✖

Homogeeniset yhtälöryhmät

Yhtälöryhmää sanotaan homogeeniseksi, jos jokaisen yhtälön oikealla puolella on nolla.

Homogeenisen yhtälöryhmän määritelmä

Homogeenisen yhtälöryhmän yleinen muoto näyttää tältä:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0

Tässä yhtälöryhmässä on m yhtälöä ja n tuntematonta, ja kaikkien yhtälöiden oikeat puolet ovat nollia. Jos ne eivät olisi nollia, ryhmä ei olisi homogeeninen. Edellinen yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa matriisiksi kirjoittamalla matriisiin järjestyksessä kaikki kertoimet, eli kaikki lausekkeet aij, samoille paikoille, joilla ne ovat yhtälöryhmässä. Oikeaa nollasaraketta ei tarvitse kirjoittaa matriisiin, koska se on turha. Siis näin:

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn)

Tämä matriisi esittää edellä kuvattua yhtälöryhmää, jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta. Jokainen matriisin rivi vastaa yhtä yhtälöä. Koko ryhmä voidaan sitten kirjoittaa muodossa

Ax=0

Ryhmän perusominaisuudet

Lineaarisia yhtälöryhmiä käsittelevästä artikkelista ja Kronecker–Capellin lauseesta saadaan useita mielenkiintoisia väitteitä homogeenisista yhtälöryhmistä.

  • Jokaisella homogeenisella yhtälöryhmällä on ratkaisu.
  • Homogeenisen yhtälöryhmän kaikkien ratkaisujen joukko sisältää aina nollaratkaisun eli triviaaliratkaisun. Kun kaikkien muuttujien paikalle sijoitetaan nolla, saadaan m yhtälöä 0 = 0.
  • Kronecker–Capellin lauseesta tiedetään, että yhtälöryhmän yleisen ratkaisun kirjoittamiseen tarvitaan n − k parametria, missä n on muuttujien lukumäärä ja k on ryhmän laajennetun matriisin aste, tässä tapauksessa k = rank(A). Jos n = k, parametreja ei tarvita lainkaan, ja ryhmällä on vain yksi ratkaisu, nollaratkaisu. Toisaalta n = k täsmälleen silloin, kun matriisissa A ei ole yhtään lineaarisesti riippuvaa saraketta (neliömatriisilla se tarkoittaa, että matriisi on säännöllinen).
  • Edellisestä kohdasta seuraa myös, että yhtälöryhmällä on nollasta poikkeava ratkaisu täsmälleen silloin, kun matriisissa A on jokin lineaarisesti riippuva sarake.
  • Jos yhtälöryhmässä on enemmän tuntemattomia kuin yhtälöitä, sillä on nollasta poikkeava ratkaisu. Jos tuntemattomia on enemmän kuin yhtälöitä, aste k = rank(A) voi olla enintään yhtälöiden lukumäärä, eli m. Ja jos k < n, niin n − k > 0, joten on olemassa muitakin ratkaisuja, jotka kirjoitetaan n − k parametrin avulla.

Ratkaisujoukon ominaisuudet

  • Yhtälöryhmän Ax = 0 mielivaltaisten ratkaisujen summa on myös ryhmän ratkaisu. Jos x1 ja x2 ovat ryhmän ratkaisuja, niin Ax1 = 0 ja Ax2 = 0, ja edellisen väitteen mukaan pätee myös A(x1 + x2) = 0.

Todistus on yksinkertainen. Oletetaan, että Ax1 = 0 ja Ax2 = 0, ja osoitetaan, että A(x1 + x2) = 0. Matriisien yhteen- ja kertolasku toteuttavat osittelulain, joten voidaan kirjoittaa

A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

Oletuksen mukaan kuitenkin Ax1 = 0 ja Ax2 = 0, joten lauseke Ax1 + Ax2 voidaan kirjoittaa muotoon 0+0. Saadaan yhtälö 0 = 0, joten väite pätee.

Konkreettisesti: jos ryhmällä on kaksi ratkaisua x1 = (0, 5, 6) ja x2 = (7, 3, 5), niin ryhmän ratkaisu on myös x3 = x1 + x2 = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11).

  • Jokaiselle vakiolle c ∈ ℝ pätee, että ryhmän ratkaisun c-kertainen on myös ratkaisu. Jos x1 on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisu, niin myös c · x1 on ryhmän ratkaisu.

Todistus on taas yksinkertainen. Oletetaan, että x1 on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisu ja c ∈ ℝ. Osoitetaan, että pätee yhtälö

A(cx1)=0

Koska c on lukuvakio, se voidaan erottaa yhteiseksi tekijäksi koko lausekkeen eteen:

A(cx1)=c⋅Ax1

Oletuksen mukaan Ax1 = 0, joten lausekkeesta c · Ax1 saadaan c · 0 = 0.

