Povrch jehlanu

Jehlan je trojrozměrné těleso, které vypadá jako pyramida. Má podstavu či základnu, na které stojí a poté má několik trojúhelníkových stěn. Podstavu tvoří nějaký mnohoúhelník. Podívejme se, jak takový jehlan může vypadat:

Pravidelný čtyřboký jehlan

Toto je pravidelný čtyřboký jehlan. Pravidelný je proto, že jeho podstavu tvoří pravidelný mnohoúhelník a čtyřboký je proto, že podstava je tvořena čtyřúhelníkem — v tomto případě čtvercem (trochu přimhuřte oko, abyste tam ten čtverec viděli 😆) — a tím pádem má jehlan čtyři trojúhelníkové stěny. Povrch jehlanu spočítáme tak, že vypočítáme obsah podstavy a obsah stěn. Začneme obsahem podstavy:

Protože jsme si řekli, že podstavu tvoří pravidelný čtyřúhelník — jinak řečeno čtverec — použijeme vzorec pro výpočet obsahu čtverce:

$$S_{◻}=a^2$$

To šlo snadno. Teď přijde ta horší část — obsah trojúhelníkové stěny. Pojďme si spočítat obsah stěny ABF:

Stěna ABF je tvořena trojúhelníkem a ne ledajakým — rovnoramenným trojúhelníkem:

Abychom vypočítali obsah rovnoramenného trojúhelníku, potřebujeme znát výšku trojúhelníku. Ve chvíli, kdy známe výšku v rovnoramenného trojúhelníku, můžeme vypočítat jeho obsah jako

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot v}{2}$$

Toto je tedy obsah jedné stěny našeho čtyřbokého jehlanu. Obsah všech čtyř stěn bude roven

$$S_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot v}{2}=2\cdot a\cdot v$$

Nyní můžeme spočítat povrch celého jehlanu, sečteme obsahy podstavy a stěn:

$$S=S_{◻}+S_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot v$$

Povrch pravidelného n-bokého jehlanu

Jehlan samozřejmě nemusí být pouze čtyřboký, může být třeba šestiboký:

Jak bychom vypočetli povrch takového jehlanu? Obsah jedné stěny vypočteme stále stejně jako

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot v}{2}$$

Ale protože nemáme čtyři stěny, ale šest stěn, budeme tento obsah násobit šesti. Máme-li n-boký jehlan, budeme násobit n:

$$S_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot v}{2}$$

Obsah podstavy poté vypočteme podle vzorce pro výpočet obsahu pravidelného n-úhelníku:

$$S_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

kde a je délka hrany a r je vzdálenost středu mnohoúhelníku od jeho strany. Celý vzorec by vypadal takto:

$$S=n\cdot \frac{a\cdot v}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

To můžeme ještě zjednodušit na

$$S=n\cdot \left(\frac{a\cdot v+a\cdot r}{2}\right)$$

A dále na

$$S=n\cdot a\cdot \frac{v+r}{2}$$