Powłoka liniowa

Jeśli mamy jakiś zbiór wektorów i obliczymy wszystkie ich kombinacje liniowe, dostaniemy powłokę liniową tego zbioru wektorów.

Definicja powłoki liniowej

Weźmy wektory x₁, …, x_n. Wiemy już, że z tych wektorów możemy złożyć nowy wektor za pomocą kombinacji liniowej. Wybierzemy liczby rzeczywiste a₁, …, a_n i nowy wektor y dostaniemy przez pomnożenie i dodanie

$$ \mathbf{y}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

W ten sposób, jeśli co najmniej jeden z wektorów x_i jest różny od wektora zerowego, możemy ze zbioru wektorów x₁, …, x_n wyprodukować nieskończenie wiele „kolejnych” wektorów — wystarczy tylko odpowiednio wybrać inne współczynniki a₁, …, a_n.

Jeśli będziemy generować wektory dalej i dalej, dostaniemy w końcu wszystkie wektory, które da się otrzymać jako kombinację liniową wektorów x₁, …, x_n. Taki zbiór nazywamy powłoką liniową wektorów x₁, …, x_n. Powłokę liniową zbioru wektorów X oznaczamy nawiasami ostrymi: <X>. Formalnie moglibyśmy zapisać powłokę liniową tak

$$ \left<\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right> = \left\{a_1 \cdot \mathbf{x}_1+\ldots+a_n \cdot \mathbf{x}_n | a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\}, $$

jeśli mamy skończoną liczbę wektorów. Jeśli mamy nieskończony zbiór wektorów X, możemy wziąć wszystkie skończone podzbiory Y_i ⊆ X, czyli |Y_i| = r dla jakiegoś r ∈ ℕ, a powłoką liniową zbioru X byłaby wtedy suma wszystkich zbiorów <Y_i>.

Przykład

Zostaniemy przy ulubionej przestrzeni liniowej ℝ³. Wybierzemy zbiór jednoelementowy X₁ = {(1,2,1)} i pytamy, jaka jest powłoka liniowa tego zbioru. Są to wszystkie kombinacje liniowe wektora (1,2,1). Wynikowa powłoka będzie miała postać

$$ \left<X_1\right> = \left\{\left(a,2a,a\right)|a\in \mathbb{R}\right\} $$

Będą to więc wektory postaci (3,6,3),(8,16,8),(−1,−2,−1) itd. Możemy spróbować sprawdzić, że suma dwóch z nich da nam nowy wektor tej samej postaci:

$$\begin{eqnarray} \left(3{,}6,3\right)+\left(3{,}6,3\right)&=&\left(6{,}12,6\right)\\ \left(3{,}6,3\right)+\left(-1,-2,-1\right)&=&\left(2{,}4,2\right)\\ \left(8{,}16,8\right)+\left(2{,}4,2\right)&=&\left(10{,}20,10\right) \end{eqnarray}$$

Drugim przykładem mogą być wektory jednostkowe X₂ = {(1,0,0), (0,1,0)}. Kiedy obliczymy wszystkie kombinacje liniowe, okaże się, że mają postać (a, b, 0), gdzie a, b ∈ ℝ. Łatwo to pokazać, bo

$$\left(a,b,0\right) = a \cdot \left(1{,}0,0\right) + b \cdot \left(0{,}1,0\right).$$

Wektorami tej powłoki są więc na przykład (0,8,0), (14,15,0) itp. Formalnie zapisalibyśmy to tak:

$$ \left<X_2\right> = \left\{\left(a,b,0\right) | a,b \in \mathbb{R}\right\} $$

Powłoka liniowa jako najmniejsza podprzestrzeń

Weźmy przestrzeń liniową V i jakiś zbiór wektorów X ⊆ V. Powłoka liniowa <X> jest wtedy podprzestrzenią liniową przestrzeni V, tj. powłoka <X> jest przestrzenią liniową.

Wystarczy nam wykazać, że powłoka <X> jest zamknięta ze względu na dodawanie i mnożenie. Na pewno jest, bo każdy wektor x ∈ <X> powstał jako kombinacja liniowa wektorów z X.