  • Kahden edellisen kohdan seurauksena mikä tahansa yhtälöryhmän ratkaisujen lineaarikombinaatio on myös tämän ryhmän ratkaisu.

Nyt herää kysymys: jos jotkin ratkaisut ovat vain muiden ratkaisujen lineaarikombinaatioita, onko olemassa jokin ratkaisujen joukko, jonka avulla pystytään tuottamaan kaikki muut ratkaisut?

Yritetään nyt kirjoittaa yhtälöryhmän ratkaisut matriisiin. Siis jos x1 = (x11, x12, …, x1n) on ratkaisu ja x2 = (x21, x22, …, x2n) on ratkaisu ja niin edelleen kaikille xi, muodostetaan matriisi F, jonka sarakkeina ovat nämä ratkaisut:

F=(x11x21…x12x22…⋮⋮⋱x1nx2n…)

Koska erilaisia lineaarikombinaatioita, ja siis ratkaisuja, voidaan muodostaa äärettömän monta, matriisi F on ääretön. Nyt ollaan kiinnostuneita siitä, voiko matriisia F pienentää niin, että siinä on vain äärellinen määrä sarakkeita, joiden avulla voidaan tuottaa kaikki muut ratkaisut.

Montako saraketta jää jäljelle? Matriisissa F on n riviä, koska alkuperäisessä ryhmässä oli n muuttujaa ja jokainen sarake esittää yhtä ratkaisua. Matriisin F suurin mahdollinen aste on siis täsmälleen n. Jos matriisissa F on yli n saraketta, on varmaa, että ainakin yksi sarake on lineaarisesti riippuva. Tästä seuraa, että koko ratkaisujoukko voidaan kirjoittaa matriisiin, jonka suurin koko on n × n, ja muut ratkaisut voidaan laskea lineaarikombinaatioilla. Mikä tahansa lisäsarake olisi varmasti turha. Jää kysymys, voiko matriisin F kokoa vielä pienentää.

Ratkaisujen perusjärjestelmä

Kronecker–Capellin lauseesta tiedetään, että yhtälöryhmän Ax = 0 yleinen ratkaisu voidaan ilmaista n − k parametrin avulla, missä n on muuttujien lukumäärä ja k = rank(A). Merkitään parametreja t1, t2, …, tn − k. Miten näiden parametrien avulla saataisiin tuotettua kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua?

Ensimmäisessä tapauksessa parametrin t1 paikalle sijoitetaan yksi ja muiden paikalle nolla. Siis t1 = 1 ja t2 = t3 = … = tn − k = 0. Toisessa tapauksessa tehdään sama, mutta ykkönen siirretään toiselle parametrille: t2 = 1 ja t1 = t3 = t4 = … = tn − k = 0. Kun nämä parametrit sijoitetaan yleiseen ratkaisuun, saadaan kaksi erilaista ratkaisua, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia.

Esimerkki: olkoon

(t1,t2,t3,2t1,4t3)

jonkin homogeenisen yhtälöryhmän yleinen ratkaisu, jossa on kolme parametria. Parametrien valinnalla t1 = 1, t2 = t3 = 0 saadaan yksittäisratkaisu x1 = (1, 0, 0, 2, 0), valinnalla t1 = t3 = 0, t2 = 1 saadaan x2 = (0, 1, 0, 0, 0) ja valinnalla t1 = t2 = 0, t3 = 1 saadaan x3 = (0, 0, 1, 0, 4). Kirjoitetaan yksittäisratkaisut matriisiin F:

F=(100010001200004)

Jo kolmesta ensimmäisestä rivistä nähdään selvästi, että sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Näin on muodostettu kolme erilaista yksittäisratkaisua, jotka ovat keskenään lineaarisesti riippumattomia. Samalla pätee, että mikä tahansa muu ratkaisu on lineaarisesti riippuva. Jos valitaan parametrit t1 = 1, t2 = 2, t3 = 0 ja lasketaan ratkaisu, saadaan x4 = (1, 2, 0, 2, 0).

Tämä ratkaisu voidaan kuitenkin ilmaista muodossa x1 + 2x2 = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). Samoin muille ratkaisuille. Näin saatiin matriisi, jossa on kolme saraketta ja joka määrittää kaikki yhtälöryhmän ratkaisut.

Menettely voidaan yleistää. Jos yhtälöryhmän Ax = 0 yleisessä ratkaisussa käytetään n − k parametria, ryhmän ratkaisu voidaan ilmaista n − k lineaarisesti riippumattoman yksittäisratkaisun avulla. Tällaista ratkaisujoukkoa sanotaan ratkaisujen perusjärjestelmäksi.

