Povrch válce

Kapitoly: Obsah čtverce, Obsah obdélníku, Obsah kruhu, Obsah lichoběžníku, Obsah rovnoběžníku, Obsah kosočtverce, Obsah pravidelného n-úhelníku, Povrch koule, Povrch krychle, Povrch kvádru, Povrch válce, Povrch jehlanu

Povrch válce nám říká, jak velký je obsah ploch, které válec ohraničují. Pozor, neplést s objemem válce, který nám říká „kolik litrů vody jsme schopni do válce nalít“. Podívejme se na to, jak takový válec vypadá:

Válec Válec

Vzorec

Pokud hledáte jen vzorec, pak povrch válce, jehož podstava má poloměr r a který má výšku v, vypočítáte jako

$$\Large S=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r \cdot v$$

Jak jsme na ten vzorec přišli?

Každý válec má dvě podstavy: to jsou ty dva kruhy nahoře a dole. Dále má válec plášť, což je plocha „mezi“ podstavami. Chceme-li spočítat povrch válce, musíme spočítat obsah obou podstav, obsah pláště a tyto hodnoty sečíst. Protože podstava je tvořena kruhem, použijeme vzorec pro výpočet obsahu kruhu

$$\Large S_\circ=\pi\cdot r^2,$$

kde r je poloměr podstavy. Na obrázku je to ta vodorovná čárkovaná úsečka. Pokud je pro příklad r = 6, potom platí, že obsah podstavy je roven

$$\Large S_\circ=\pi\cdot 6^2 = 36\pi$$

Dále nám zbývá dopočítat obsah pláště. Můžeme si všimnout, že plášť je tvořen „srolovaným“ obdélníkem. Jedna strana obdélníku má délku rovnou výšce v válce, na obrázku je to ta vertikální čárkovaná úsečka. Druhá strana, po „odrolování“, by byla stejně velká, jako je obvod kruhu, který tvoří podstavu. Vypočítáme tedy jako první obvod podstavy, na což použijeme vzorec pro výpočet obvodu kruhu, což je

$$\Large o = 2\cdot\pi\cdot r$$

Po dosazení dostaneme:

$$\Large o = 2\cdot\pi\cdot 6 = 12 \pi$$

Obvod podstavy je 12π. Obsah obdélníku, označme si ho jako $S_\square$, vypočítáme jednoduše tak, že vynásobíme délky obou stran:

$$\Large S_\square = 12\pi \cdot v$$

Pokud by výška válce byla třeba v = 10, dostali bychom

$$\Large S_\square = 12\pi \cdot 10 = 120\pi$$

Celkový povrch válce, označme si ho jako S bychom získali tak, že všechny výsledky sečteme (a nezapomeneme na to, že válec má dvě podstavy):

$$\Large S=S_\circ+S_\square+S_\circ$$

Tedy po dosazení:

$$\Large S=36\pi+120\pi+36\pi=192\pi$$

Pokud se vám nelíbí výsledek s konstantou π, můžete místo π dosadit přibližnou hodnotu 3,14 a získáte přibližný výsledek

$$\Large S\approx 192\cdot3{,}14=602{,}88$$