Homogene lineære ligningssystemer

Et ligningssystem kalder vi homogent, hvis der står nul på højre side af hver ligning.

Definition af et homogent system

Den almene form for et homogent ligningssystem ser sådan ud:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & = & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{array}$

Dette system indeholder m ligninger med n ubekendte, og højresiderne i alle ligningerne er lig med nul. Hvis de ikke var lig med nul, ville det ikke være et homogent ligningssystem. Det foregående ligningssystem kan vi skrive om til en matrix ved efter tur at skrive alle koefficienterne, altså alle udtrykkene a_ij, ind i matricen på de samme pladser, som de har i systemet. Den højre nulsøjle skriver vi ikke ind i matricen, for det er unødvendigt. Altså sådan:

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{array})$

Denne matrix repræsenterer det ovenfor beskrevne system af m ligninger med n ubekendte. Hver række i matricen svarer til én ligning. Hele systemet kan vi så skrive som

$A x = 0$

Grundlæggende egenskaber ved systemet

Ud fra artiklen om lineære ligningssystemer og Kronecker–Capellis sætning kan vi udlede nogle interessante påstande om homogene ligningssystemer.

Ethvert homogent system har en løsning.
Mængden af alle løsninger til et homogent system indeholder altid den trivielle løsning. Hvis vi sætter nul ind for alle variable, får vi m ligninger 0 = 0.
Af Kronecker–Capellis sætning ved vi, at man skal bruge n − k parametre for at skrive den fuldstændige løsning til et ligningssystem op, hvor n er antallet af variable, og k er rangen af systemets totalmatrix, i vores tilfælde k = rank(A). Hvis n = k, har vi ikke brug for nogen parameter, og systemet har kun én løsning, den trivielle. Der gælder n = k, netop når matricen A ikke indeholder nogen lineært afhængig søjle (for en kvadratisk matrix betyder det, at den er regulær).
Af det foregående punkt følger også, at systemet har en ikke-triviel løsning, hvis og kun hvis der i matricen A er en lineært afhængig søjle.
Hvis systemet har flere ubekendte end ligninger, har systemet en ikke-triviel løsning. Hvis der er flere ubekendte end ligninger, betyder det, at k = rank(A) højst kan være lig med antallet af ligninger, altså m. Og hvis k < n, så er n − k > 0, og der vil derfor findes andre løsninger, som vi beskriver ved hjælp af n − k parametre.

Egenskaber ved løsningsmængden

Summen af vilkårlige løsninger til systemet Ax = 0 er også en løsning til systemet. Hvis x₁ og x₂ er løsninger til systemet, gælder Ax₁ = 0 og Ax₂ = 0, og ifølge den foregående påstand gælder også A(x₁ + x₂) = 0.

Beviset er enkelt. Vi antager, at Ax₁ = 0 og Ax₂ = 0, og viser, at A(x₁ + x₂) = 0. Addition og multiplikation af matricer opfylder den distributive lov, så vi kan skrive

$A (x_{1} + x_{2}) = A x_{1} + A x_{2} .$

Ifølge antagelsen er Ax₁ = 0 og Ax₂ = 0, så udtrykket Ax₁ + Ax₂ kan vi skrive om til 0+0. Vi får ligningen 0 = 0, så sætningen gælder.

Konkret: Hvis vi har to løsninger til systemet: x₁ = (0, 5, 6) og x₂ = (7, 3, 5), så er også x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11) en løsning til systemet.

For enhver konstant c ∈ ℝ gælder, at c gange en løsning til systemet også er en løsning. Hvis x₁ er en løsning til systemet Ax = 0, så er også c · x₁ en løsning til systemet.

Beviset er igen enkelt. Vi antager, at x₁ er en løsning til systemet Ax = 0, og at c ∈ ℝ. Så viser vi, at der gælder ligheden

$A (c x_{1}) = 0$

Fordi c er en talkonstant, kan vi sætte den uden for hele udtrykket:

$A (c x_{1}) = c \cdot A x_{1}$

Ifølge antagelsen gælder Ax₁ = 0, så af c · Ax₁ får vi c · 0 = 0.

En følge af de to foregående punkter er, at enhver linearkombination af løsninger til systemet også er en løsning til dette system.

