✖

Sisteme omogene de ecuații liniare

Un sistem de ecuații se numește omogen dacă în membrul drept al fiecărei ecuații se află zero.

Definiția sistemului omogen

Forma generală a unui sistem omogen de ecuații arată astfel:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0

Acest sistem conține m ecuații cu n necunoscute, iar membrii drepți ai tuturor ecuațiilor sunt egali cu zero. Dacă nu ar fi egali cu zero, nu ar fi vorba de un sistem omogen. Sistemul de mai sus îl putem scrie sub formă de matrice, trecând în matrice, pe rând, toți coeficienții, adică toate expresiile aij, exact pe pozițiile pe care se află în sistem. Coloana nulă din dreapta nu o mai scriem în matrice, pentru că este inutilă. Deci astfel:

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)

Această matrice reprezintă sistemul de m ecuații cu n necunoscute descris mai sus. Fiecare linie a matricei corespunde unei ecuații. Întregul sistem îl putem scrie atunci ca

Ax=0

Proprietățile de bază ale sistemului

Din articolul despre sistemele de ecuații liniare și din teorema Kronecker–Capelli putem obține câteva afirmații interesante despre sistemele omogene de ecuații.

  • Orice sistem omogen are soluții.
  • Mulțimea tuturor soluțiilor unui sistem omogen conține întotdeauna soluția nulă (soluția banală). Dacă în locul tuturor variabilelor punem zero, obținem m ecuații 0 = 0.
  • Din teorema Kronecker–Capelli știm că pentru a scrie soluția generală a unui sistem de ecuații sunt necesari n − k parametri, unde n este numărul de variabile, iar k este rangul matricei extinse a sistemului, în cazul nostru k = rang A. Dacă n = k, nu avem nevoie de niciun parametru, iar sistemul are o singură soluție, cea nulă. În plus, n = k exact atunci când matricea A nu conține nicio coloană liniar dependentă (în cazul unei matrice pătratice, asta înseamnă că este inversabilă).
  • Din punctul anterior rezultă și că sistemul are o soluție nenulă dacă și numai dacă în matricea A există o coloană liniar dependentă.
  • Dacă un sistem are mai multe necunoscute decât ecuații, atunci are o soluție nenulă. Dacă sistemul are mai multe necunoscute decât ecuații, înseamnă că k = rang A poate fi cel mult egal cu numărul de ecuații, adică m. Iar dacă k < n, atunci n − k > 0, deci vor exista și alte soluții, pe care le vom descrie cu ajutorul a n − k parametri.

Proprietățile mulțimii soluțiilor

  • Suma oricăror două soluții ale sistemului Ax = 0 este tot o soluție a sistemului. Dacă x1 și x2 sunt soluții ale sistemului, atunci Ax1 = 0 și Ax2 = 0, iar conform afirmației anterioare are loc și A(x1 + x2) = 0.

Demonstrația este simplă. Presupunem că Ax1 = 0 și Ax2 = 0 și demonstrăm că A(x1 + x2) = 0. Adunarea și înmulțirea matricelor respectă legea distributivității, deci putem scrie

A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

Conform ipotezei, Ax1 = 0 și Ax2 = 0, așa că expresia Ax1 + Ax2 o putem rescrie ca 0+0. Obținem ecuația 0 = 0, deci teorema este adevărată.

Concret: dacă avem două soluții ale sistemului, x1 = (0, 5, 6) și x2 = (7, 3, 5), atunci o soluție a sistemului este și x3 = x1 + x2 = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11).

  • Pentru orice constantă c ∈ ℝ, multiplul de c ori al unei soluții a sistemului este tot o soluție. Dacă x1 este soluție a sistemului Ax = 0, atunci și c · x1 este soluție a sistemului.

Și demonstrația aceasta este simplă. Presupunem că x1 este soluție a sistemului Ax = 0 și că c ∈ ℝ. Demonstrăm că are loc egalitatea

A(cx1)=0

Deoarece c este o constantă numerică, o putem scoate factor comun în fața întregii expresii:

A(cx1)=c⋅Ax1

Conform ipotezei, Ax1 = 0, așa că din c · Ax1 obținem c · 0 = 0.

