Sistemi lineari omogenei

Un sistema di equazioni si dice omogeneo se il secondo membro di ogni equazione è zero.

Definizione di sistema omogeneo

La forma generale di un sistema omogeneo di equazioni è la seguente:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Questo sistema contiene m equazioni in n incognite e i secondi membri di tutte le equazioni sono uguali a zero. Se non fossero uguali a zero, non si tratterebbe di un sistema omogeneo. Possiamo riscrivere il sistema precedente in forma di matrice: copiamo in una matrice tutti i coefficienti, cioè tutte le espressioni a_ij, nelle stesse posizioni che occupano nel sistema. La colonna di zeri a destra non la riportiamo nella matrice, perché è inutile. Otteniamo così:

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Questa matrice rappresenta il sistema di m equazioni in n incognite descritto sopra. Ogni riga della matrice corrisponde a un’equazione. L’intero sistema si può quindi scrivere come

$A x = 0$

Proprietà fondamentali del sistema

Dall’articolo sui sistemi di equazioni lineari e dal teorema di Rouché-Capelli possiamo ricavare alcune affermazioni interessanti sui sistemi omogenei.

Ogni sistema omogeneo ha soluzioni.
L’insieme di tutte le soluzioni di un sistema omogeneo contiene sempre la soluzione nulla. Se sostituiamo zero a tutte le incognite, otteniamo m equazioni 0 = 0.
Dal teorema di Rouché-Capelli sappiamo che per scrivere la soluzione generale di un sistema di equazioni servono n − k parametri, dove n è il numero delle incognite e k è il rango della matrice completa del sistema, che nel nostro caso è k = rk(A). Se n = k, non serve alcun parametro e il sistema ha un’unica soluzione, quella nulla. Inoltre n = k se e solo se la matrice A non contiene alcuna colonna linearmente dipendente (per una matrice quadrata questo significa che è invertibile).
Dal punto precedente segue anche che il sistema ha una soluzione non nulla se e solo se nella matrice A c’è una colonna linearmente dipendente.
Se il sistema ha più incognite che equazioni, ha una soluzione non nulla. Se ha più incognite che equazioni, allora k = rk(A) può essere al massimo uguale al numero delle equazioni, cioè m. E se vale k < n, allora n − k > 0 e quindi esistono altre soluzioni, che descriviamo con n − k parametri.

Proprietà dell’insieme delle soluzioni

La somma di due soluzioni qualsiasi del sistema Ax = 0 è ancora una soluzione del sistema. Se x₁ e x₂ sono soluzioni del sistema, allora valgono Ax₁ = 0 e Ax₂ = 0 e, per l’affermazione precedente, vale anche A(x₁ + x₂) = 0.

La dimostrazione è semplice. Supponiamo che valgano Ax₁ = 0 e Ax₂ = 0 e dimostriamo A(x₁ + x₂) = 0. L’addizione e la moltiplicazione di matrici soddisfano la proprietà distributiva, quindi possiamo scrivere

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Per ipotesi però Ax₁ = 0 e Ax₂ = 0, quindi l’espressione Ax₁ + Ax₂ si può riscrivere come 0+0. Otteniamo l’uguaglianza 0 = 0, quindi l’affermazione vale.

In concreto: se abbiamo due soluzioni del sistema, x₁ = (0; 5; 6) e x₂ = (7; 3; 5), allora è soluzione del sistema anche x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7; 5 + 3; 6 + 5) = (7; 8; 11).

Per ogni costante c ∈ ℝ il multiplo c di una soluzione del sistema è ancora una soluzione. Se x₁ è una soluzione del sistema Ax = 0, allora anche c · x₁ è una soluzione del sistema.

Anche questa dimostrazione è semplice. Supponiamo che x₁ sia una soluzione del sistema Ax = 0 e che c ∈ ℝ. Dimostriamo allora che vale l’uguaglianza

$A (c x_{1}) = 0$

poiché c è una costante numerica, possiamo raccoglierla davanti all’intera espressione:

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Per ipotesi vale Ax₁ = 0, quindi da c · Ax₁ otteniamo c · 0 = 0.

Conseguenza dei due punti precedenti è che qualsiasi combinazione lineare di soluzioni del sistema è ancora una soluzione dello stesso sistema.

Ora ci si può chiedere: se alcune soluzioni sono soltanto combinazioni lineari di altre, esiste un insieme di soluzioni con cui possiamo generare tutte le altre?

Proviamo a scrivere le soluzioni del sistema in una matrice. Cioè, se x₁ = (x₁₁; x₁₂; …; x_1n) è una soluzione, x₂ = (x₂₁; x₂₂; …; x_2n) è una soluzione, e così via per x_i, costruiamo la matrice F che contiene queste soluzioni come colonne:

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Poiché possiamo formare infinite combinazioni lineari diverse, e quindi infinite soluzioni, la matrice F sarà infinita. Ora ci interessa capire se possiamo ridurre la matrice F in modo che contenga solo un numero finito di colonne, con le quali generare tutte le altre soluzioni.

Quante colonne restano? La matrice F ha n righe, perché il sistema originale aveva n incognite, e ogni colonna rappresenta una soluzione. Il rango massimo possibile della matrice F è quindi proprio n. Se la matrice F ha più di n colonne, è certo che almeno una colonna è linearmente dipendente. Ne segue che l’intero insieme delle soluzioni può essere scritto in una matrice di dimensioni al massimo n × n, e le altre soluzioni si ottengono con combinazioni lineari. Qualsiasi altra colonna sarebbe sicuramente superflua. Resta da capire se non si possa ridurre ancora la dimensione della matrice F.