Nu melder spørgsmålet sig — hvis nogle af løsningerne blot er linearkombinationer af andre løsninger, findes der så en mængde af løsninger, som vi kan frembringe alle de andre løsninger ud fra?

Lad os prøve at skrive løsningerne til systemet ind i en matrix. Dvs. hvis x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) er en løsning, og x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) er en løsning, og så fremdeles for x_i, danner vi matricen F, som indeholder disse løsninger som sine søjler:

$F = (\begin{matrix} x_{11} & x_{21} & \dots \\ x_{12} & x_{22} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ x_{1 n} & x_{2 n} & \dots \end{matrix})$

Fordi vi kan danne uendelig mange forskellige linearkombinationer og dermed løsninger, bliver matricen F uendelig. Vi vil nu interessere os for, om matricen F kan gøres mindre, så den kun indeholder et endeligt antal søjler, som vi kan frembringe alle de andre løsninger ud fra.

Hvor mange søjler bliver der tilbage? Matricen F har n rækker, fordi det oprindelige system havde n variable, og hver søjle repræsenterer én løsning. Den størst mulige rang af matricen F er altså netop n. Hvis matricen F har flere end n søjler, er det sikkert, at mindst én søjle er lineært afhængig. Heraf følger, at vi kan skrive hele løsningsmængden ind i en matrix af størrelse højst n × n og beregne de øvrige løsninger ved hjælp af linearkombinationer. Enhver yderligere søjle ville helt sikkert være overflødig. Tilbage er spørgsmålet, om vi kan gøre matricen F endnu mindre.

Fundamentalsystem af løsninger

Af Kronecker–Capellis sætning ved vi, at den fuldstændige løsning til systemet Ax = 0 kan udtrykkes ved hjælp af n − k parametre, hvor n er antallet af variable, og k = rank(A). Vi kalder parametrene t₁, t₂, …, t_{n − k}. Hvordan kunne vi med disse parametre frembringe to lineært uafhængige løsninger?

I det første tilfælde sætter vi parameteren t₁ til 1 og de øvrige til nul. Altså t₁ = 1 og t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. I det andet tilfælde gør vi det samme, men flytter 1-tallet til den anden parameter: t₂ = 1 og t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Hvis vi sætter disse parametre ind i den fuldstændige løsning, får vi to forskellige løsninger, som er lineært uafhængige.

Eksempel: Lad

$(t_{1}, t_{2}, t_{3}, 2 t_{1}, 4 t_{3})$

være den fuldstændige løsning til et homogent ligningssystem med tre parametre. For valget af parametre t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 får vi den partikulære løsning x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), for t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 får vi x₂ = (0, 1, 0, 0, 0), og for t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 får vi x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Vi skriver de partikulære løsninger ind i matricen F:

$F = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$

Allerede af de første tre rækker kan man tydeligt se, at søjlerne er lineært uafhængige. Vi har dermed opstillet tre forskellige partikulære løsninger, som er indbyrdes lineært uafhængige. Samtidig er enhver anden løsning lineært afhængig af dem. Hvis vi vælger parametrene t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 og beregner løsningen, får vi x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Den løsning kan vi dog udtrykke som x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). Tilsvarende for de øvrige løsninger. Vi har dermed fået en matrix, som har tre søjler og definerer alle løsninger til ligningssystemet.

Fremgangsmåden kan vi generalisere. Hvis vi har et system Ax = 0 og dets fuldstændige løsning, som bruger n − k parametre, så kan vi udtrykke systemets løsninger ved hjælp af n − k lineært uafhængige partikulære løsninger til systemet. En sådan mængde af løsninger kalder vi et fundamentalsystem af løsninger.

Disse løsninger får vi for eksempel ved efter tur at sætte hver af parametrene t₁, t₂, …, t_{n − k} til 1, mens de øvrige parametre er nul. Dermed får vi n − k løsninger til systemet, som er lineært uafhængige.

Dette er dog ikke den eneste fremgangsmåde til at danne n − k lineært uafhængige partikulære løsninger til systemet. Vi kan sætte et vilkårligt tal forskelligt fra nul ind for parameteren t_i i stedet for 1, og vi får stadig lineært uafhængige løsninger.

