Liczby wymierne
Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, czyli w postaci ułamka.
Definicja
Liczby wymierne to więc wszystkie liczby, które można zapisać w postaci
$$\frac{a}{b}\qquad a,b\in\mathbb{Z}, b\ne0.$$
Warunek, że obie liczby muszą być całkowite, ma oczywisty sens. Gdybyś wybrał liczbę, która nie jest wymierna, na przykład π, i ułożył z niej taki ułamek:
$$\frac{\pi}{1},$$
dostałbyś z powrotem liczbę π, która wymierna nie jest. Dlatego zarówno mianownik, jak i licznik muszą być liczbami całkowitymi. A ponieważ nie wolno dzielić przez zero, mianownik musi być różny od zera.
Możemy też powiedzieć, że liczby wymierne to liczby o skończonym rozwinięciu dziesiętnym oraz liczby o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, w którym jakaś część powtarza się okresowo. Oto przykłady liczb wymiernych, najpierw w postaci ułamka:
$$\frac13,\qquad -\frac59,\qquad \frac{13}{29},\qquad \frac{4}{1}, \ldots$$
a dalej liczby zapisane dziesiętnie: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\overline{3}$
Zapis okresowy
W poprzednim przykładzie mieliśmy liczbę 0,3333… To zapis dziesiętny ułamka 1/3 i jest to liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym. Mimo to jest wymierna, bo to rozwinięcie jest okresowe. Rozwinięcie okresowe oznacza, że od pewnego miejsca bez końca powtarza się ten sam ciąg cyfr. W naszym przypadku w nieskończoność powtarzała się trójka. Ale w nieskończoność może się powtarzać na przykład ciąg cyfr 12345 i nadal będzie to liczba z okresem, czyli liczba wymierna.
Zatem każda liczba o skończonym rozwinięciu dziesiętnym jest liczbą wymierną. Każda liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, w którym jakaś część powtarza się okresowo, też jest liczbą wymierną. Liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, w którym żadna część nie powtarza się okresowo, jest liczbą niewymierną.
Okres zaznacza się albo trzema kropkami, albo kreską nad cyframi, które się powtarzają. W polskiej szkole najczęściej zapisuje się okres w nawiasie, na przykład 0,(3). Okresowo może się powtarzać jedna cyfra, ale równie dobrze kilka cyfr. Okres może się zacząć od razu na początku części dziesiętnej albo dowolnie później. Wszystkie poniższe liczby są okresowe:
$$\begin{array}{rclcl} 7/3&=&2{,}33333\ldots&=&2,\overline{3}\\ 16/11&=&1{,}454545\ldots&=&1,\overline{45}\\ 11/6&=&1{,}833333\ldots&=&1{,}8\overline{3} \end{array}$$
Oznaczenie i znaczenie
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą Q z podwójnym łukiem: ℚ. Pochodzi to od angielskiego słowa „quotient”, czyli „iloraz”, a więc wynik dzielenia. W polskich podręcznikach spotkasz też oznaczenie W.
Liczby wymierne służą do określania części całości. Typowo na przykład „połowa” albo „jedna dziesiąta”. To nazwy części całości, które w liczbach wymiernych można wyrazić jako iloraz 1/2 i 1/10. Mianownik oznacza wtedy całość, a licznik część tej całości. Jeśli licznik równa się mianownikowi, mamy całość. Takie ilości zwykle przelicza się potem na procenty.
Własności
- Liczby wymierne tworzą nieskończony zbiór przeliczalny.
- Zbiór liczb wymiernych jest zamknięty ze względu na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Oznacza to, że gdy podzielimy dwie liczby wymierne, znowu otrzymamy liczbę wymierną. To zmiana w porównaniu ze zbiorem liczb całkowitych, który ze względu na dzielenie zamknięty nie był.
- Liczby wymierne zawierają wszystkie liczby całkowite. Skoro wszystkie liczby wymierne da się zapisać ułamkiem a/b, wystarczy przyjąć b = 1, a po podzieleniu a/1 = a dostaniemy zawsze z powrotem wartość licznika.
