Macierz przejścia

Jeśli mamy przestrzeń liniową V i dwie jej bazy, możemy jeden wektor z przestrzeni wyrazić jako kombinację wektorów z każdej z tych baz. Macierz przejścia pomaga nam przeliczać współrzędne w jednej bazie na współrzędne w drugiej.

Po co nam macierz przejścia

Weźmy n-wymiarową przestrzeń liniową V i dwie jej różne bazy E = {e₁, …, e_n} i F = {f₁, …, f_n}. Dalej wybierzmy jakiś wektor x z V. Ponieważ x należy do przestrzeni V, a E i F są bazami tej przestrzeni, muszą istnieć współczynniki a₁, …, a_n takie, że:

$$ \mathbf{x} = a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \mathbf{e}_n $$

i jednocześnie muszą istnieć współczynniki b₁, …, b_n takie, że:

$$ \mathbf{x} = b_1 \cdot \mathbf{f}_1 + \ldots + b_n \cdot \mathbf{f}_n $$

W pierwszym przypadku wyrażamy wektor x za pomocą bazy E, w drugim za pomocą bazy F. Do wyrażenia x używamy dwóch różnych baz, dostajemy więc jednocześnie dwa różne zestawy współczynników a_i i b_i, czyli współrzędne wektora w każdej z obu baz. Nasuwa się pytanie: jeśli znamy współczynniki a_i, czy da się z nich jakoś otrzymać współczynniki b_i, tj. współrzędne względem drugiej bazy?

Tak, służy do tego tzw. macierz przejścia.

Jak otrzymać macierz przejścia

Zostaniemy przy tym, że mamy przestrzeń V i dwie bazy E = {e₁, …, e_n} i F = {f₁, …, f_n}. Ponieważ E jest bazą przestrzeni V, na pewno także wszystkie wektory f₁, …, f_n da się wyrazić jako kombinacje liniowe wektorów z bazy E. Wektory f₁, …, f_n są co prawda częścią bazy F, ale jednocześnie są zwykłymi elementami przestrzeni V, więc musi zachodzić:

$$\begin{eqnarray} \mathbf{f}_1 &=& a_{11} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{21} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n1} \cdot \mathbf{e}_n\\ \mathbf{f}_2 &=& a_{12} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{22} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{n2} \cdot \mathbf{e}_n\\ &\ldots&\\ \mathbf{f}_n &=& a_{1n} \cdot \mathbf{e}_1 + a_{2n} \cdot \mathbf{e}_2 + \ldots + a_{nn} \cdot \mathbf{e}_n \end{eqnarray}$$

Teraz przepiszemy te równania do macierzy tak, że w pierwszej kolumnie macierzy będą współczynniki wektora f1, tj. a{i1}, w drugiej współczynniki wektora f2, tj. a{i2}, itd. Dostaniemy macierz:

$$P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$

Taka macierz nazywa się macierzą przejścia od bazy E do bazy F. Jeśli mamy wektor x = (x₁,…, x_n) z V, który względem bazy F ma współczynniki b₁, …, b_n, to współczynniki a₁, …, a_n względem bazy E dostaniemy jako

Przykład

Będziemy pracować w przestrzeni liniowej ℝ³. Wybierzemy jedną bazę standardową E = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} i drugą bazę F = {(2,0,0), (3,2,0), (1,5,4)}. Macierz przejścia od bazy E do bazy F będzie miała postać

$$P=\begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix}$$

Teraz wybierzemy dowolny wektor x∈ ℝ³, na przykład x = (12,41,28). Ma on względem bazy F współczynniki b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Wykonamy więc mnożenie macierzy:

Względem bazy E wektor x ma współczynniki a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Zachodzi więc:

$$ \left(12{,}41,28\right) = 12\cdot\left(1{,}0,0\right)+41\cdot\left(0{,}1,0\right)+28\cdot\left(0{,}0,1\right) $$