Homogene lineære likningssett

Vi kaller et likningssett homogent hvis det står null på høyre side av hver likning.

Definisjon av et homogent likningssett

Den generelle formen til et homogent likningssett ser slik ut:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Dette likningssettet inneholder m likninger med n ukjente, og høyresidene i alle likningene er lik null. Hvis de ikke var lik null, ville det ikke vært et homogent likningssett. Det foregående likningssettet kan vi skrive om til en matrise ved at vi etter tur skriver av alle koeffisientene, altså alle uttrykkene a_ij, på de samme plassene som de har i likningssettet. Den høyre nullkolonnen skriver vi ikke av i matrisen, for det er unødvendig. Altså slik:

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Denne matrisen representerer likningssettet med m likninger og n ukjente som er beskrevet ovenfor. Hver rad i denne matrisen svarer til én likning. Hele systemet kan vi så skrive som

$A x = 0$

Grunnleggende egenskaper ved systemet

Av artikkelen om lineære likningssett og av Rouché–Capellis setning kan vi få noen interessante påstander om homogene likningssett.

Hvert homogent likningssett har løsning.
Mengden av alle løsninger av et homogent likningssett inneholder alltid nulløsningen. Hvis vi setter inn null for alle variablene, får vi m likninger 0 = 0.
Av Rouché–Capellis setning vet vi at det trengs n − k parametere for å skrive opp den generelle løsningen av et likningssett, der n er antall variabler og k er rangen til den utvidede matrisen til systemet, i vårt tilfelle k = rang(A). Hvis n = k, trenger vi ingen parameter, og systemet har en eneste løsning, nulløsningen. Samtidig er n = k hvis og bare hvis matrisen A ikke inneholder noen lineært avhengig kolonne (for en kvadratisk matrise betyr det at den er regulær).
Av forrige punkt følger det også at systemet har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis det er en lineært avhengig kolonne i matrisen A.
Hvis systemet har flere ukjente enn likninger, har systemet en ikke-triviell løsning. Hvis det er flere ukjente enn likninger, betyr det at k = rang(A) høyst kan være lik antall likninger, altså m. Og hvis k < n, så er n − k > 0, og dermed finnes det flere løsninger, som vi beskriver ved hjelp av n − k parametere.

Egenskaper ved løsningsmengden

Summen av vilkårlige løsninger av systemet Ax = 0 er også en løsning av systemet. Hvis x₁ og x₂ er løsninger av systemet, gjelder Ax₁ = 0 og Ax₂ = 0, og ifølge forrige påstand gjelder også A(x₁ + x₂) = 0.

Beviset er enkelt. Anta at Ax₁ = 0 og Ax₂ = 0, så skal vi bevise A(x₁ + x₂) = 0. Addisjon og multiplikasjon av matriser oppfyller den distributive loven, så vi kan skrive

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Ifølge forutsetningen er imidlertid Ax₁ = 0 og Ax₂ = 0, så uttrykket Ax₁ + Ax₂ kan vi skrive om til 0+0. Vi får likningen 0 = 0, så setningen gjelder.

Konkret: hvis vi har to løsninger av systemet: x₁ = (0, 5, 6) og x₂ = (7, 3, 5), så er også x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11) en løsning av systemet.

For hver konstant c ∈ ℝ gjelder at c ganger en løsning av systemet også er en løsning. Hvis x₁ er en løsning av systemet Ax = 0, så er også c · x₁ en løsning av systemet.

Beviset er igjen enkelt. Anta at x₁ er en løsning av systemet Ax = 0 og c ∈ ℝ. Da skal vi bevise at likheten

$A (c x_{1}) = 0$

gjelder. Siden c er en tallkonstant, kan vi sette den utenfor en parentes foran hele uttrykket:

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Ifølge forutsetningen gjelder Ax₁ = 0, så av c · Ax₁ får vi c · 0 = 0.

Følgen av de to foregående punktene er at enhver lineærkombinasjon av løsninger av systemet også er en løsning av dette systemet.

Nå melder spørsmålet seg — hvis noen av løsningene bare er lineærkombinasjoner av andre løsninger, finnes det da en mengde av løsninger som vi kan frembringe alle de andre løsningene fra?

La oss nå prøve å skrive løsningene av systemet inn i en matrise. Altså: hvis x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) er en løsning og x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) er en løsning og så videre for x_i, lager vi en matrise F som inneholder disse løsningene som kolonner:

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Siden vi kan lage uendelig mange ulike lineærkombinasjoner, og dermed løsninger, blir matrisen F uendelig. Nå er vi interessert i om vi kan gjøre matrisen F mindre slik at den bare inneholder et endelig antall kolonner som vi kan frembringe alle de andre løsningene fra.

Hvor mange kolonner blir igjen? Matrisen F har n rader, for det opprinnelige systemet hadde n variabler, og hver kolonne representerer én løsning. Den størst mulige rangen til matrisen F er altså nettopp n. Hvis matrisen F har flere enn n kolonner, er det sikkert at minst én kolonne er lineært avhengig. Av det følger at vi kan skrive hele løsningsmengden inn i en matrise med største størrelse n × n og regne ut de andre løsningene ved hjelp av lineærkombinasjoner. Enhver ytterligere kolonne ville sikkert være overflødig. Spørsmålet er om vi kan redusere størrelsen på matrisen F enda mer.