- Jeśli weźmiemy dwie liczby wymierne a i b, dla których a < b, zawsze znajdziemy kolejną liczbę wymierną q, dla której a < q < b. Innymi słowy, między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy jeszcze jakąś liczbę wymierną. Prawdziwa jest też mocniejsza wersja: między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi istnieje nieskończenie wiele innych liczb wymiernych.
- Z poprzedniego twierdzenia wynika, że nie istnieje najmniejsza dodatnia (ani największa ujemna) liczba wymierna. Możemy to wykazać dowodem nie wprost. Niech m będzie najmniejszą dodatnią liczbą wymierną. Wtedy nie powinniśmy być w stanie znaleźć mniejszej dodatniej liczby wymiernej. Jednak 0 < m, więc według poprzedniego twierdzenia istnieje liczba wymierna s, dla której 0 < s < m. Znaleźliśmy liczbę s, która jest większa od zera (jest dodatnia) i mniejsza od liczby m. To przeczy założeniu, że m jest najmniejszą dodatnią liczbą wymierną.
Działania na liczbach wymiernych
Wszystkie zwykłe, podstawowe działania są opisane w artykule ułamki.
Zamiana liczby okresowej na ułamek
Skoro liczba okresowa jest zarazem liczbą wymierną, musi się dać zamienić na ułamek. Pokażemy, jak to zrobić. Na początek weźmy liczbę okresową a = 0,333… Zapiszemy
$$a=0,\overline{3}$$
Teraz wykonamy zwykłe przekształcenia równoważne i pomnożymy całe równanie przez dziesięć:
$$10a=3,\overline{3}$$
Po prawej stronie trójka przesunęła się na miejsce jedności, a za przecinkiem nadal zostało nieskończenie wiele trójek. Teraz od obu stron równania odejmiemy a, czyli odejmiemy 0,333…, i w ten sposób pozbędziemy się nieskończonego rozwinięcia.
$$9a=3$$
Ten krok był może trochę skomplikowany, więc go rozpiszę. Wykonaliśmy takie działanie:
$$\begin{array}{ccccccc} &3&,&3&3&3&\ldots\\ -&0&,&3&3&3&\ldots\\ =&3&,&0&0&0&\ldots \end{array}$$
Otrzymane równanie 9a = 3 wystarczy już tylko podzielić przez dziewięć i dostaniemy wynik:
$$a=\frac{3}{9}=\frac13$$
Spróbujmy jeszcze jeden przykład:
$$a=1{,}454545\ldots=1,\overline{45}$$
Postępowanie będzie się trochę różnić. W poprzednim przykładzie mieliśmy okres o długości jeden. Ściślej mówiąc, okres mógł być tak długi, jak chcieliśmy, bo cały czas powtarzały się te same cyfry, ale wygodnie było przyjąć go o długości jeden. Teraz mamy okres o długości dwa. Znowu moglibyśmy wziąć okres o długości sześć, ale to nam się nie przyda. Żeby odjąć naprawdę cały okres, musimy tym razem pomnożyć przez sto:
$$100a=145,\overline{45}$$
Odejmiemy jedno a:
$$99a=144$$
I podzielimy przez 99:
$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$
Jeśli spróbujesz podzielić te liczby na kalkulatorze, wyjdzie ci właśnie 1,454545… Większość kalkulatorów jednak zaokrągla, więc może ci pokazać trochę inny wynik.
Ciekawostka z 0,9999…
Dla ciekawości spróbujmy jeszcze zamienić na ułamek liczbę okresową
$$a=0,\overline{9}$$
Pomnożymy przez dziesięć:
$$10a=9,\overline{9}$$
Odejmiemy a:
$$9a=9$$
Podzielimy przez dziewięć:
$$a=1$$
Widzimy, że wyszła nam jedynka, czyli liczba 0,999… jest równa liczbie 1.