Powłoka liniowa zbioru X jest jednocześnie najmniejszą podprzestrzenią, która zawiera wszystkie wektory ze zbioru X. Dlaczego? Najmniejsza podprzestrzeń liniowa, która zawiera wektory z X, musi zawierać też wszystkie kombinacje liniowe wektorów z X — inaczej nie byłaby przestrzenią liniową. Załóżmy nie wprost, że istnieje jakaś mniejsza podprzestrzeń liniowa, oznaczmy ją Y, która zawiera wszystkie wektory z X, czyli X ⊆ Y. Ponieważ Y jest z założenia mniejsza niż powłoka <X>, musi istnieć wektor x, który jest w <X>, ale nie ma go w Y, czyli $\mathbf{x}\in\left<X\right> \wedge \mathbf{x}\notin Y$.

Przy tym jednak zachodzi, że wektor x musi dać się zbudować jako kombinacja liniowa wektorów z X, więc muszą istnieć wektory x₁, …, x_n∈ X i współczynniki a₁, …, a_n takie, że

$$ \mathbf{x}=a_1 \cdot \mathbf{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{x}_n $$

Jeśli jednak Y nie zawiera tego wektora x, a przy tym zawiera wektory x₁, …, x_n, to Y nie może być przestrzenią liniową, a więc nie jest też podprzestrzenią. Powłoka <X> jest więc najmniejszą podprzestrzenią, która zawiera wszystkie wektory z X.

Podstawowe własności powłoki liniowej

• Zawsze zachodzi W ⊆ <W>. To powinno być jasne. Powłoka liniowa zbioru W będzie zawsze taka sama albo większa niż zbiór W. Ponieważ powłoka liniowa <W> zawiera wszystkie kombinacje liniowe wektorów z W, <W> musi zawierać też wszystkie wektory z W: jeśli weźmiemy jakiś wektor x ∈ W, to dla a = 1 dostaniemy kombinację a · x = x.

  Przykład: powłoką liniową zbioru W = {(1,0,0)} jest zbiór

  $$\begin{eqnarray} \left<W\right> &=& \left\{\left(a,0{,}0\right),|,a\in \mathbb{R}\right\}. \end{eqnarray}$$

  Oczywiście zachodzi {(1,0,0)} ⊆ {(a,0,0),|,a∈ ℝ}.

• Zawsze zachodzi <W> = <<W>>. Jeśli raz obliczymy powłokę liniową, to powłoka liniowa tej powłoki jest tą samą powłoką. <W> zawiera wszystkie kombinacje liniowe z W. Gdybyśmy jeszcze raz obliczyli wszystkie kombinacje liniowe z <W>, nie dostalibyśmy żadnych nowych.

• Weźmy jakąś przestrzeń liniową V i dwa podzbiory tej przestrzeni (niekoniecznie podprzestrzenie) W₁ i W₂, tj. W₁, W₂ ⊆ V. Jeśli jednocześnie zachodzi W₁ ⊆ W₂, to zachodzi też <W₁> ⊆ <W₂>.

  Innymi słowy: jeśli mamy dwa zbiory wektorów, przy czym jeden z nich jest mniejszy, to ten mniejszy zbiór wektorów ma mniejszą albo taką samą powłokę liniową jak ten większy zbiór.

  Przykład: niech W₁ = {(1,0,0)} i W₂ = {(1,0,0), (0, 1, 0)}. Widzimy, że zachodzi W₁ ⊆ W₂. Jakie byłyby powłoki liniowe?

  $$\begin{eqnarray} \left<W_1\right> &=& \left\{\left(a,0{,}0\right),|,a\in \mathbb{R}\right\}\\ \left<W_2\right> &=& \left\{\left(a,b,0\right),|,a,b\in \mathbb{R}\right\}\\ \end{eqnarray}$$

  Zbiór wektorów W₂ „wygenerował większą powłokę” niż zbiór W₁, czego się spodziewaliśmy. Zbiór W₂ zawiera wszystkie wektory ze zbioru W₁, więc wszystkie kombinacje liniowe wektorów z W₁ uda się wygenerować również z wektorów w W₂.

  Inny przykład: W₃ = {(1,2,0)} i W₄ = {(1,2,0), (5,10,0)}. Na pierwszy rzut oka widać, że wektory w W₄ są zależne. Dlatego oba zbiory wygenerują tę samą powłokę. Czyli mimo że W₃ ⊂ W₄, to <W₃> = <W₄>.