Obsah pravidelného mnohoúhelníku

Pravidelný mnohoúhelník je třeba čtverec — je to mnohoúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny úhly stejně velké. Například takto vypadá pravidelný osmiúhelník:

Jak bychom vypočítali obsah takového pravidelného osmiúhelníku, pokud známe délku jeho strany? Pro příklad, dejme tomu, že strana má délku a = 10. Pomůžeme si tak, že rozdělíme osmiúhelník na osm shodných trojúhelníků:

Tím jsme si zjednodušili práci — nyní nám stačí spočítat obsah jednoho z trojúhelníků a tento obsah vynásobíme osmi, čímž získáme obsah celého osmiúhelníku. Co o těchto trojúhelnících víme? Jsou to rovnoramenné trojúhelníky — délky dvou stran, které směřují ze středu S jsou vždy stejně dlouhé a délka strany osmiúhelníku je jiná (pouze šestiúhelník můžeme rozdělit na trojúhelníky, které mají stejně dlouhé všechny strany). Tedy délka strany FS je stejná jako délka strany ES.

Jaký úhel svírají u vrcholu S? Tj. jaký je například úhel $\angle FSE$? Vidíme, že všechny trojúhelníky jsou stejné a všechny úhly u vrcholu S tedy musí mít stejnou velikost. Zároveň víme, že když sečteme velikosti všech těchto úhlů, získáme 360 stupňů — jednu plnou obrátku. Velikost úhlu $\angle FSE$ tedy musí být rovna 360 děleno počtem úhlů, tj. děleno počtem trojúhelníků.

$$\Large \angle FSE = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$

Protože součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven $180^\circ$, a protože máme rovnoramenný trojúhelník, musí platit, že zbylé dva úhly mají shodnou velikost $67,5^\circ$:

Jak nyní vypočítáme obsah rovnoramenného trojúhelníku? Délku strany FE známe ze zadání, to je |FE| = 10. Narýsujeme si nyní výšku trojúhelníku, která prochází bodem S:

Tato úsečka SP_s nám rozdělila trojúhelník na dva menší trojúhelníky, které jsou ale zase stejné — jen jsou zrcadlově otočené. Pojďme trojúhelníky trochu přeskupit. Vezmeme trojúhelník FSP_s a přesuneme ho tak, aby obrazec tvořil obdélník:

Tento obdélník SF₁EP_s má stejný obsah jako náš trojúhelník FSE. Přitom obsah obdélníku vypočítáme jako součin délek jeho dvou stran:

$$\Large S_\square = |v_s|\cdot |P_sE|$$

Délku úsečky P_sE známe, je to polovina délky strany FE a ta má délku (dle zadání — je to strana osmiúhelníku) |FE| = 10. Úsečka P_sE tak má délku |P_sE| = 5. Horší to je s výškou v_s. Protože trojúhelník P_sSE je pravoúhlý trojúhelník, můžeme využít goniometrické funkce. Úhel $\angle P_sSE$ má poloviční velikost oproti původnímu úhlu $\angle PSE$, tedy

$$\large \angle P_sSE = \frac{\angle PSE}{2}=\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Nyní využijeme faktu, že kotangens úhlu je roven poměru délky přilehlé odvěsny ku protilehlé odvěsně. Pro přehlednost si úhel $\angle P_sSE$ označíme řeckým písmenem α:

$$\Large \mbox{cotan}\ \alpha = \frac{|v_s|}{|P_sE|}$$

My z této rovnice potřebujeme zjistit |v_s|, takže celou rovnici si vynásobíme |P_sE|, čímž dostaneme:

$$\Large \mbox{cotan}\ \alpha\cdot|P_sE|=|v_s|$$

Nyní víme, čemu se rovna výška. Dosadíme si hodnoty:

$$\begin{eqnarray} |v_s|&=& \mbox{cotan}\ \alpha\cdot|P_sE|\\ &\approx&2{,}414\cdot5\\ &\approx&12 \end{eqnarray}$$

Výška má délku přibližně 12. Obsah obdélníku a tedy i trojúhelníku je roven

$$\Large S_\triangle=|v_s|\cdot|P_sE|$$

Po odsazení máme:

$$\Large S_\triangle=12\cdot5=60$$

Obsah jednoho trojúhelníku je roven zhruba 60. Protože máme celkem osm trojúhelníků, je obsah pravidelného osmiúhelníku o délce strany a = 10 roven přibližně

$$\Large S=8\cdot S_\triangle = 480$$

Jak z toho dostaneme vzorec? Pro obecný n-úhelník o délce strany a by platilo

$$\large S = n\cdot S_\triangle$$

A zbývá nám obecný vzorec pro $S_\triangle$:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \mbox{cotan}\ \alpha\cdot\frac{a}{2}$$

Úhel α je polovina velikosti úhlu, který, tedy

$$\large \alpha = \frac{360^\circ}{n\cdot2}=\frac{180^\circ}{n}$$

Zpětně dosadíme:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}\cdot\frac{a}{2}$$

A už jen trochu uhladíme:

$$\large S_\triangle =\frac14\cdot a^2 \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}$$

V posledním kroku už jen vynásobíme tuto hodnotu počtem stran v n-úhelníku a máme výsledný vzorec:

$$\large S =\frac14\cdot a^2\cdot n \cdot \mbox{cotan}\ \frac{180^\circ}{n}$$

Kalkulačka: Spočítejte si obsah pravidelného n-úhelníku