Однорідні системи лінійних рівнянь

Систему рівнянь називаємо однорідною, якщо в правій частині кожного рівняння стоїть нуль.

Означення однорідної системи

Загальний вигляд однорідної системи рівнянь такий:

$$ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&0\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&=&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&0\\ \end{array} $$

Ця система містить m рівнянь із n невідомими, а праві частини всіх рівнянь дорівнюють нулю. Якби вони не дорівнювали нулю, то система не була б однорідною. Попередню систему рівнянь можна переписати в матрицю: послідовно виписуємо в матрицю всі коефіцієнти, тобто всі вирази a_ij, причому на тих самих позиціях, де вони стоять у системі. Правий нульовий стовпець у матрицю не переписуємо, бо це зайве. Отже, так:

$$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{array} \right) $$

Ця матриця відповідає описаній вище системі з m рівнянь і n невідомих. Кожен рядок матриці відповідає одному рівнянню. Усю систему тоді можна записати як

$$Ax,=,0$$

Основні властивості системи

Зі статті про системи лінійних рівнянь і з теореми Кронекера–Капеллі (чеською її називають теоремою Фробеніуса) можна отримати кілька цікавих тверджень про однорідні системи рівнянь.

• Кожна однорідна система має розв'язок.
• Множина всіх розв'язків однорідної системи завжди містить нульовий розв'язок, тобто тривіальний розв'язок. Якщо замість усіх змінних підставити нуль, отримаємо m рівнянь 0 = 0.
• З теореми Кронекера–Капеллі знаємо, що для запису загального розв'язку системи рівнянь потрібно n − k параметрів, де n — кількість змінних, а k — ранг розширеної матриці системи, у нашому випадку $k = \operatorname{rank}(A)$. Якщо n = k, то жодного параметра не потрібно, і система має єдиний, нульовий, розв'язок. Рівність n = k виконується тоді й лише тоді, коли в матриці A немає жодного лінійно залежного стовпця (для квадратної матриці це означає, що вона невироджена).
• З попереднього пункту також випливає, що система має нетривіальний розв'язок тоді й лише тоді, коли в матриці A є лінійно залежний стовпець.
• Якщо в системі більше невідомих, ніж рівнянь, то вона має нетривіальний розв'язок. Якщо невідомих більше, ніж рівнянь, то $k = \operatorname{rank}(A)$ може дорівнювати щонайбільше кількості рівнянь, тобто m. А якщо k < n, то n − k > 0, і тому існуватимуть інші розв'язки, які опишемо за допомогою n − k параметрів.

Властивості множини розв'язків

• Сума довільних розв'язків системи Ax = 0 також є розв'язком системи. Якщо x₁ і x₂ — розв'язки системи, то виконується Ax₁ = 0 і Ax₂ = 0, а за попереднім твердженням виконується також A(x₁ + x₂) = 0.

Доведення просте. Припустімо, що Ax₁ = 0 і Ax₂ = 0, та доведемо A(x₁ + x₂) = 0. Додавання й множення матриць задовольняють розподільну властивість, тож можемо написати

$$A(x_1+x_2) = Ax_1+Ax_2.$$

Але за припущенням Ax₁ = 0 і Ax₂ = 0, тому вираз Ax₁ + Ax₂ можна переписати як 0+0. Отримуємо рівність 0 = 0, отже, твердження правильне.

Конкретно: якщо маємо два розв'язки системи: x₁ = (0; 5; 6) і x₂ = (7; 3; 5), то розв'язком системи є й x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7; 5 + 3; 6 + 5) = (7; 8; 11).

• Для кожної сталої c ∈ ℝ добуток розв'язку системи на число c також є розв'язком. Якщо x₁ — розв'язок системи Ax = 0, то й c · x₁ — розв'язок системи.

Доведення знову просте. Припустімо, що x₁ — розв'язок системи Ax = 0 і c ∈ ℝ. Доведемо, що виконується рівність

$$A(cx_1)=0$$

Оскільки c — числова стала, її можна винести за дужки перед усім виразом:

$$A(cx_1) = c\cdot Ax_1$$

За припущенням Ax₁ = 0, тож з c · Ax₁ отримуємо c · 0 = 0.

• Наслідком двох попередніх пунктів є те, що будь-яка лінійна комбінація розв'язків системи також є розв'язком цієї системи.

Тепер виникає запитання: якщо деякі розв'язки є лише лінійними комбінаціями інших розв'язків, чи існує така множина розв'язків, за допомогою якої можна згенерувати всі інші розв'язки?

