Povrch kvádru

Kvádr je trojrozměrné těleso podobné krychli, jehož stěny tvoří obdélníky, případně čtverce. Podívejme se, jak takový kvádr vypadá:

Chceme-li vypočítat povrch kvádru, musíme vypočítat obsah všech jeho šesti stěn a sečíst je. Přitom platí, že obsah protilehlých stěn je vždy stejný. Má-li kvádr délky hran rovny a, b, c, jak je znázorněno na obrázku, potom povrch kvádru je roven

$$S=2ab+2ac+2bc$$

což můžeme ještě zjednodušit na vzorec

$$S=2(ab+ac+bc)$$

Kalkulačka: spočítejte si povrch kvádru

Jak jsme na to přišli?

Musíme sečíst obsah všech stěn. Jako první si můžeme vzít tyto dvě protilehlé stěny:

Tyto stěny jsou tvořeny obdélníky ABGH a CDEF. Použijeme tedy vzorec pro výpočet obsahu obdélníku, kdy vynásobíme délky stran obdélníku. Obsah obdélníku ABGH tedy zjistíme tak, že vynásobíme

$$S_{ABGH}=|AB|\cdot |BG|$$

Obsah druhého obdélníku CDEF vypočítáme jako

$$S_{CDEF}=|CD|\cdot |DF|$$

Můžeme si ale všimnout, že délka strany AB je stejná jako délka strany CD a délka strany BG je stejná jako délka strany DF. Obsah obou obdélníků tedy bude stejný. Platí tedy, že obsah dvou zvýrazněných stěn kvádru bude roven

$$S_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

Dále si spočítáme obsah dvou bočních stěn:

Víme, že obsah obou stěn bude stejný. Vypočítáme tedy obsah obdélníku BGFD jako

$$S_{BGFD}=|BG|\cdot |GF|$$

Obsah obou stěn pak bude roven

$$S_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

Zbývá nám dopočítat obsah přední a zadní stěny:

Obsah obdélníku ABCD tak bude roven

$$S_{ABCD}=|AB|\cdot |BD|$$

a obsah celé zvýrazněné plochy bude roven

$$S_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

Povrch celého kvádru spočítáme tak, že sečteme všechny dílčí obsahy:

$$S=S_1+S_2+S_3$$