Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales

Decimos que un sistema de ecuaciones es homogéneo si en el lado derecho de cada ecuación hay un cero.

Definición de sistema homogéneo

La forma general de un sistema homogéneo de ecuaciones es la siguiente:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Este sistema contiene m ecuaciones con n incógnitas y los términos independientes de todas las ecuaciones son iguales a cero. Si no fueran cero, no se trataría de un sistema homogéneo. Podemos pasar el sistema anterior a una matriz copiando sucesivamente todos los coeficientes, es decir, todas las expresiones a_ij, en las mismas posiciones que ocupan en el sistema. La columna de ceros de la derecha no la copiaremos en la matriz, porque no hace falta. Así:

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Esta matriz representa el sistema de m ecuaciones con n incógnitas descrito arriba. Cada fila de la matriz corresponde a una ecuación. Todo el sistema se puede escribir entonces como

$A x = 0$

Propiedades básicas del sistema

Del artículo sobre los sistemas de ecuaciones lineales y del teorema de Rouché-Frobenius podemos obtener varias afirmaciones interesantes sobre los sistemas homogéneos de ecuaciones.

Todo sistema homogéneo tiene solución.
El conjunto de todas las soluciones de un sistema homogéneo contiene siempre la solución trivial. Si sustituimos todas las variables por cero, obtenemos m ecuaciones 0 = 0.
Por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que para escribir la solución general de un sistema de ecuaciones hacen falta n − k parámetros, donde n es el número de variables y k es el rango de la matriz ampliada del sistema, que en nuestro caso es k = rg(A). Si n = k, no necesitamos ningún parámetro y el sistema tiene una única solución, la trivial. Además, n = k si y solo si la matriz A no contiene ninguna columna linealmente dependiente (en una matriz cuadrada esto significa que es regular).
De la afirmación anterior se deduce también que el sistema tiene una solución no trivial si y solo si en la matriz A hay alguna columna linealmente dependiente.
Si el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, tiene una solución no trivial. Si tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces k = rg(A) puede ser como máximo igual al número de ecuaciones, es decir, m. Y si se cumple que k < n, entonces n − k > 0 y, por tanto, existirán otras soluciones, que describiremos con ayuda de n − k parámetros.

Propiedades del conjunto de soluciones

La suma de dos soluciones cualesquiera del sistema Ax = 0 también es solución del sistema. Si x₁ y x₂ son soluciones del sistema, se cumple Ax₁ = 0 y Ax₂ = 0 y, según la afirmación anterior, se cumple también A(x₁ + x₂) = 0.

La demostración es sencilla. Supongamos que se cumple Ax₁ = 0 y Ax₂ = 0 y demostremos que A(x₁ + x₂) = 0. La suma y el producto de matrices cumplen la propiedad distributiva, así que podemos escribir

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Pero por hipótesis Ax₁ = 0 y Ax₂ = 0, así que la expresión Ax₁ + Ax₂ se puede reescribir como 0+0. Obtenemos la ecuación 0 = 0, de modo que la afirmación es cierta.

En concreto: si tenemos dos soluciones del sistema, x₁ = (0, 5, 6) y x₂ = (7, 3, 5), entonces una solución del sistema es también x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11).

Para cada constante c ∈ ℝ se cumple que el producto de c por una solución del sistema también es solución. Si x₁ es solución del sistema Ax = 0, entonces c · x₁ también es solución del sistema.

La demostración vuelve a ser sencilla. Supongamos que x₁ es solución del sistema Ax = 0 y que c ∈ ℝ. Demostraremos que se cumple la igualdad

$A (c x_{1}) = 0$

Como c es una constante numérica, podemos sacarla factor común delante de toda la expresión:

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Por hipótesis se cumple Ax₁ = 0, así que de c · Ax₁ obtenemos c · 0 = 0.

La consecuencia de las dos afirmaciones anteriores es que cualquier combinación lineal de soluciones del sistema también es solución de este sistema.

Ahora surge una pregunta: si algunas soluciones son simplemente combinaciones lineales de otras, ¿existe algún conjunto de soluciones con el que podamos generar todas las demás?

Intentemos escribir las soluciones del sistema en una matriz. Es decir, si x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) es una solución, x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) es una solución, y así sucesivamente para x_i, formamos una matriz F que contenga estas soluciones como columnas:

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Como podemos formar infinitas combinaciones lineales distintas y, con ellas, infinitas soluciones, la matriz F será infinita. Ahora nos interesa saber si se puede reducir la matriz F de modo que contenga solo un número finito de columnas con las que podamos generar todas las demás soluciones.

¿Cuántas columnas quedarán? La matriz F tiene n filas, porque el sistema original tenía n variables, y cada columna representa una solución. El rango máximo posible de la matriz F es, por tanto, justamente n. Si la matriz F tiene más de n columnas, es seguro que al menos una columna es linealmente dependiente. De ahí se deduce que podemos escribir todo el conjunto de soluciones en una matriz de dimensión máxima n × n y calcular las demás soluciones mediante combinaciones lineales. Cualquier columna adicional sería sin duda redundante. Queda la cuestión de si podemos reducir todavía más el tamaño de la matriz F.