Спробуймо записати розв'язки системи в матрицю. Тобто якщо $x_1 = (x_{11}; x_{12}; …; x_{1n})$ — розв'язок і $x_2 = (x_{21}; x_{22}; …; x_{2n})$ — розв'язок і так далі для x_i, утворимо матрицю F, стовпцями якої будуть ці розв'язки:

$$ F=\begin{pmatrix} x_{11}&x_{21}&…\\ x_{12}&x_{22}&…\\ \vdots&\vdots&\ddots\\ x_{1n}&x_{2n}&… \end{pmatrix} $$

Оскільки можна утворити нескінченно багато різних лінійних комбінацій, а отже й розв'язків, матриця F буде нескінченною. Нас тепер цікавить, чи можна матрицю F зменшити так, щоб вона містила лише скінченну кількість стовпців, за допомогою яких можна згенерувати всі інші розв'язки.

Скільки стовпців лишиться? Матриця F має n рядків, бо початкова система мала n змінних, а кожен стовпець є одним розв'язком. Максимально можливий ранг матриці F тому дорівнює саме n. Якщо матриця F має більше ніж n стовпців, то принаймні один стовпець обов'язково лінійно залежний. Звідси випливає, що всю множину розв'язків можна записати в матрицю максимального розміру n × n, а решту розв'язків обчислити за допомогою лінійних комбінацій. Будь-який додатковий стовпець був би безперечно зайвим. Лишається питання, чи не можна розмір матриці F ще зменшити.

Фундаментальна система розв'язків

З теореми Кронекера–Капеллі знаємо, що загальний розв'язок системи Ax = 0 можна виразити за допомогою n − k параметрів, де n — кількість змінних, а $k = \operatorname{rank}(A)$. Параметри позначимо t₁, t₂, …, t_{n − k}. Як за допомогою цих параметрів отримати два лінійно незалежні розв'язки?

У першому випадку підставимо замість параметра t₁ одиницю, а замість решти — нуль. Тобто t₁ = 1 і t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. У другому випадку зробимо те саме, тільки одиницю посунемо до другого параметра: t₂ = 1 і t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Якщо підставити ці параметри в загальний розв'язок, отримаємо два різні розв'язки, які лінійно незалежні.

Приклад: нехай

$$(t_1; t_2; t_3; 2t_1; 4t_3)$$

є загальним розв'язком якоїсь однорідної системи рівнянь із трьома параметрами. Для вибору параметрів t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 отримаємо частинний розв'язок x₁ = (1; 0; 0; 2; 0), для t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 отримаємо x₂ = (0; 1; 0; 0; 0), а для t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 отримаємо x₃ = (0; 0; 1; 0; 4). Запишемо частинні розв'язки в матрицю F:

$$F=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 2&0&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix} $$

Вже з перших трьох рядків чітко видно, що стовпці лінійно незалежні. Отже, ми склали три різні частинні розв'язки, які лінійно незалежні між собою. Водночас будь-який інший розв'язок лінійно залежний. Якщо вибрати параметри t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 і обчислити розв'язок, отримаємо x₄ = (1; 2; 0; 2; 0).

Цей розв'язок, однак, можна виразити як x₁ + 2x₂ = (1; 0; 0; 2; 0) + 2(0; 1; 0; 0; 0) = (1; 2; 0; 2; 0). Так само й для решти розв'язків. Тож ми отримали матрицю з трьома стовпцями, яка задає всі розв'язки системи рівнянь.

Процедуру можна узагальнити. Якщо маємо систему Ax = 0 та її загальний розв'язок, що використовує n − k параметрів, то розв'язок системи можна виразити за допомогою n − k лінійно незалежних частинних розв'язків системи. Таку множину розв'язків називаємо фундаментальною системою розв'язків.

Ці розв'язки отримуємо, наприклад, так: замість кожного параметра t₁, t₂, …, t_{n − k} послідовно підставляємо одиницю, а решта параметрів нульові. Так отримуємо n − k лінійно незалежних розв'язків системи.

Це, втім, не єдиний спосіб побудувати n − k лінійно незалежних частинних розв'язків системи. Замість параметра t_i можна підставити не одиницю, а будь-яке ненульове число, і ми так само отримаємо лінійно незалежні розв'язки.

