Wymiar przestrzeni liniowej

Wymiar przestrzeni liniowej jest równy liczbie elementów bazy tej przestrzeni liniowej. Jeśli baza jest nieskończona, mówimy, że wymiar też jest nieskończony.

Definicja wymiaru przestrzeni liniowej

Weźmy przestrzeń liniową V i jakąś jej bazę B. Tj. zachodzi B ⊆ V, zbiór B zawiera liniowo niezależne wektory, a powłoka liniowa zbioru B jest równa przestrzeni V: <B> = V.

Jeśli baza B ma skończoną liczbę elementów n, mówimy, że wymiar przestrzeni V wynosi n. Wymiar oznaczamy symbolem dim, więc dim V = |B| = n. Jeśli baza B jest nieskończona, mówimy, że wymiar przestrzeni też jest nieskończony. Ponieważ wszystkie bazy przestrzeni są zawsze tak samo liczne, jest obojętne, którą bazę weźmiemy.

Przykład: przestrzeń ℝ³ ma bazę (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Są to w sumie trzy wektory, czyli $\dim \mathbb{R}^3 = 3$. Ogólnie możemy powiedzieć, że $\dim \mathbb{R}^n = n$.

Jeśli przestrzeń V ma wymiar n, mówimy o n-wymiarowej przestrzeni liniowej.

Własności wymiaru przestrzeni liniowej

• Weźmy przestrzeń liniową V i jakąś jej podprzestrzeń W ⊆ V. Wtedy zachodzi $\dim W \le \dim V$.
• Weźmy przestrzeń liniową V skończonego wymiaru i jakąś jej podprzestrzeń W ⊂ V. Wtedy zachodzi $\dim W < \dim V$. Ten punkt różni się tym, że nie dopuszczamy, żeby W = V. Jeśli mamy więc podprzestrzeń W, która jest mniejsza niż V, to ta podprzestrzeń będzie miała też mniejszy wymiar. Dlaczego? Bo istnieje wektor x ∈ V ∖ W, który nie jest kombinacją liniową wektorów z W, a więc nie jest też kombinacją liniową wektorów z dowolnej bazy W.
• Jeśli przestrzeń V ma wymiar n, to dowolne n liniowo niezależnych wektorów tworzy bazę przestrzeni V. Zbiór n + 1 wektorów jest wtedy liniowo zależnym zbiorem wektorów.