  • Consecința celor două puncte anterioare este că orice combinație liniară de soluții ale sistemului este tot o soluție a acestui sistem.

Acum ne putem întreba – dacă unele soluții sunt doar combinații liniare ale altora, există oare o mulțime de soluții din care să putem genera toate celelalte soluții?

Să încercăm să scriem soluțiile sistemului într-o matrice. Adică, dacă x1 = (x11, x12, …, x1n) este o soluție, x2 = (x21, x22, …, x2n) este o soluție și tot așa pentru xi, construim matricea F, care va conține aceste soluții drept coloane:

F=(x11x21…x12x22…⋮⋮⋱x1nx2n…)

Pentru că putem forma o infinitate de combinații liniare diferite, deci și de soluții, matricea F va fi infinită. Ne interesează acum dacă putem micșora matricea F astfel încât să conțină doar un număr finit de coloane, cu ajutorul cărora să putem genera toate celelalte soluții.

Câte coloane rămân? Matricea F are n linii, pentru că sistemul inițial avea n variabile, iar fiecare coloană reprezintă o soluție. Rangul maxim posibil al matricei F este deci chiar n. Dacă matricea F are mai mult de n coloane, este sigur că cel puțin o coloană este liniar dependentă. De aici rezultă că întreaga mulțime a soluțiilor o putem scrie într-o matrice de dimensiune maximă n × n, iar celelalte soluții le putem calcula prin combinații liniare. Orice altă coloană ar fi sigur de prisos. Rămâne întrebarea dacă nu putem micșora și mai mult matricea F.

Sistemul fundamental de soluții

Din teorema Kronecker–Capelli știm că soluția generală a sistemului Ax = 0 se poate exprima cu ajutorul a n − k parametri, unde n este numărul de variabile, iar k = rang A. Parametrii îi notăm t1, t2, …, tn − k. Cum am putea genera cu acești parametri două soluții liniar independente?

În primul caz punem pentru parametrul t1 valoarea unu, iar pentru ceilalți zero. Adică t1 = 1 și t2 = t3 = … = tn − k = 0. În al doilea caz facem la fel, doar că unitatea o mutăm la al doilea parametru: t2 = 1 și t1 = t3 = t4 = … = tn − k = 0. Dacă înlocuim acești parametri în soluția generală, obținem două soluții diferite, care sunt liniar independente.

Exemplu: fie

(t1,t2,t3,2t1,4t3)

soluția generală a unui sistem omogen de ecuații cu trei parametri. Pentru alegerea parametrilor t1 = 1, t2 = t3 = 0 obținem soluția particulară x1 = (1, 0, 0, 2, 0), pentru t1 = t3 = 0, t2 = 1 obținem x2 = (0, 1, 0, 0, 0), iar pentru t1 = t2 = 0, t3 = 1 obținem x3 = (0, 0, 1, 0, 4). Scriem soluțiile particulare în matricea F:

F=(100010001200004)

Chiar din primele trei linii se vede clar că coloanele sunt liniar independente. Am construit astfel trei soluții particulare diferite, liniar independente între ele. În același timp, orice altă soluție este liniar dependentă. Dacă alegem parametrii t1 = 1, t2 = 2, t3 = 0 și calculăm soluția, obținem x4 = (1, 2, 0, 2, 0).

Această soluție o putem însă exprima ca x1 + 2x2 = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). La fel și pentru celelalte soluții. Am obținut astfel o matrice care are trei coloane și definește toate soluțiile sistemului de ecuații.

Procedeul se poate generaliza. Dacă avem un sistem Ax = 0 și soluția lui generală, care folosește n − k parametri, atunci soluția sistemului o putem exprima cu ajutorul a n − k soluții particulare liniar independente ale sistemului. O astfel de mulțime de soluții o numim sistem fundamental de soluții.