Sistema fondamentale di soluzioni

Dal teorema di Rouché-Capelli sappiamo che la soluzione generale del sistema Ax = 0 si può esprimere con n − k parametri, dove n è il numero delle incognite e k = rk(A). Indichiamo i parametri con t₁, t₂, …, t_{n − k}. Come potremmo generare, con questi parametri, due soluzioni linearmente indipendenti?

Nel primo caso sostituiamo al parametro t₁ uno e agli altri zero. Cioè t₁ = 1 e t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. Nel secondo caso facciamo lo stesso, ma spostiamo l’uno al secondo parametro: t₂ = 1 e t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Sostituendo questi parametri nella soluzione generale otteniamo due soluzioni diverse, linearmente indipendenti.

Esempio: sia

$(t_{1}; t_{2}; t_{3}; 2 t_{1}; 4 t_{3})$

la soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni con tre parametri. Scegliendo i parametri t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 otteniamo la soluzione particolare x₁ = (1; 0; 0; 2; 0), per t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 otteniamo x₂ = (0; 1; 0; 0; 0) e per t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 otteniamo x₃ = (0; 0; 1; 0; 4). Scriviamo le soluzioni particolari nella matrice F:

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Già dalle prime tre righe si vede chiaramente che le colonne sono linearmente indipendenti. Abbiamo quindi costruito tre soluzioni particolari diverse, linearmente indipendenti tra loro. Inoltre qualsiasi altra soluzione dipende linearmente da queste. Se scegliamo i parametri t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 e calcoliamo la soluzione, otteniamo x₄ = (1; 2; 0; 2; 0).

Questa soluzione però si può esprimere come x₁ + 2x₂ = (1; 0; 0; 2; 0) + 2(0; 1; 0; 0; 0) = (1; 2; 0; 2; 0). Allo stesso modo per le altre soluzioni. Abbiamo così ottenuto una matrice con tre colonne che definisce tutte le soluzioni del sistema di equazioni.

Il procedimento si può generalizzare. Se abbiamo un sistema Ax = 0 e la sua soluzione generale, che usa n − k parametri, allora la soluzione del sistema si può esprimere per mezzo di n − k soluzioni particolari linearmente indipendenti del sistema. Un tale insieme di soluzioni si chiama sistema fondamentale di soluzioni: è una base dello spazio delle soluzioni.

Queste soluzioni si ottengono, ad esempio, sostituendo successivamente a ciascun parametro t₁, t₂, …, t_{n − k} il valore uno, mentre i restanti parametri sono nulli. In questo modo otteniamo n − k soluzioni del sistema che sono linearmente indipendenti.

Questo non è l’unico modo per costruire n − k soluzioni particolari linearmente indipendenti del sistema. Al posto dell’uno possiamo sostituire al parametro t_i qualsiasi numero diverso da zero e otteniamo comunque soluzioni linearmente indipendenti.

Ripetiamo ancora una volta la definizione di sistema fondamentale di soluzioni del sistema Ax = 0: è un insieme di soluzioni particolari {x₁, x₂, …, x_{n − k}} tale che

x₁, x₂, …, x_{n − k} sono linearmente indipendenti,
qualsiasi soluzione del sistema Ax = 0 si può esprimere come combinazione lineare delle soluzioni particolari x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Esempio

Risolvi il sistema omogeneo di equazioni e determina il sistema fondamentale di soluzioni:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

La matrice dei coefficienti A ha la forma

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

Possiamo calcolare il determinante di questa matrice. È uguale a zero. La matrice dei coefficienti è quindi singolare e il sistema ha una soluzione non nulla. Troviamo la soluzione generale del sistema con il metodo di eliminazione di Gauss. L’ultima riga, la quarta, è uguale alla somma delle prime tre righe. Annulliamo quindi l’intera quarta riga. Poi moltiplichiamo la prima riga per tre, la seconda per meno uno, e la terza riga sarà uguale alla somma delle prime due:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Non ha senso proseguire con altre operazioni. Vediamo che la matrice ha rango due, rk(A) = 2. Per scrivere la soluzione generale del sistema ci serviranno due parametri, che chiamiamo s e t. Per scrivere il sistema fondamentale di soluzioni ci serviranno due soluzioni particolari.

Siamo arrivati a questo sistema di equazioni:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

Dalla seconda equazione isoliamo x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

Al posto di x₁ e x₂ sostituiamo i parametri, cioè s = x₁ e t = x₂. Allora possiamo scrivere x₃ = −4s − 3t. Resta da calcolare x₄. Lo ricaviamo dalla prima equazione:

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

La soluzione generale è quindi: (s; t; −4s − 3t; 26(s + t)). Per ottenere il sistema fondamentale di soluzioni dobbiamo trovare due soluzioni particolari (cioè due soluzioni concrete) linearmente indipendenti. Le troviamo sostituendo ai parametri prima s = 1, t = 0 e poi s = 0, t = 1. Per la prima coppia di parametri abbiamo la soluzione particolare

$X_{1} = (x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (1; 0; - 4; 26)$

e per la seconda coppia

$X_{2} = (x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (0; 1; - 3; 26) .$

Queste soluzioni sono linearmente indipendenti. Poiché nella soluzione generale abbiamo usato due parametri, per formare il sistema fondamentale di soluzioni ci bastano due soluzioni particolari. Il sistema fondamentale di soluzioni è quindi

${(1; 0; - 4; 26), (0; 1; - 3; 26)} .$

Possiamo anche verificare che queste due soluzioni sono valide sostituendole nelle equazioni di partenza. Per X₁ otteniamo queste equazioni:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

Dopo le semplificazioni abbiamo:

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

Vediamo che ogni equazione dà 0 = 0. Sembra che i calcoli siano corretti.

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