Nämä ratkaisut saadaan esimerkiksi sijoittamalla jokaisen parametrin t1, t2, …, tn − k paikalle vuorotellen yksi, jolloin muut parametrit ovat nollia. Näin saadaan n − k ryhmän ratkaisua, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia.

Tämä ei kuitenkaan ole ainoa tapa muodostaa n − k lineaarisesti riippumatonta yksittäisratkaisua. Parametrin ti paikalle voidaan ykkösen sijaan sijoittaa mikä tahansa nollasta poikkeava luku, ja silti saadaan lineaarisesti riippumattomat ratkaisut.

Vielä kerran ratkaisujen perusjärjestelmän määritelmä yhtälöryhmälle Ax = 0: se on yksittäisratkaisujen joukko {x1, x2, …, xn − k}, jolle pätee, että

  • x1, x2, …, xn − k ovat lineaarisesti riippumattomia,
  • mikä tahansa yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisu voidaan ilmaista yksittäisratkaisujen x1, x2, …, xn − k lineaarikombinaationa.

Esimerkki

Ratkaise homogeeninen yhtälöryhmä ja määritä ratkaisujen perusjärjestelmä:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=02x1−18x2+20x3+3x4=08x1−20x2+28x3+4x4=0

Ryhmän kerroinmatriisi A on muotoa

A=(2−57143102−182038−20284)

Voidaan laskea tämän matriisin determinantti. Se on nolla. Ryhmän kerroinmatriisi on siis singulaarinen, ja ryhmällä on nollasta poikkeava ratkaisu. Etsitään yhtälöryhmän yleinen ratkaisu Gaussin eliminoinnilla. Viimeinen, neljäs rivi on kolmen ensimmäisen rivin summa. Nollataan siis koko neljäs rivi. Sen jälkeen kerrotaan ensimmäinen rivi kolmella, toinen rivi luvulla miinus yksi, ja kolmas rivi on kahden ensimmäisen rivin summa:

(2−57143102−182038−20284)∼(2−57143102−182030000)∼(6−15213−4−3−102−182030000)∼(6−15213−4−3−1000000000)∼(2−571431000000000)

Lisämuunnoksista ei ole enää hyötyä. Nähdään, että matriisin aste on kaksi, rank(A) = 2. Yleisen ratkaisun kirjoittamiseen tarvitaan kaksi parametria, jotka nimetään s:ksi ja t:ksi. Ratkaisujen perusjärjestelmän kirjoittamiseen tarvitaan kaksi yksittäisratkaisua.

Nyt on päädytty tähän yhtälöryhmään:

2x1−5x2+7x3+x4=04x1+3x2+x3=0

Ratkaistaan toisesta yhtälöstä x3.

x3=−4x1−3x2

Muuttujien x1 ja x2 paikalle sijoitetaan parametrit, eli s = x1 ja t = x2. Silloin voidaan kirjoittaa x3 = −4s − 3t. Jäljellä on x4:n laskeminen. Se selviää ensimmäisestä yhtälöstä:

x4=−2s+5t−7(−4s−3t)x4=−2s+5t+28s+21tx4=26s+26tx4=26(s+t)

Yleinen ratkaisu on siis: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Jotta saadaan ratkaisujen perusjärjestelmä, täytyy löytää kaksi yksittäisratkaisua (eli kaksi konkreettista ratkaisua), jotka ovat lineaarisesti riippumattomia. Ne löydetään sijoittamalla parametrien paikalle ensin s = 1, t = 0 ja sitten s = 0, t = 1. Ensimmäisellä parametriparilla saadaan yksittäisratkaisu

X1=(x1,x2,x3,x4)=(1,0,−4,26)

ja toisella parilla

X2=(x1,x2,x3,x4)=(0,1,−3,26).

Nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia. Koska yleisessä ratkaisussa käytettiin kahta parametria, ratkaisujen perusjärjestelmän muodostamiseen riittää kaksi yksittäisratkaisua. Ratkaisujen perusjärjestelmä on siis seuraava

{(1,0,−4,26),(0,1,−3,26)}.

Voidaan myös tarkistaa, että nämä kaksi ratkaisua ovat päteviä, sijoittamalla ne alkuperäisiin yhtälöihin. Ratkaisulle X1 saadaan nämä yhtälöt:

2⋅1−5⋅0+7⋅(−4)+26=04⋅1+3⋅0−4=02⋅1−18⋅0+20⋅(−4)+3⋅26=08⋅1−20⋅0+28⋅(−4)+4⋅26=0

Sievennettynä saadaan:

2−28+26=04−4=02−80+78=08−112+104=0

Nähdään, että jokaisesta yhtälöstä tulee 0 = 0. Laskut näyttävät olevan oikein.

Luvut: Lineaariset yhtälöryhmät, Cramerin sääntö, Homogeeniset yhtälöryhmät