Sistema fundamental de soluciones

Por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que la solución general del sistema Ax = 0 se puede expresar con n − k parámetros, donde n es el número de variables y k = rg(A). Llamamos a los parámetros t₁, t₂, …, t_{n − k}. ¿Cómo podríamos generar con estos parámetros dos soluciones linealmente independientes?

En el primer caso sustituimos el parámetro t₁ por uno y los demás por cero. Es decir, t₁ = 1 y t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. En el segundo caso hacemos lo mismo, pero desplazamos el uno al segundo parámetro: t₂ = 1 y t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Si sustituimos estos parámetros en la solución general, obtenemos dos soluciones distintas que son linealmente independientes.

Ejemplo: sea

$(t_{1}, t_{2}, t_{3}, 2 t_{1}, 4 t_{3})$

la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones con tres parámetros. Para la elección de parámetros t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 obtenemos la solución particular x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), para t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 obtenemos x₂ = (0, 1, 0, 0, 0) y para t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 obtenemos x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Escribimos las soluciones particulares en la matriz F:

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Ya solo con las tres primeras filas se ve claramente que las columnas son linealmente independientes. Hemos construido así tres soluciones particulares distintas que son linealmente independientes entre sí. Al mismo tiempo, cualquier otra solución es linealmente dependiente de ellas. Si elegimos los parámetros t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 y calculamos la solución, obtenemos x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Pero esta solución la podemos expresar como x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). Y lo mismo ocurre con las demás soluciones. Hemos obtenido así una matriz que tiene tres columnas y define todas las soluciones del sistema de ecuaciones.

Podemos generalizar el procedimiento. Si tenemos un sistema Ax = 0 y su solución general, que usa n − k parámetros, entonces podemos expresar la solución del sistema mediante n − k soluciones particulares del sistema linealmente independientes. A un conjunto de soluciones así lo llamamos sistema fundamental de soluciones.

Estas soluciones las obtenemos, por ejemplo, sustituyendo sucesivamente cada parámetro t₁, t₂, …, t_{n − k} por uno, con el resto de los parámetros iguales a cero. Así obtenemos n − k soluciones del sistema que son linealmente independientes.

Este no es, sin embargo, el único procedimiento para construir n − k soluciones particulares del sistema linealmente independientes. En lugar de uno, podemos sustituir el parámetro t_i por cualquier número distinto de cero y obtendremos igualmente soluciones linealmente independientes.

Una vez más, la definición de sistema fundamental de soluciones del sistema Ax = 0: es un conjunto de soluciones particulares {x₁, x₂, …, x_{n − k}} tal que

x₁, x₂, …, x_{n − k} son linealmente independientes,
cualquier solución del sistema Ax = 0 se puede expresar como combinación lineal de las soluciones particulares x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Ejemplo

Resuelve el sistema homogéneo de ecuaciones y determina un sistema fundamental de soluciones:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

La matriz del sistema A tendrá la forma

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

Podemos calcular el determinante de esta matriz. Es igual a cero. La matriz del sistema es, por tanto, singular y el sistema tiene una solución no trivial. Hallaremos la solución general del sistema con el método de Gauss. La última fila, la cuarta, es igual a la suma de las tres primeras. Así anulamos toda la cuarta fila. Después multiplicamos la primera fila por tres, la segunda por menos uno, y la tercera fila será igual a la suma de las dos primeras:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Ya no tiene sentido hacer más transformaciones. Vemos que la matriz tiene rango dos, rg(A) = 2. Para escribir la solución general del sistema necesitaremos dos parámetros, que llamaremos s y t. Para escribir el sistema fundamental de soluciones necesitaremos dos soluciones particulares.

Ahora hemos llegado a este sistema de ecuaciones:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

De la segunda ecuación despejamos x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

En lugar de x₁ y x₂ ponemos los parámetros, es decir, s = x₁ y t = x₂. Entonces podemos escribir x₃ = −4s − 3t. Falta calcular x₄. Lo obtenemos de la primera ecuación:

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

La solución general es, por tanto, (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Para obtener el sistema fundamental de soluciones tenemos que encontrar dos soluciones particulares (es decir, dos soluciones concretas) que sean linealmente independientes. Las encontramos dando a los parámetros primero los valores s = 1, t = 0 y después s = 0, t = 1. Para el primer par de parámetros tenemos la solución particular

$X_{1} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (1, 0, - 4, 26)$

y para el segundo par

$X_{2} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, 1, - 3, 26) .$

Estas soluciones son linealmente independientes. Como en la solución general hemos usado dos parámetros, nos bastan dos soluciones particulares para formar el sistema fundamental de soluciones. El sistema fundamental de soluciones queda así

${(1, 0, - 4, 26), (0, 1, - 3, 26)} .$

También podemos comprobar que estas dos soluciones son válidas sustituyéndolas en las ecuaciones originales. Para X₁ obtenemos estas ecuaciones:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

Tras simplificar tenemos:

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

Vemos que cada ecuación da 0 = 0. Parece que hemos calculado bien.

Capítulos: Sistemas de ecuaciones lineales, Regla de Cramer, Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales

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