Obsah pravidelného mnohoúhelníku

Pravidelný mnohoúhelník je třeba čtverec — je to mnohoúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny úhly stejně velké. Například takto vypadá pravidelný osmiúhelník:

Jak bychom vypočítali obsah takového pravidelného osmiúhelníku, pokud známe délku jeho strany? Pro příklad, dejme tomu, že strana má délku a = 10. Pomůžeme si tak, že rozdělíme osmiúhelník na osm shodných trojúhelníků:

Tím jsme si zjednodušili práci — nyní nám stačí spočítat obsah jednoho z trojúhelníků a tento obsah vynásobíme osmi, čímž získáme obsah celého osmiúhelníku. Co o těchto trojúhelnících víme? Jsou to rovnoramenné trojúhelníky — délky dvou stran, které směřují ze středu S, jsou vždy stejně dlouhé a délka strany osmiúhelníku je jiná (pouze šestiúhelník můžeme rozdělit na trojúhelníky, které mají stejně dlouhé všechny strany). Tedy délka strany FS je stejná jako délka strany ES.

Jaký úhel svírají u vrcholu S? Tj. jaký je například úhel ∠FSE? Vidíme, že všechny trojúhelníky jsou stejné a všechny úhly u vrcholu S tedy musí mít stejnou velikost. Zároveň víme, že když sečteme velikosti všech těchto úhlů, získáme 360 stupňů — jednu plnou obrátku. Velikost úhlu ∠FSE tedy musí být rovna 360 děleno počtem úhlů, tj. děleno počtem trojúhelníků.

$$\mathrm{\angle }FSE=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$$

Protože součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven 180°, a protože máme rovnoramenný trojúhelník, musí platit, že zbylé dva úhly mají shodnou velikost 67,5°:

Jak nyní vypočítáme obsah rovnoramenného trojúhelníku? Délku strany FE známe ze zadání, to je |FE| = 10. Narýsujeme si nyní výšku trojúhelníku, která prochází bodem S:

Tato úsečka SP_s nám rozdělila trojúhelník na dva menší trojúhelníky, které jsou ale zase stejné — jen jsou zrcadlově otočené. Pojďme trojúhelníky trochu přeskupit. Vezmeme trojúhelník FSP_s a přesuneme ho tak, aby obrazec tvořil obdélník:

Tento obdélník SF₁EP_s má stejný obsah jako náš trojúhelník FSE. Přitom obsah obdélníku vypočítáme jako součin délek jeho dvou stran:

$$S_{◻}=|v_s|\cdot |P_{s}E|$$

Délku úsečky P_sE známe, je to polovina délky strany FE a ta má délku (dle zadání — je to strana osmiúhelníku) |FE| = 10. Úsečka P_sE tak má délku |P_sE| = 5. Horší to je s výškou v_s. Protože trojúhelník P_sSE je pravoúhlý trojúhelník, můžeme využít goniometrické funkce. Úhel ∠P_sSE má poloviční velikost oproti původnímu úhlu ∠FSE, tedy

$$\mathrm{\angle }{P}_{s}SE=\frac{\mathrm{\angle }FSE}{2}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$$

Nyní využijeme faktu, že kotangens úhlu je roven poměru délky přilehlé odvěsny ku protilehlé odvěsně. Pro přehlednost si úhel ∠P_sSE označíme řeckým písmenem α:

$$\text{cotan}\alpha =\frac{|v_s|}{|P_{s}E|}$$

My z této rovnice potřebujeme zjistit |v_s|, takže celou rovnici si vynásobíme |P_sE|, čímž dostaneme:

$$\text{cotan}\alpha \cdot |P_{s}E|=|v_s|$$

Nyní víme, čemu se rovná výška. Dosadíme si hodnoty:

$$\begin{array}{rcl}|v_s|& =& \text{cotan}\alpha \cdot |P_{s}E|\\ & \approx & \mathrm{2,414}\cdot 5\\ & \approx & 12\end{array}$$

Výška má délku přibližně 12. Obsah obdélníku a tedy i trojúhelníku je roven

$$S_{\mathrm{△}}=|v_s|\cdot |P_{s}E|$$

Po dosazení máme:

$$S_{\mathrm{△}}=12\cdot 5=60$$

Obsah jednoho trojúhelníku je roven zhruba 60. Protože máme celkem osm trojúhelníků, je obsah pravidelného osmiúhelníku o délce strany a = 10 roven přibližně

$$S=8\cdot S_{\mathrm{△}}=480$$

Jak z toho dostaneme vzorec? Pro obecný n-úhelník o délce strany a by platilo

$$S=n\cdot S_{\mathrm{△}}$$

A zbývá nám obecný vzorec pro $S_{\mathrm{△}}$:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \text{cotan}\alpha \cdot \frac{a}{2}$$

Úhel α je polovina velikosti úhlu, který trojúhelník svírá u středu S, tedy

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }}{n\cdot 2}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Zpětně dosadíme:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a}{2}\cdot \text{cotan}\frac{{180}^{\circ }}{n}\cdot \frac{a}{2}$$

A už jen trochu uhladíme:

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \text{cotan}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

V posledním kroku už jen vynásobíme tuto hodnotu počtem stran v n-úhelníku a máme výsledný vzorec:

$$S=\frac{1}{4}\cdot a^2\cdot n\cdot \text{cotan}\frac{{180}^{\circ }}{n}$$

Kalkulačka: Spočítejte si obsah pravidelného n-úhelníku