Endnu en gang definitionen af et fundamentalsystem af løsninger til systemet Ax = 0: Det er en mængde af partikulære løsninger {x₁, x₂, …, x_{n − k}}, således at

x₁, x₂, …, x_{n − k} er lineært uafhængige,
enhver løsning til systemet Ax = 0 kan udtrykkes som en linearkombination af de partikulære løsninger x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Eksempel

Løs det homogene ligningssystem og bestem et fundamentalsystem af løsninger:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ 2 x_{1} & - & 18 x_{2} & + & 20 x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 0 \\ 8 x_{1} & - & 20 x_{2} & + & 28 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 0 \end{array}$

Systemets matrix A får formen

$A = (\begin{matrix} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{matrix})$

Vi kan beregne determinanten af denne matrix. Den er lig med nul. Systemets matrix er altså singulær, og systemet har en ikke-triviel løsning. Vi finder systemets fuldstændige løsning med Gauss-elimination. Den sidste, fjerde, række er lig med summen af de tre første rækker. Dermed nulstiller vi hele den fjerde række. Derefter ganger vi første række med tre, anden række med minus én, og tredje række bliver lig med summen af de to første rækker:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 8 & - 20 & 28 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 18 & 20 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 15 & 21 & 3 \\ - 4 & - 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 2 & - 5 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Yderligere omformninger giver ingen mening. Vi ser, at matricen har rang to, rank(A) = 2. Til at skrive systemets fuldstændige løsning op skal vi bruge to parametre, vi kalder dem s og t. Til at skrive fundamentalløsningen op skal vi bruge to partikulære løsninger.

Nu er vi nået frem til dette ligningssystem:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \\ 4 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array}$

I den anden ligning isolerer vi x₃.

$x_{3} = - 4 x_{1} - 3 x_{2}$

For x₁ og x₂ sætter vi parametre ind, så s = x₁ og t = x₂. Så kan vi skrive, at x₃ = −4s − 3t. Tilbage er at beregne x₄. Det finder vi af den første ligning:

$\begin{array}{rcl} x_{4} & = & - 2 s + 5 t - 7 (- 4 s - 3 t) \\ x_{4} & = & - 2 s + 5 t + 28 s + 21 t \\ x_{4} & = & 26 s + 26 t \\ x_{4} & = & 26 (s + t) \end{array}$

Den fuldstændige løsning er altså lig med: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). For at få et fundamentalsystem af løsninger skal vi finde to partikulære løsninger (dvs. to konkrete løsninger), som er lineært uafhængige. Dem finder vi ved først at sætte s = 1, t = 0 og derefter s = 0, t = 1 ind for parametrene. For det første par af parametre har vi den partikulære løsning

$X_{1} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (1, 0, - 4, 26)$

og for det andet par

$X_{2} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, 1, - 3, 26) .$

Disse løsninger er lineært uafhængige. Fordi vi brugte to parametre i den fuldstændige løsning, er to partikulære løsninger nok til at danne et fundamentalsystem. Fundamentalsystemet af løsninger ser altså sådan ud

${(1, 0, - 4, 26), (0, 1, - 3, 26)} .$

Vi kan også kontrollere, at de to løsninger er gyldige, ved at sætte dem ind i de oprindelige ligninger. For X₁ får vi disse ligninger:

$\begin{array}{cccccccccccc} 2 \cdot 1 & - & 5 \cdot 0 & + & 7 \cdot (- 4) & + & 26 & = & 0 \\ 4 \cdot 1 & + & 3 \cdot 0 & - & 4 & = & 0 \\ 2 \cdot 1 & - & 18 \cdot 0 & + & 20 \cdot (- 4) & + & 3 \cdot 26 & = & 0 \\ 8 \cdot 1 & - & 20 \cdot 0 & + & 28 \cdot (- 4) & + & 4 \cdot 26 & = & 0 \end{array}$

Efter reduktion har vi:

$\begin{array}{rcl} 2 - 28 + 26 & = & 0 \\ 4 - 4 & = & 0 \\ 2 - 80 + 78 & = & 0 \\ 8 - 112 + 104 & = & 0 \end{array}$

Vi ser, at hver ligning giver 0 = 0. Det ser ud til, at vi har regnet rigtigt.

Kapitler: Lineære ligningssystemer, Cramers regel, Homogene lineære ligningssystemer

« Forrige: Cramers regel

Næste: Vektorrum »