenir un système fondamental de solutions, il faut trouver deux solutions particulières (c’est-à-dire deux solutions concrètes) linéairement indépendantes. On les trouve en remplaçant d’abord les paramètres par s = 1, t = 0, puis par s = 0, t = 1. Pour le premier couple de paramètres, on a la solution particulière

$X_{1} = (x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (1; 0; - 4; 26)$

et pour le deuxième couple

$X_{2} = (x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (0; 1; - 3; 26) .$

Ces solutions sont linéairement indépendantes. Comme nous avons utilisé deux paramètres dans la solution générale, deux solutions particulières suffisent pour former le système fondamental de solutions. Le système fondamental de solutions se présente ainsi

${(1; 0; - 4; 26); (0; 1; - 3; 26)} .$

On peut aussi vérifier que ces deux solutions conviennent en les substituant dans les équations de départ. Pour X₁, on obtient ces équations :

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

Après simplification, on a :

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

On voit que chaque équation donne 0 = 0. Il semble que nos calculs soient corrects.

Chapitres: Systèmes d’équations linéaires, Règle de Cramer, Systèmes homogènes d’équations linéaires

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