Fundamentalsystem av løsninger

Av Rouché–Capellis setning vet vi at den generelle løsningen av systemet Ax = 0 kan uttrykkes ved hjelp av n − k parametere, der n er antall variabler og k = rang(A). Parameterne kaller vi t₁, t₂, …, t_{n − k}. Hvordan kunne vi frembringe to lineært uavhengige løsninger med disse parameterne?

I det første tilfellet setter vi inn én for parameteren t₁ og null for de andre. Altså t₁ = 1 og t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. I det andre tilfellet gjør vi det samme, bare at vi flytter eneren til den andre parameteren: t₂ = 1 og t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Hvis vi setter disse parameterne inn i den generelle løsningen, får vi to ulike løsninger som er lineært uavhengige.

Eksempel: la

$(t_{1}, t_{2}, t_{3}, 2 t_{1}, 4 t_{3})$

være den generelle løsningen av et homogent likningssett med tre parametere. For valget av parametere t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 får vi den partikulære løsningen x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), for t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 får vi x₂ = (0, 1, 0, 0, 0) og for t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 får vi x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Vi skriver de partikulære løsningene inn i matrisen F:

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Allerede av de tre første radene er det tydelig å se at kolonnene er lineært uavhengige. Vi har altså laget tre ulike partikulære løsninger som er lineært uavhengige av hverandre. Samtidig gjelder det at enhver annen løsning er lineært avhengig. Hvis vi velger parameterne t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 og regner ut løsningen, får vi x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Denne løsningen kan vi imidlertid uttrykke som x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). På samme måte for de andre løsningene. Vi har altså fått en matrise som har tre kolonner og definerer alle løsningene av likningssettet.

Framgangsmåten kan vi generalisere. Hvis vi har et system Ax = 0 og den generelle løsningen av det, som bruker n − k parametere, så kan vi uttrykke løsningene av systemet ved hjelp av n − k partikulære lineært uavhengige løsninger av systemet. En slik mengde av løsninger kaller vi et fundamentalsystem av løsninger.

Disse løsningene får vi for eksempel ved at vi for hver parameter t₁, t₂, …, t_{n − k} etter tur setter inn en ener, og resten av parameterne er null. Da får vi n − k løsninger av systemet som er lineært uavhengige.

Dette er imidlertid ikke den eneste framgangsmåten for å lage n − k lineært uavhengige partikulære løsninger av systemet. Vi kan i stedet for en ener sette inn et hvilket som helst tall som ikke er null for parameteren t_i, og vi får likevel lineært uavhengige løsninger.

Her er definisjonen av et fundamentalsystem av løsninger for systemet Ax = 0 en gang til: det er en mengde av partikulære løsninger {x₁, x₂, …, x_{n − k}} slik at

x₁, x₂, …, x_{n − k} er lineært uavhengige,
enhver løsning av systemet Ax = 0 kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av de partikulære løsningene x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Eksempel

Løs det homogene likningssettet og bestem et fundamentalsystem av løsninger:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

Koeffisientmatrisen A får formen

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

Vi kan regne ut determinanten til denne matrisen. Den er lik null. Koeffisientmatrisen er altså singulær, og systemet har en ikke-triviell løsning. Vi finner den generelle løsningen av likningssettet ved hjelp av Gauss' eliminasjonsmetode. Den siste, fjerde, raden er lik summen av de tre første radene. Vi nuller altså ut hele den fjerde raden. Deretter multipliserer vi den første raden med tre og den andre med minus én, og den tredje raden blir lik summen av de to første radene:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Flere operasjoner har ingen hensikt. Vi ser at matrisen har rang to, rang(A) = 2. For å skrive opp den generelle løsningen av systemet trenger vi to parametere, la oss kalle dem s og t. For å skrive opp fundamentalsystemet trenger vi to partikulære løsninger.

Nå har vi kommet til dette likningssettet:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

Av den andre likningen løser vi ut x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

For x₁ og x₂ setter vi inn parametere, så s = x₁ og t = x₂. Da kan vi skrive at x₃ = −4s − 3t. Det gjenstår å regne ut x₄. Det finner vi av den første likningen:

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

Den generelle løsningen er altså lik: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). For å få et fundamentalsystem av løsninger må vi finne to partikulære løsninger (altså to konkrete løsninger) som er lineært uavhengige. De finner vi ved først å sette inn s = 1, t = 0 og så s = 0, t = 1 for parameterne. For det første paret av parametere har vi den partikulære løsningen

$X_{1} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (1, 0, - 4, 26)$

og for det andre paret

$X_{2} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, 1, - 3, 26) .$

Disse løsningene er lineært uavhengige. Siden vi brukte to parametere i den generelle løsningen, er to partikulære løsninger nok for å lage fundamentalsystemet. Fundamentalsystemet av løsninger ser altså slik ut

${(1, 0, - 4, 26), (0, 1, - 3, 26)} .$

Vi kan også kontrollere at disse to løsningene er gyldige ved å sette inn i de opprinnelige likningene. For X₁ får vi disse likningene:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

Etter forenkling har vi:

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

Vi ser at hver likning gir 0 = 0. Det ser ut til at vi har regnet riktig.

Kapitler: Lineære likningssett, Cramers regel, Homogene lineære likningssett

« Forrige: Cramers regel

Neste: Vektorrom »