Ще раз означення фундаментальної системи розв'язків системи Ax = 0: це множина частинних розв'язків {x₁, x₂, …, x_{n − k}} така, що

• x₁, x₂, …, x_{n − k} лінійно незалежні,
• будь-який розв'язок системи Ax = 0 можна виразити лінійною комбінацією частинних розв'язків x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Приклад

Розв'яжи однорідну систему рівнянь і визнач фундаментальну систему розв'язків:

$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2x_1&-&5x_2&+&7x_3&+&x_4&=&0\\ 4x_1&+&3x_2&+&x_3&&&=&0\\ 2x_1&-&18x_2&+&20x_3&+&3x_4&=&0\\ 8x_1&-&20x_2&+&28x_3&+&4x_4&=&0\\ \end{array} $$

Матриця системи A матиме вигляд

$$ A=\begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 8&-20&28&4 \end{pmatrix} $$

Можемо обчислити визначник цієї матриці. Він дорівнює нулю. Отже, матриця системи вироджена, і система має нетривіальний розв'язок. Знайдемо загальний розв'язок системи методом Гаусса. Останній, четвертий, рядок дорівнює сумі перших трьох рядків. Тож увесь четвертий рядок занулимо. Потім помножимо перший рядок на три, другий — на мінус одиницю, а третій рядок дорівнюватиме сумі перших двох:

$$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 8&-20&28&4 \end{pmatrix} &\sim& \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 2&-18&20&3\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-15&21&3\\ -4&-3&-1&0\\ 2&-18&20&3\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 6&-15&21&3\\ -4&-3&-1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\sim& \begin{pmatrix} 2&-5&7&1\\ 4&3&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$$

Подальші перетворення вже не мають сенсу. Бачимо, що матриця має ранг два, $\operatorname{rank}(A) = 2$. Для запису загального розв'язку системи потрібні два параметри, назвемо їх s і t. Для запису фундаментальної системи розв'язків потрібні два частинні розв'язки.

Тепер ми дійшли до такої системи рівнянь:

$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2x_1&-&5x_2&+&7x_3&+&x_4&=&0\\ 4x_1&+&3x_2&+&x_3&&&=&0\\ \end{array} $$

З другого рівняння виразимо x₃.

$$x_3=-4x_1-3x_2$$

Замість x₁ і x₂ підставимо параметри, тобто s = x₁ і t = x₂. Тоді можемо написати, що x₃ = −4s − 3t. Лишається обчислити x₄. Знайдемо його з першого рівняння:

$$\begin{eqnarray} x_4&=&-2s+5t-7(-4s-3t)\\ x_4&=&-2s+5t+28s+21t\\ x_4&=&26s+26t\\ x_4&=&26(s+t) \end{eqnarray}$$

Отже, загальний розв'язок дорівнює: (s; t; −4s − 3t; 26(s + t)). Щоб отримати фундаментальну систему розв'язків, треба знайти два частинні розв'язки (тобто два конкретні розв'язки), які лінійно незалежні. Знайдемо їх так: спершу підставимо замість параметрів s = 1, t = 0, а потім s = 0, t = 1. Для першої пари параметрів маємо частинний розв'язок

$$X_1=(x_1; x_2; x_3; x_4) = (1; 0; -4; 26)$$

а для другої пари

$$X_2=(x_1; x_2; x_3; x_4) = (0; 1; -3; 26).$$

Ці розв'язки лінійно незалежні. Оскільки в загальному розв'язку ми використали два параметри, для утворення фундаментальної системи досить двох частинних розв'язків. Фундаментальна система розв'язків виглядає так

$$\left\{(1; 0; -4; 26), (0; 1; -3; 26)\right\}.$$

Можемо також перевірити, що ці два розв'язки правильні, підставивши їх у вихідні рівняння. Для X₁ отримуємо такі рівняння:

$$ \begin{array}{cccccccccccc} 2\cdot1&-&5\cdot0&+&7\cdot(-4)&+&26&=&0\\ 4\cdot1&+&3\cdot0&-&4&&&=&0\\ 2\cdot1&-&18\cdot0&+&20\cdot(-4)&+&3\cdot26&=&0\\ 8\cdot1&-&20\cdot0&+&28\cdot(-4)&+&4\cdot26&=&0\\ \end{array} $$

Після спрощення маємо:

$$\begin{eqnarray} 2-28+26&=&0\\ 4-4&=&0\\ 2-80+78&=&0\\ 8-112+104&=&0 \end{eqnarray}$$

Бачимо, що кожне рівняння дає 0 = 0. Схоже, обчислення правильні.