Povrch kvádru

Kapitoly: Obsah čtverce, Obsah obdélníku, Obsah kruhu, Obsah lichoběžníku, Obsah rovnoběžníku, Obsah kosočtverce, Obsah pravidelného n-úhelníku, Povrch koule, Povrch krychle, Povrch kvádru, Povrch válce, Povrch jehlanu

Kvádr je trojrozměrné těleso podobné krychli, jehož stěny tvoří obdélníky, případně čtverce. Podívejme se, jak takový kvádr vypadá:

Chceme-li vypočítat povrch kvádru, musíme vypočítat obsah všech jeho šesti stěn a sečíst je. Přitom platí, že obsah protilehlých stěn je vždy stejný. Má-li kvádr délky stran roven a, b, c, jak je znázorněno na obrázku, potom povrch kvádru je roven

$$\Large S=2ab+2ac+2bc$$

což můžeme ještě zjednodušit na vzorec

$$\Large S=2(ab+ac+bc)$$

Jak jsme na to přišli?

Musíme sečíst obsah všech stěn. Jako první si můžeme vzít tyto dvě protilehlé stěny:

Tyto stěny jsou tvořeny obdélníky ABGH a CDEF. Použijeme tedy vzorec výpočet obsahu obdélníku, kdy vynásobíme délky stran obdélníku. Obsah obdélníku ABGH tedy zjistíme tak, že vynásobíme

$$\Large S_{\small{ABGH}}=|AB|\cdot|BG|$$

Obsah druhého obdélníku CDEF vypočítáme jako

$$\Large S_{\small{CDEF}}=|CD|\cdot|DF|$$

Můžeme si ale všimnout, že délka strany AB je stejná jako délky strany CD a délka strany BG je stejná jako délka strany DF. Obsah obou obdélníků tedy bude stejný. Platí tedy, že obsah dvou zvýrazněných stěn kvádru bude roven

$$\Large S_1=2\cdot|AB|\cdot|BG|$$

Dále si spočítáme obsah dvou bočních stěn:

Víme, že obsah obou stěn bude stejný. Vypočítáme tedy obsah obdélníku BGFD jako

$$\Large S_{\small{BGFD}}=|BG|\cdot|GF|$$

Obsah obou stěn pak bude roven

$$\Large S_2=2\cdot|BG|\cdot|GF|$$

Zbývá nám dopočítat obsah přední a zadní stěny:

Obsah obdélníku ABCD tak bude roven

$$\Large S_{\small{ABCD}}=|AB|\cdot|BD|$$

a obsah celé zvýrazněné plochy bude roven

$$\Large S_3=2\cdot|AB|\cdot|BD|$$

Povrch celého kvádru spočítáme tak, že sečteme všechny dílčí obsahy:

$$\Large S=S_1+S_2+S_3$$