Aceste soluții le obținem, de exemplu, punând pe rând pentru fiecare parametru t1, t2, …, tn − k valoarea unu, iar restul parametrilor vor fi nuli. Astfel obținem n − k soluții ale sistemului, care sunt liniar independente.

Acesta nu este însă singurul procedeu prin care se pot construi n − k soluții particulare liniar independente ale sistemului. În locul unității putem pune pentru parametrul ti orice număr nenul și obținem tot soluții liniar independente.

Încă o dată, definiția sistemului fundamental de soluții al sistemului Ax = 0: este o mulțime de soluții particulare {x1, x2, …, xn − k} astfel încât

  • x1, x2, …, xn − k sunt liniar independente,
  • orice soluție a sistemului Ax = 0 se poate exprima printr-o combinație liniară a soluțiilor particulare x1, x2, …, xn − k.

Exemplu

Rezolvă sistemul omogen de ecuații și determină sistemul fundamental de soluții:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=02x1−18x2+20x3+3x4=08x1−20x2+28x3+4x4=0

Matricea sistemului A va avea forma

A=(2−57143102−182038−20284)

Putem calcula determinantul acestei matrice. Acesta este egal cu zero. Matricea sistemului este deci singulară, iar sistemul are o soluție nenulă. Găsim soluția generală a sistemului cu ajutorul metodei lui Gauss. Ultima linie, a patra, este egală cu suma primelor trei linii. Anulăm astfel întreaga a patra linie. Apoi înmulțim prima linie cu trei, a doua cu minus unu, iar a treia linie va fi egală cu suma primelor două linii:

(2−57143102−182038−20284)∼(2−57143102−182030000)∼(6−15213−4−3−102−182030000)∼(6−15213−4−3−1000000000)∼(2−571431000000000)

Alte transformări nu mai au rost. Vedem că matricea are rangul doi, rang A = 2. Pentru a scrie soluția generală a sistemului vom avea nevoie de doi parametri, pe care îi notăm s și t. Pentru a scrie soluția fundamentală vom avea nevoie de două soluții particulare.

Am ajuns acum la acest sistem de ecuații:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=0

Din a doua ecuație îl izolăm pe x3.

x3=−4x1−3x2

În locul lui x1 și x2 punem parametrii, adică s = x1 și t = x2. Atunci putem scrie x3 = −4s − 3t. Rămâne să îl aflăm pe x4. Îl aflăm din prima ecuație:

x4=−2s+5t−7(−4s−3t)x4=−2s+5t+28s+21tx4=26s+26tx4=26(s+t)

Soluția generală este deci egală cu: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Pentru a obține sistemul fundamental de soluții, trebuie să găsim două soluții particulare (adică două soluții concrete) care sunt liniar independente. Le găsim punând pentru parametri mai întâi s = 1, t = 0 și apoi s = 0, t = 1. Pentru prima pereche de parametri avem soluția particulară

X1=(x1,x2,x3,x4)=(1,0,−4,26)

iar pentru a doua pereche

X2=(x1,x2,x3,x4)=(0,1,−3,26).

Aceste soluții sunt liniar independente. Deoarece în soluția generală am folosit doi parametri, sunt suficiente două soluții particulare pentru a forma sistemul fundamental. Sistemul fundamental de soluții arată deci astfel

{(1,0,−4,26),(0,1,−3,26)}.

Putem verifica și că aceste două soluții sunt valide, înlocuindu-le în ecuațiile inițiale. Pentru X1 obținem aceste ecuații:

2⋅1−5⋅0+7⋅(−4)+26=04⋅1+3⋅0−4=02⋅1−18⋅0+20⋅(−4)+3⋅26=08⋅1−20⋅0+28⋅(−4)+4⋅26=0

După calcule avem:

2−28+26=04−4=02−80+78=08−112+104=0

Vedem că fiecare ecuație dă 0 = 0. Se pare că am calculat corect.

Capitole: Sisteme de ecuații liniare, Regula lui Cramer, Sisteme omogene